Podręcznik

W matematycznym opisie efektów propagowania fal w prowadnicach falowych dwa równania są szczególnie ważne:

• równanie transformacji współczynnika odbicia,
• równanie transformacji impedancji.

Równanie transformacji impedancji zawiera tangensy i dawno temu, gdy komputery nie były powszechnie stosowane rozwiązanie równania z tangensami przysparzało nieco problemów. Opracowano wtedy konstrukcję wykresu Smith’a i sposoby jego wykorzystania. Przedstawimy je w tym wykładzie i nauczymy się nim posługiwać. Współczesne komputery osobiste z łatwością obliczają zadania z transformacją impedancji. Jednakże wykres Smith’a jest dobrym narzędziem ilustracji rozmaitych operacji, w tym projektowania obwodów dopasowujących.
Krokiem wstępnym jest wprowadzenie pojęcia impedancji i admitancji znormalizowanych. Normalizacja impedancji, czy też admitancji odbywa się w stosunku do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej Z₀ w następujący sposób: 

Impedancje/admitancje znormalizowane z_L i y_L (używana jest także nazwa: zredukowane) są wielkościami bezwymiarowymi. Używając wprowadzonych wielkości można współczynnik odbicia $\Gamma$_L zapisać teraz następującą zależnością:

Przekształcając powyższe wyrażenie można otrzymać zależności na impedancja zredukowaną z(l) widziana w miejscu odległym o l: 

 oraz na admitancję y(l): 

Równanie transformacji impedancji przybierze teraz postać: 

Zrozumienie natury wykresu Smith’a będzie łatwiejsze po zapoznaniu się z własnościami odwzorowania homograficznego.
Funkcja homograficzna wiążąca ze sobą dwie zmienne zespolone w i z zapisuje się następująco:

przy czym a, b, c i d są stałymi zespolonymi.
Odwzorowaniem homograficznym nazywamy przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie zespolonej z punktów na płaszczyźnie zespolonej w, opisane funkcją homograficzną.
Podstawowe własności odwzorowania homograficznego:

• odwzorowanie homograficzne w(z) jest wzajemnie jednoznaczne,
• okrąg na płaszczyźnie z transformuje się na okrąg na płaszczyźnie w (prosta jest szczególnym przypadkiem okręgu),
• zachowana zostaje ortogonalność okręgów.

Zależności: 

 to typowe funkcje homograficzne

Wykres Smith’a powstaje przez przetransformowanie siatki prostych r=const. i x=const. z płaszczyzny impedancji z na płaszczyznę współczynnika odbicia $\Gamma$, zgodnie z dobrze nam znaną zależnością:

Prosta r=const. na płaszczyżnie z transformuje się na płaszczyznę $\Gamma$ jako okrąg o promieniu 1/(r+1) i środku [r/(r+1),0]. Rodzina prostych r=const. z prawej półpłaszczyzny r>0 tworzy po transformacji na płaszczyznę $\Gamma$ rodzinę okręgów pokazaną na rys.1.1.

 
Rys.1.1. Transformacja rodziny prostych r=const. z płaszczyzny z 
na płaszczyznę wspólczynnika odbicia Γ. 

Prosta x=const. transformuje się na okrąg o promieniu 1/|x| i środku leżącym w punkcie o współrzędnych [1,1/x]. Rodzina półprostych x=const. z prawej półpłaszczyzny r>0 tworzy po transformacji na płaszczyznę Γ rodzinę łuków pokazaną na rys.1.2.
 

Rys.1.2. Rodzina prostych x=const. z płaszczyzny z 
przetransformowana na płaszczyznę Γ.

Obie rodziny okręgów są względem siebie ortogonalne. Jeżeli transformację ograniczyć do prawej półpłaszczyzny r $\geq$0, to otrzymuje się wykres Smitha, pokazany na rys.1.3.
Można też przetransformować z płaszczyzny admitancji y proste g=const. i b=const. na odpowiednie okręgi na płaszczyźnie Γ.
Otrzymuje się identyczną, siatkę współrzędnych, ale obróconą o 180^o. 
Punkty prawej półpłaszczyzny z transformują się do wnętrza okręgu o promieniu 1, punkty lewej półpłaszczyzny transformują się do zewnętrza okręgu

Rys.1.3. Siatka współrzędnych impedancyjnych wykresu Smitha    

Wykres Smitha spotykamy najczęściej w formie pokazanej na rys.1.3. Współrzędne współczynnika odbicia są ukryte, widoczna pozostaje jedynie siatka współrzędnych impedancyjnych. Pamiętamy jednakże, że okręgi i łuki wykresu Smitha narysowano na płaszczyźnie współczynnika odbicia i punkt $\Gamma$=0 ulokowany jest w środku okręgu zewnętrznego r=0 ($\left | \Gamma \right |$=1), gdzie r=1 i x=0

Przy graficznej prezentacji parametrów obwodów generacyjnych korzysta się z poszerzonego wykresu Smitha, zawierającego także siatkę współrzędnych poza okręgiem jednostkowym. Niektóre elementy aktywne, takie jak tranzystory, czy też diody generacyjne umieszczone jako obciążenie prowadnicy mogą – w pewnych warunkach polaryzacji – zachowywać się jak wzmacniacz odbiciowy, dla którego $\left | \Gamma \right |$>1. Powstaje wtedy pytanie, jak wyglądają współrzędne impedancyjne poza okręgiem r=0. Przykład takiej siatki współrzędnych pokazana na rys .1.4.

Rys. 1.4. Siatka współrzędnych impedancyjnych wykresu Smitha dla obciążeń aktywnych, dla których r<0.  

 
Tradycyjny wykres Smitha, opisujący obciążenia pasywne, zajmuje jedynie obszar zacieniony.
Impedancja zastępcza obwodów aktywnych wymaga użycia ujemnych rezystancji, bądź konduktancji. Z obwodami tego rodzaju spotykamy się projektując obwody generatorów mikrofalowych.
 

W tym punkcie prześledzimy krok po kroku znalezienie punktu na wykresie Smith’a odpowiadającego impedancji czteroelementowego obwodu pokazanego na rys.2.7. 

Rys.2.7. Ilustracja operacji dodawania rezystancji i reaktancji na wykresie Smitha 

   
Pierwszy krok to znalezienie punktu impedancji z⁽¹⁾, odpowiadającego równolegle połączonym elementom R i L₁. Posługujemy się siatką współrzędnych admitancyjnych i znajdujemy punkt z⁽¹⁾ na przecięciu okręgu stałej konduktancji Z₀/R i susceptancji –Z₀/$\omega$L₁. Korzystamy teraz ze współrzędnych impedancyjnych, dodajemy do reaktancji x⁽¹⁾ reaktancję –1/$\omega$C_SZ₀ i  poruszając się po okręgu stałej rezystancji docieramy do punktu z⁽²⁾. Powracamy do współrzędnych admitancyjnych, gdyż indukcyjność L₂ włączona jest równolegle. Obliczmy zredukowaną susceptancję –Z₀/$\omega$L₂ i dodajemy ją do susceptancji b⁽²⁾ przesuwając się po okręgu stałej konduktancji do punktu z⁽³⁾. Oczywiście wartość składowych impedancji z⁽³⁾ odczytujemy z siatki współrzędnych impedancyjnych.

Na rys.2.8 pokazano wykres Smith’a z ilustracją operacji transformacji impedancji wzdłuż jednorodnej prowadnicy falowej. Pamiętamy, że siatka współrzędnych impedancyjnych i admitancyjnych umieszczona jest na płaszczyźnie współczynnika odbicia. Operacja transformacji polega na transformacji współczynnika odbicia, co oznacza, że w miarę odsuwania się od obciążenia linii punkt przesuwa się po okręgu $\left | \Gamma \right |$=const., w kierunku „do generatora” (zgodnie ze wskazówkami zegara).
Pierwszy etap operacji polega na znalezieniu punktu L na wykresie Smith’a odpowiadającemu impedancji z_L . Znajdujemy go na przecięciu okręgu r_L=const. z łukiem x_L=const. Następnie kreślimy okrąg o promieniu OL i środku w punkcie 1. 

Rys.2.8. Ilustracja operacji transformacji impedancji na wykresie Smitha    

Odsuwając się od końca linii o odległość l wskaz Γ_L obraca się w prawo zakreślając kąt równy 2βl. Graficzną ilustrację tej transformacji opisano w poprzednim wykładzie. W każdym punkcie okręgu kreślonego przez koniec wskazu Γ_L impedancja z(l) zmienia swoją wartość, co można odczytać z siatki współrzędnych impedancyjnych.
 

Na rys.2.9 pokazano wykres Smith’a z ilustracją operacji transformacji impedancji wzdłuż jednorodnej prowadnicy falowej, której impedancja charakterystyczna Z_0t jest różna do Z₀. Na końcu linii umieszczona jest impedancja Z_L=R_L, gdyż dla uproszczenia przyjmiemy, że jest czysto rzeczywista. Obliczymy odpowiadający tej impedancji współczynnik odbicia $\Gamma$_L w stosunku do impedancji charakterystycznej Z₀, gdyż linią odniesienia jest właśnie linia o tej Z₀:

Wykorzystamy równanie (1-66) z poprzedniego modułu aby obliczyć impedancję Z($\theta$) w odległość elektrycznej $\theta =\beta l$ od impedancji R_L:

Współczynnik odbicia $\Gamma (\theta )$jest funkcją odległości elektrycznej $\theta =\beta l$

Wartości $\Gamma (\theta )$ leżą na okręgu, którego rozmiary i położenie zależą od stosunku n wartości impedancji charakterystycznych, co pokazuje rys.2.9:

Środek każdego z okręgów leży na głównej średnicy wykresu Smitha, natomiast jego rozmiary zależą od wartości n. Po oddaleniu się o ćwierć fali (l$l=\lambda /4$) od końca linii współczynnik odbicia staje się rzeczywisty, a jego wartość obliczamy z zależności (2-13).

Rys.2.9. Ilustracja operacji transformacji impedancji na wykresie Smitha przy zmianie impedancji charakterystycznej odcinka transformującego.  

Jeśli przyjmiemy wartość n=1, to w trakcie transformacji poruszamy się po okręgu $\left | \Gamma \right |$=const. – przypadek a. Gdy przyjmiemy n<1, to początkowo wartość $\left | \Gamma \right |$rośnie – przypadki b i c. Można dobrać wartość n zgodnie z zależnością (2-14), 

aby po odsunięciu się o ćwierć fali  uzyskać dopasowanie $\left | \Gamma \right |$=0,
Gdy wartość n jest większa od wyrażonej wzorem (2-14), to średnica okręgu jest na tyle mała, że okrąg nie obejmuje punktu 0 – przypadek d na rys.2.9.

Problem dopasowania, to stworzenie warunków, w których moc fali biegnącej do jednowrotnika wydzieli się w nim w całości. Rozwiążemy ten problem umieszczając między jednowrotnikiem a prowadnicą falową specjalnie dobrany bezstratny dwuwrotnik, co pokazuje rys.3.10. 

 Rys.3.10. Jednowrotnik z obwodem dopasowującym

Na rysunku pokazano prowadnicę falową (tor mikrofalowy) o impedancji charakterystycznej Z₀ łączącej generator z obciążeniem/jednowrotnikiem. Obciążenie, odbiornik przesyłanej z generatora energii opisany jest różnymi parametrami: 

• impedancją Z_L, admitancją Y_L = 1/Z_L, Z_L $\neq$ Z₀;
•  impedancją zredukowaną z_L = Z_L/Z₀, admitancją zredukowaną y_L = Y_L/Y₀, 
• współczynnikiem odbicia $\Gamma_L$.

Jednowrotnik stanowiący obciążenie nie absorbuje całej energii fali biegnącej z generatora, ponieważ Z_L≠Z₀. Pojawia się w takich warunkach fala odbita. Aby poprawić warunki odbioru mocy i zniwelować falę odbitą należy przeprowadzić procedurę dopasowania. Polega ona na skonstruowaniu specjalnego obwodu bezstratnego, który zostanie umieszczony przed obciążeniem. Nazwiemy go obwodem dopasowującym. Jeśli zostanie właściwie zaprojektowany to spełnione zostaną warunki dopasowania, które można zapisać następująco:

Wykażemy, że obwód dopasowujący można skonstruować w rozmaity sposób, gdyż nasz problem ma wiele rozwiązań.

W tym punkcie podejmiemy przedstawienie analitycznego rozwiązania problemu dopasowania. Obiektem naszej analizy będzie obwód pokazany na rys.3.11. Dopasowujemy rezystancję obciążenia R_L do rezystancji wewnętrznej R_W generatora. Obwód dopasowujący będzie konstruowany z możliwie najmniejszej liczby elementów reaktancyjnych L,C. 

Rys.3.11. Obwód dopasowujący czystą rezystancję R_L do Z₀. 
    

W tym punkcie pierwszym elementem włączonym równolegle do obciążenia będzie susceptancja B_R.
 Rys.3.12. Ilustracja transformującego działania równoległej susceptancji BR.

Pierwszym krokiem procedury dopasowania będzie włączenie równoległej susceptancji B_R: 

Obliczamy teraz impedancją Z_WE – (3-17): 

Znajdujemy części rzeczywistą R_S i urojoną –X_S tej impedancji. Zauważamy, że przez dobór wartości B_R można uzyskać żądaną wartość rezystancji R_S. Dołączenie równoległe – jak widać z zależności (3-18) - powoduje, że R_S ≤ R_L. Ta droga może być użyteczna, gdy dla przykładu dopasowujemy R_L=100Ω do R_W=50Ω. 

 Tak więc dobierając B_R uzyskujemy R_S=R_W. Pozostaje nam jednak szeregowa reaktancja –X_S.

 Możemy ją skompensować dodając szeregową reaktancję przeciwnego znaku.
Po krótkich przekształceniach można przedstawić receptę na dopasowania. Najpierw obliczamy Q ze wzoru (3-20):

 Jeżeli zdecydujemy się umieścić indukcyjność jako element równoległy, a pojemność jako element szeregowy, to ich reaktancje X_R i X_S obliczamy z zależności (3-21). Otrzymany obwód pokazano na rys. 3.13A.

 Jeżeli pojemność będzie elementem równoległym, a indukcyjność elementem szeregowym, to ich reaktancje X_R i X_S obliczamy z zależności (3-22). Otrzymany obwód pokazano na rys.3.13A.

W wyborze obwodu może być pomocny fakt, że obwód z rys.3.13A zachowuje się w funkcji częstotliwości jak filtr górnoprzepustowy, a obwód z rys.3.13B jak filtr dolnoprzepustowy.

 
 Rys.3.13. Para elementów LC dopasowuje rezystancję RL. 
A) Równolegle włączonym elementem jest indukcyjność LR. 
B) Równolegle włączonym elementem jest pojemność CR.

Aby obliczyć wartości pojemności i indukcyjności należy znać częstotliwość, dla której rezystancja obciążenia została dopasowana do rezystancji wewnętrznej generatora. Wzory są nam dobrze znane.

W tym przypadku pierwszy element dopasowujący został włączony szeregowo. Jest to reaktancja X_S. Struktura obwodu jest inna, niż poprzednio, ale sposób wnioskowania jest podobny.

 Rys.3.14. Ilustracja transformującego działania szeregowej reaktancji X_S.

Przekształcamy obwód szeregowy na równoległy:

Także tutaj widzimy, że przez dobór wartości X_S można uzyskać żądaną wartość rezystancji R_R. Dołączenie szeregowe – jak widać z zależności (3-24) - powoduje, że R_R≥R_L. Ta droga może być użyteczna, gdy dla przykładu dopasowujemy R_L=20Ω do R_W=50Ω.

Tak więc dobierając X_S uzyskujemy R_R=R_W. Pozostaje jednak równoległa reaktancja –X_R. Należy ją skompensować dodając równoległą susceptancję B_R. Innymi słowy, doprowadzimy w ten sposób obwód do rezonansu.

 Po krótkich przekształceniach można przedstawić kolejną receptę na obliczenie obwodu dopasowującego. Najpierw obliczamy Q ze wzoru (3-26):

 Jeżeli zdecydujemy się umieścić pojemność jako element szeregowy, a indukcyjność jako równoległy, to ich reaktancje X_R i X_S obliczamy z zależności (3-27). 
Otrzymany obwód pokazano na rys.3.15A.

Jeżeli natomiast umieścimy indukcyjność jako element szeregowy, a pojemność jako równoległy, to ich reaktancje X_R i X_S obliczamy z zależności (3-28). 
Otrzymany obwód pokazano na rys.3.15B.

 Także w tym przypadku, aby obliczyć wartości pojemności i indukcyjności należy znać częstotliwość, dla której rezystancja obciążenia R_L została dopasowana do rezystancji wewnętrznej R_W generatora. Wzory są nam dobrze znane.
 
 Rys.3.15. Para elementów L_C dopasowuje rezystancję R_L. 
A) Szeregowo włączonym elementem jest pojemność C_S. 
B) Szeregowo włączonym elementem jest indukcyjność L_S.

Rozwiązanie w opisanym Przypadku 2 jest dualne w stosunku Przypadku 1. W obu przypadkach wykorzystujemy właściwości obwodu typu L. W kolejnych punktach wykorzystamy wykres Smitha do przedstawienia graficznej interpretacji procesu dopasowania, pozwalającej lepiej zrozumieć kolejne kroki.
 

Przeanalizujemy możliwości znalezienia obwodu dopasowującego, gdy obiektem dopasowania jest impedancja ZL o charakterze indukcyjnym, której zredukowana wartość równa jest: 

Opiszemy kolejno działanie 4 prostych, dwuelementowych obwodów dopasowujących.

Rys.4.16. Zestawienie 4 możliwości dopasowania impedancji z_L=r_L+jx_L po dodaniu pojemności szeregowej, bądź równoległej.

    
Punkt L odpowiadający impedancji z_L leży na przecięciu okręgu r_L=const. i łuku x_L=const. W operacji dopasowania przesuwamy się - dodając rozmaite reaktancje i susceptancje - po siatce współrzędnych wykresu Smith’a z punktu L do punktu O, środka układu współrzędnych, gdyż w punkcie O współczynnik odbicia $\Gamma$ równy jest 0.
Jest wiele rozwiązań problemu dopasowania. Na rys.4.16 pokazano możliwości dopasowania impedancji obciążenia gdy pierwszym elementem obwodu dopasowującego jest pojemność C dodana szeregowo – możliwości oznaczone jako „A” i „B”. Pojemność C doprowadza obwód do okręgu g=1. Dodanie pojemności C równolegle doprowadza obwód do okręgu r=1, co daje kolejne możliwości „C” i „D”. 
Obwody „A” i „B” zaczynają się pojemnością szeregową C_S tak dobraną, aby reaktancja x_S(C_S) przesunęła impedancję do punktu „A” lub do punktu „B”, oba na okręgu g=1. W punkcie „A” susceptancja b_A<1, w punkcie „B” susceptancja b_B>1. Proces dopasowania kończy się kompensacją tej susceptancji przez dodaną susceptancję równoległą b_R, pojemnościową w przypadku „A”, indukcyjną w przypadku „B” – patrz rys.4.17.
Operacje te opisuje równanie (4-30).
 

Zauważmy, że impedancje leżące w polu zaciemnionego okręgu nie mogą być dopasowane tą drogą. 

 
Rys.4.17. Obwody dopasowujące: 
A - z pojemnościami C_S i C_R, oraz B - z pojemnością C_S i indukcyjnością L_R.    

Rys.4.18. Obwody dopasowujące: C z pojemnościami C_S i C_R, oraz D z pojemnością C_R i indukcyjnością L_S.

Procesy dopasowania realizowane pokazanymi na rys.4.18 obwodami „C” i „D” zaczynają się pojemnością równoległą C_R tak dobraną, aby susceptancja b_R(C_R) przesunęła impedancję do punktu „C” lub do punktu „D”, oba na okręgu r=1. W punkcie „C” reaktancja x_C>1, w punkcie „D” reaktancja x_D<1. Proces dopasowania kończy się kompensacją tej reaktancji przez dodaną reaktancję szeregową x_S, pojemnościową w przypadku „C”, indukcyjną w przypadku „D”. 

Operacje te opisuje równanie (4-31). Także w tym przypadku impedancje leżące w polu zaciemnionego okręgu nie mogą być dopasowane.

Obiektem dopasowania jest teraz impedancja z_L, której reaktancja x_L ma charakter pojemnościowy. Na rys.4.19 i rys.4.20 punkt „L” położony jest w dolnej połowie koła wykresu Smith’a.
Procesy dopasowania realizowane pokazanymi na rys.4.19 obwodami „E” i „F” zaczynają się umieszczeniem indukcyjności szeregowej L_S tak dobranej, aby reaktancja x_S(L_S) przesunęła impedancję do punktu „E” lub do punktu „F”, oba na okręgu g=1. W punkcie „E” susceptancja b_E>1, w punkcie „F” susceptancja b_F<1.
Proces dopasowania kończy się kompensacją tej susceptancji przez dodaną susceptancję równoległą b_R, indukcyjną w przypadku „E”, pojemnościową w przypadku „F”. 

Operacje te opisuje równanie (4-32).
 
 
Rys.4.19. Obwody dopasowujące: 
E z indukcyjnościami L_S i L_r, 
oraz F z pojemnością C_r i indukcyjnością L_S

 Rys.4.20. Obwody dopasowujące: 
G z indukcyjnościami L_S i L_R, 
oraz H z pojemnością C_S i indukcyjnością L_R.

Procesy dopasowania impedancji o charakterze pojemnościowym, realizowane pokazanymi na rys.4.20 obwodami „G” i „H” zaczynają się umieszczeniem indukcyjności równoległej L_R tak dobranej, aby susceptancja b_R(L_R) admitancję do punktu „G” lub do punktu „H”, oba na okręgu r=1. W punkcie „G” reaktancja r_G<1, w punkcie „H” reaktancja r_G>1. Proces dopasowania kończy się kompensacją tej reaktancji przez dodaną reaktancję szeregową x_S, indukcyjną w przypadku „G”, pojemnościową w przypadku „H”. 

Operacje te opisuje równanie (4-33).
W obu przypadkach impedancje leżące w polach zaciemnionych okręgów nie mogą być dopasowane za pomocą obwodów pokazanych na rysunku.

Technologia planarna wykonania kondensatorów C i indukcyjności L pozwala na ich prace nawet w pasmie fal milimetrowych. Wprawdzie ich obwód zastępczy jest dość złożony, co utrudnia obliczenia, ale obwody dopasowujące wykorzystujące te elementy mogą być z powodzeniem realizowane. 
Z poprzedniego wykładu wiemy, że proste w realizacji odcinki prowadnic falowych zwartych lub rozwartych na końcu mogą tworzyć elementy zachowujące się jak pojemność, lub indukcyjność. Można także wykorzystać je jako elementy transformujące dopasowywaną impedancje do stanu, w którym dopasowanie może być prostszym zabiegiem. 
Rozpoczniemy od przypomnienia operacji transformacji. Impedancja z_L transformuje się wzdłuż prowadnicy zgodnie z równaniem transformacji impedancji, co pokazano na rys. 5.21.

Rys.5.21. Ilustracja działania obwodu transformującego.  

 
Po odsunięcia się od obciążenia o odległość lI znaleźliśmy się w punkcie „I”, w którym rI=1. Wiemy, że znalezienie się na okręgu r=1 jest dobrym krokiem w kierunku dopasowania. Odsuwając się dalej od obciążenia trafiamy do punktu „K”, w którym także r=1. Dalszy obrót pozwala nam znaleźć się na okręgu g=1 w punktach „M” i „N”. Każdy z wymienionych czterech punktów może prowadzić nas do stanu dopasowania.
Oddzielnego omówienia wymagają punkty „R” i „S”, Zrobimy to w dalszej części wykładu.
Wracamy do punktu „I”. Po skompensowaniu reaktancji x_I>0 możemy znaleźć się w punkcie O. Obwód pokazany jako I1 na rys.5.22 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej, ujemnej reaktancji (pojemnościowej) x_S(C_S).
Obwód pokazany jako I2 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej reaktancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości l_Z zwartej na końcu. Reaktancje taką możemy obliczyć ze wzoru (5-34).

Obwód pokazany jako I3 realizuje kompensację przez dodanie szeregowej reaktancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości l_R rozwartej na końcu. Reaktancje taką możemy obliczyć ze wzoru (5-35).

Zauważmy, że obwody I2 i I3 zrealizowane są całkowicie z odcinków linii długiej.

Rys.5.22. Ilustracja sposobów realizacji pojemności szeregowej CS.

Odcinek linii transformującej impedancję obciążenia można wydłużyć i dotrzeć do punktu „K”, w którym także r_K=1. Procedura kompensacji x_K<0 jest już dla Czytelnika oczywista.
Po odsunięcia się od obciążenia jeszcze dalej, na odległość lM, docieramy do punktu „M”, w którym g_M=1. Jest to punkt, w którym po skompensowaniu susceptancji b_M>0 możemy znaleźć się w punkcie dopasowania O.
Obwód pokazany jako M1 realizuje kompensację przez dodanie równoległej, ujemnej susceptancji (indukcyjnej) b_R(L_R).
Obwód pokazany jako M2 realizuje kompensację przez dodanie równoległej susceptancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości l_Z zwartej na końcu. Susceptancję taką możemy obliczyć ze wzoru (5-36).

Obwód pokazany jako M3 realizuje kompensację przez dodanie równoległej susceptancji zrealizowanej w postaci odcinka prowadnicy falowej o długości lR rozwartej na końcu. Reaktancje taką możemy obliczyć ze wzoru (5-37).

Rys.5.25. Ilustracja sposobów realizacji indukcyjności równoległej L_r.

Opisane w tym punkcie obwody ze stroikami równoległymi łatwo realizować w technice linii mikropaskowej. Mamy kłopoty z realizacją stroików włączonych szeregowo, w praktyce można je spotkać jedynie w zadaniach kolokwialnych.

Transformacja impedancji jednorodną i bezstratną prowadnicą falową prowadzi z punktu „L” przez punkty „I, R, K, M, S, N” powtórnie do punktu „L”. Dwa z nich, mianowicie punkt „R” i „S” charakteryzują się tym, że impedancja jest czysto rzeczywista i równa r_R i r_S. Wartości tych rezystancji związane są ze współczynnikiem fali stojącej $\Gamma$ wywołanym przez impedancję z_L na końcu linii. 

Problem kompensacji reaktancji, czy też susceptancji nie istnieje, jednakże pozostaje problem transformacji rezystancji do wartości r=1.
Punkt „R” charakterystyczny jest tym, że r_R>1. Wykorzystamy teraz transformator ćwierćfalowy, czyli odcinek linii o długości $\lambda$/4 – rys.5.24 – do przetransformowania rezystancji r_R do wartości r=1. 
Impedancja charakterystyczna Z₀₁ odcinka ćwierćfalowego może być obliczona z następującej zależności:

Ilustrację drogi transformacji z punktu „L” do środka układu pokazuje rys.5.24. Jeśli transformacja impedancji odbywa się odcinkiem prowadnicy o impedancji charakterystycznej innej, niż impedancja odniesienia (zwykle jest nią Z₀=50Ω), to środek okręgu transformacji nie jest dalej ulokowany w środku układu współrzędnych. Można tak dobrać Z_0t odcinka transformującego, aby okrąg przechodził przez punkt dopasowania.
 

Rys.5.24. Obwód dopasowujący z transformatorem ćwierćfalowym.

W przypadku transformacji impedancji z punktu „L” do „S” długość drogi transformacji jest większa o $\lambda$/4. Warunki transformacji zmieniają się, gdyż rS<1. Impedancja charakterystyczna transformatora ćwierćfalowego ma inną wartość, którą obliczamy z zależności (5-40):

Ilustrację drogi transformacji z punktu „L” do środka układu pokazuje rys.5.25.
 

Rys.5.25. Obwód dopasowujący z transformatorem ćwierćfalowym, druga wersja.
 

Projektowanie obwodów dopasowujących utworzonych przez odcinki linii o odpowiednio dobranych impedancjach charakterystycznych Z₀ jest najprostszym rozwiązaniem, łatwym w realizacji szczególnie w przypadku linii mikropaskowych. Konstruktor ma tutaj wiele możliwości i wiele rozwiązań. Oczywiście istnieją ograniczenia w realizowalności wartości impedancji Z₀. Zasadniczo nie projektujemy linii o Z₀<20$\Omega$ i Z₀>150$\Omega$. 
 

Rys.5.26. Ilustracja operacji transformacji impedancji odcinkami linii o różnych Z₀.

Popatrzmy na wykres Smitha z rys.5.26. Zaznaczono na nim 2 obszary, z których impedancje mogą być przetransformowane do punktu dopasowania jednym odcinkiem linii o odpowiednio dobranej Z₀. Jeżeli projektujemy obwód dopasowujący dla impedancji Z_L ulokowanej poza tymi obszarami, to należy najprostszą drogą przetransformować ją do tego obszaru. 

Macierze: impedancyjna, admitancyjna i łańcuchowa są powszechnie stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych. Można je także stosować jako formy właściwości obwodów o stałych rozłożonych, pamiętając jednak o tym, że występujące w nich impedancje (admitancje) nie mają odpowiedników w elementach przedstawionego obwodu. Jest tak z dwu zasadniczych powodów:
1.    Pojawiające się impedancje będą określone jako stosunki pewnych unormowanych napięć i prądów. Normowanie to może być przeprowadzone w rozmaity sposób. Dla każdego ze sposobów otrzymuje się inne wartości impedancji.
2.    Wartości impedancji zależą od doboru płaszczyzn odniesienia; przesunięcie tych płaszczyzn zmienia otrzymane wyniki.
Prądy i napięcia wprowadzone na rys.6.28 można ze sobą związać następującymi układami równań: 

Równania te można zapisać w formie macierzowej  :

Cztery współczynniki równań (6-41) mają wymiar impedancji; tworzą one kwadratową macierz impedancyjną [Z].

Jak powiedziano wyżej, wyrazy macierzy [Z] są impedancjami.

  Prądy i napięcia wprowadzone na rys.6.28 można ze sobą związać w innym układem równań:

lub inaczej w formie macierzowej  :

Cztery współczynniki równań (6-44) mają wymiar admitancji i tworzą kwadratową macierz admitancyjną: 

Wyrazy macierzy [Y] są admitancjami. Znając macierz [Z] można obliczyć wyrazy macierzy [Y] i na odwrót. 

Napięcie U₁ i prąd I₁ we wrotach wejściowych dwuwrotnika można połączyć z napięciem U₂ i prądem I₂ we wrotach wyjściowych następującymi równaniami:

Współczynniki A₁₁...A₂₂ występujące w tych równaniach tworzą kwadratową macierz łańcuchową [A], co pozwala zapisać te równania inaczej:

Wyrazy A₁₁ i A₂₂ są bezwymiarowe, wyraz A₁₂ ma wymiar impedancji, a wyraz A₂₁ admitancji.
Jedną z zalet macierzy łańcuchowej jest polega na tym, że przy łańcuchowym połączeniu dwuwrotników o macierzach [A₁], [A₂]...[A_n] macierz wypadkową [A] łańcucha oblicza się jako:

Dwuwrotniki, których wyrazy macierzy [Z], [Y] i [A] spełniają warunki (6-50) nazywane są odwracalnymi:

Warunki bezstratności dwuwrotników: 
•    impedancje macierzy [Z] są reaktancjami,
•    admitancje macierzy [Y] są susceptancjami,
•    wyrazy macierzy [A]: A₁₂ i A₂₁ są urojone, A₁₁ i A₂₂ są rzeczywiste.
Macierze [Z], [Y], itp., stosowane w teorii obwodów o stałych skupionych są stosowane dla obwodów wysokich częstotliwości. 

Typową dla techniki mikrofalowej formą opisu własności wielowrotników są macierze rozproszenia. Wynika to z następujących przyczyn:
•    współczynniki macierzy rozproszenia mają prostą interpretację fizyczną, są bezpośrednio związane z takimi parametrami, jak rozkłady napięć i prądów czy też moce fal rozchodzących się w prowadnicach dołączonych do dwuwrotnika,
•    współczynniki macierzy rozproszenia można łatwo i bezpośrednio (w przeciwieństwie np. do impedancji) zmierzyć.
Macierz rozproszenia zostanie zdefiniowana dla dwuwrotnika, analogicznie definiowana jest dla wielowrotnika. 
Do oznaczeń prądów i napięć dwuwrotnika z rys.6.28 dodano nowe, co pokazano na rys.7.29. Zespolone amplitudy fal padających U_p1, U_p2 i odbitych U_w1, U_w2 normalizujemy w stosunku do impedancji charakterystycznych w sposób opisany równaniami (7-51): 

Nowe wielkości a₁, a₂, b₁ i b₂ nazywane są znormalizowanymi amplitudami fal,

Rys.7.29. Fale i moce we wrotach T₁ i T₂ dwuwrotnika

    
Prądy I₁, I₂ oraz napięcia U₁, U₂ z rys.6.1 można związać z nowymi zmiennymi następującymi równaniami:

Dodajmy jeszcze zależności na moce, które niosą fale w prowadnicach:

Amplitudy b₁ i b₂ związane są z amplitudami a₁ i a₂ równaniami definicyjnymi: 

Równania powyższe można zapisać w postaci macierzowej  [b]=[S][a]:

Cztery współczynniki S₁₁...S₂₂ tworzą macierz rozproszenia [S];

Współczynniki macierzy [S] nazywane są współczynnikami rozproszenia.
•    S₁₁ i S₂₂ nazywane są reflektancjami, bo opisują efekty odbić,
•    S₁₂ i S₂₁ nazywane są transmitancje, bo opisują transmisję sygnału przez dwuwrotnik.

 Współczynniki macierzy rozproszenia mają prostą interpretacja fizyczną. Przyjmijmy najpierw, że a₂=0. Z równania (7-54) możemy wyznaczyć wartość S₁₁:

Równanie (7-57) interpretujemy w taki sposób, że S₁₁ jest współczynnikiem odbicia widzianym w tych warunkach w płaszczyźnie T₁, co tłumaczy nazwę współczynnika: reflektancja. Ponadto S₁₁ pozwala obliczyć moc odbitą od dwuwrotnika:

Współczynnik S₁₂ –transmitancja - pozwala obliczyć część mocy, która przejdzie do obciążenia umieszczonego we wrotach wyjściowych: 

W podobny sposób, przyjmując, że a₁=0, można znaleźć, że współczynnik odbicia widziany we wrotach wyjściowych równy jest S₂₂, a S₁₂ określa transmisję mocy do wrót wejściowych.
Ważną właściwością pewnej klasy dwuwrotników jest ich odwracalność. Dwuwrotnik jest odwracalny, jeżeli  S₁₂ = S₂₁, co oznacza, że transmisja sygnałów zachodzi w identyczny sposób w obie strony.
Kolejną ważną grupą w klasie dwuwrotników odwracalnych są dwuwrotniki bezstratne. Aby wyjaśnić znaczenie pojęcia bezstratności przyjmijmy, że P₂₊=0, do dwuwrotnika doprowadzono moc P1+, i że żadna część mocy padającej P₁₊ nie została pochłonięta. Bilans mocy wygląda następująco.

Drugie z równań napisano po podzieleniu obu stron pierwszego przez P₁₊. 
Można napisać podobny bilans po doprowadzeniu mocy od strony wyjścia. Otrzymamy wtedy pierwsze z równań warunków (7-61). Ponieważ z założenia dwuwrotnik jest odwracalny, to na podstawie bilansów mocy można napisać drugi z warunków (7-61). Wreszcie ostatni z warunków bezstratności (7-61), który podamy bez dowodu, wiąże ze sobą argumenty $\phi _{11}$, $\phi _{12}$ i $\phi _{22}$ współczynników rozproszenia S₁₁,S₁₂ i S₂₂.

W praktyce spotykamy dwuwrotniki, które nazywamy symetrycznymi. Zwykle ich struktura i wymiary wskazują na symetrię fizyczną. W sensie mikrofalowym warunek symetrii zapisuje się współczynnikami macierzy rozproszenia jako S₁₁ = S₂₂.
Dodajmy jeszcze jedną właściwość macierzy rozproszenia: jest ona unitarna, to znaczy:

Podsumujmy powyższe wywody określając liczbę niezależnych parametrów opisujących jednoznacznie właściwości dwuwrotnika. W ogólnym przypadku dwuwrotnik opisany jest 4 liczbami zespolonymi, a więc 8 parametrami. W szczególnych przypadkach liczba niezależnych parametrów maleje. W Tabeli 7.1. zestawiono wszystkie przypadki.
 
Tabela 7.1. Ilustracja wpływu właściwości dwuwrotnika na liczbę niezależnych parametrów.

 Macierz rozproszenia można w analogiczny co dla dwuwrotnika sposób zdefiniować dla wielowrotnika.

Rys.7.29. Oznaczenie płaszczyzn odniesienia i amplitud fal we wrotach N-wrotnika.    

Dla pokazanego na rys.7.29. N-wrotnika określono w N prowadnicach prowadzących do obszaru ich połączenia: 
•    N płaszczyzn odniesienia: T₁, T₂,...T_N, 
•    N unormowanych, zespolonych amplitud fal padających a₁, a₂,...a_N,
•    N unormowanych, zespolonych amplitud fal odbiegających b₁, b₂,...b₃.
Amplitudy fal padających tworzą kolumnową macierz [a], amplitudy fal odbitych tworzą macierz kolumnową [b]. Obie macierze połączone są zależnością [b] = [S][a] , definiującą kwadratową macierz rozproszenia N-wrotnika:

Liczba zespolonych współczynników macierzy [S] N-wrotnika równa jest N², co oznacza 2N² niezależnych parametrów N-wrotnika. 
Gdy N-wrotnik jest odwracalny jego transmitancje są parami równe sobie: 

i wtedy liczba niezależnych parametrów wynosi tylko N(N+1). Gdy dodatkowo przyjmiemy warunek bezstratności liczba niezależnych parametrów maleje do N(N+1)/2.

Obwody zastępcze T i $\pi$

Z wykładów przedmiotu Teoria obwodów wiemy, że znajomość impedancji macierzy [Z] i admitancji macierzy [Y] dwuwrotnika umożliwia skonstruowanie uniwersalnych obwodów zastępczych typu T i $\pi$. Obwody takie pokazano na rys.8.30.

Rys.8.30. Obwody zastępcze dwuwrotników nieodwracalnych: 
A) Obwód typu T, 
B) Obwód typu $\pi$.    

    
W ogólnym przypadku, gdy dwuwrotniki są nieodwracalne, w ich obwodach zastępczych muszą występować źródła prądowe lub napięciowe:
•    w obwodach typu T - źródło napięciowe sterowane prądem wejściowym I₁,
•    w obwodach typu $\pi$ - źródło prądowe sterowane napięciem wejściowym U₁.
Impedancje występujące w obwodzie zwykle nie mają interpretacji fizycznej i nie są związane z fizycznymi składnikami elementu opisanego obwodem zastępczym.
W przypadku dwuwrotników odwracalnych, gdy: 

źródła znikają i obwody zastępcze upraszczają się – rys.8.31.

Rys.8.31. Obwody zastępcze dwuwrotników odwracalnych; 
A) Obwód typu T, 
B) Obwód typu $\pi$     
    

Dla dwuwrotników odwracalnych i bezstratnych wszystkie występujące impedancje są reaktancjami, a admitancje susceptancjami. 
     Twierdzenie o transformatorze
Obwody zastępcze dwuwrotników bezstratnych, występujących w wielu praktycznych rozwiązaniach układów mikrofalowych, mają swoje cechy charakterystyczne, którym warto poświęcić trochę uwagi. Zapoznajmy się najpierw z twierdzeniem o transformatorze.

Na rys.8.32a pokazano obwód dwuwrotnika bezstratnego między płaszczyznami odniesienia T₁ i T₂, utworzonego przez bliżej nieokreślone nieciągłości między dwiema prowadnicami falowymi. W oparciu o twierdzenie o transformatorze wyznacza się prosty obwód zastępczy z idealnym transformatorem, umieszczonym między specjalnie znalezionymi płaszczyznami odniesienia T’₁ i T’₂, odległymi odpowiednio o l₁₀ i l₂₀ od płaszczyzn T₁ i T₂. Dla tak dobranego idealnego transformatora można napisać zależność (8-26):

Powstał w ten sposób obwód zastępczy z rys.8.32b, opisany trzema parametrami  $n^{2},\, \beta _1l_{10},\, \beta _2l_{20}$. Struktura obwodu zastępczego jest taka sama dla każdej częstotliwości, natomiast wartości jego parametrów zmieniają się z częstotliwością.

 
Rys.8.32. Obwód zastępczy z transformatore, 
A) Dwuwrotnik z płaszczyznami odniesienia. 
B) Obwód zastępczy z idealnym transformatorem. 

    
     Obwody zastępcze dwuwrotnika bezstratnego
Obwody zastępcze dwuwrotników o stałych skupionych składają się z takich elementów jak: pojemności C, indukcyjności L, rezystancje R, idealne transformatory, idealne źródła prądowe i napięciowe. Odpowiednia kompozycja tych elementów ma możliwie wiernie odtworzyć ich rzeczywiste zachowanie. Jednakże w wielu przypadkach zachowanie się rzeczywistych układów jest złożone w takim stopniu, że wszystkie wymienione elementy nie pozwalają na odtworzenie go z odpowiednią dokładnością. Zauważmy, że w obwodzie z rys.8.6b elementami obwodu zastępczego są odcinki prowadnic falowych. Są to elementy wprowadzone przez „elektronikę propagacyjną”, wzbogacające arsenał narzędzi służących do konstruowania obwodów zastępczych.
Najczęściej można znaleźć kilka różnych obwodów zastępczych opisujących właściwości rzeczywistego dwuwrotnika. Przedstawione niżej na rys.8.33 obwody zastępcze są uniwersalne, można je stosować do każdego dwuwrotnika bezstratnego.

 
Rys.8.33. Obwody zastępcze dwuwrotników bezstratnych.
A) Obwód opisany przez: n, br i $\beta _1l_{1}$.
B) Obwód opisany przez: n, x_s i $\beta _2l_{2}$ 
C) Obwód opisany przez: n, x_s i b_r. 

   
Do uniwersalnego obwodu zastępczego z rys.8.32b można dodać trzy kolejne obwody z rys.8.33. Jak widać z nich odcinki linii, susceptancje równoległe, czy też reaktancje szeregowe są wzajemnie zastępowalne. 
     Obwody zastępcze nieciągłości linii mikropaskowej
Rozdział zakończymy prezentacją kilku wybranych obwodów zastępczych elementów spotykanych w praktycznych realizacjach układów mikrofalowych.
 

Rys.8.34. Obwód zastępczy linii rozwartej

   Rys.8.35. Obwód zastępczy szczeliny w linii

Na rys.8.34 pokazano linię mikropaskową rozwartą. Jak wiemy napięcie w punkcie rozwarcia osiąga wartość maksymalną, ale pole elektryczne wnika w obszar poza linią. W obwodzie zastępczym pole to reprezentowane jest przez pojemność C.
Pokazana na rys.8.35 szczelina sprzęgająca ze sobą dwa odcinki linii mikropaskowej tworzy prostą strukturę bezstratnego i symetrycznego dwuwrotnika. Obwód zastępczy typu $\pi$ utworzony przez 3 pojemności dobrze opisuje jego właściwości.

 
 
Rys.8.36. Obwód zastępczy skokowej zmiany szerokości paska  

Rys.8.37. Obwód zastępczy rozgałęzienia typu T

Kolejne obwody pokazano na rys.8.36 i rys.8.37. Dokładna analiza polowa nieciągłości w liniach mikropaskowych (i innych także) wykazuje, że dokładniejsze opisanie zachowania tych nieciągłości, w szczególności na wyższych częstotliwościach wymaga skomplikowania obwodów zastępczych, tak jak to pokazują powyższe rysunki.