Podręcznik

Wykład poświęcony jest prawie w całości rezonatorom mikrofalowym, elementom o bardzo różnych konstrukcjach i rozmiarach, zwykle wykorzystującym odcinki prowadnic falowych. Jednakże opis zjawiska rezonansu wygodnie jest wprowadzić przez analizę idealnego obwodu rezonansowego o stałych skupionych, pokazanego na rys.1.1. Obwód ten nazywany jest szeregowym obwodem rezonansowym. Składa się on z:
•    idealnego źródła napięciowego U_G o rezystancji wewnętrznej R_G,
•    szeregowego obwodu rezonansowego L, C, R.
Prąd I płynący w obwodzie obliczamy z zależności (1-1), zgodnie z prawem Ohma: 

 
 Rys.1.1. Obwód rezonansu szeregowego. A) Elementy obwodu. 
B). Krzywa rezonansowa przepływu prądu w obwodzie

Przyjmijmy dalej, że źródło napięciowe zmienia swoją częstotliwość $f=\omega /2\pi$, nie zmieniając przy tym wartości amplitudy |U_G|. Obliczamy następnie zależność amplitudy prądu |I| płynącego w obwodzie od częstotliwości f otrzymując wykres pokazany na rys.1.1b. O otrzymanej charakterystyce mówimy, że ma charakter rezonansowy.  Maksymalną wartość prądu |I| otrzymujemy dla pulsacji $\omega =\omega _0$, zwaną pulsacją rezonansową. Jej wartość, zgodnie z zależnością (1-2), zależy od iloczynu LC: 

Dla częstotliwości rezonansowej amplituda prądu w obwodzie osiąga wartość wielokrotnie większą, niż w jej sąsiedztwie. W rezonansie impedancja Z jest czysto rzeczywista Z = R, a jej moduł osiąga wartość minimalną. Jednocześnie prąd płynący w obwodzie ma wartość maksymalną:

Na zjawisko rezonansu można spojrzeć od strony energii zgromadzonych w obwodzie. I tak średnia energia pola magnetycznego W_H zgromadzona w polu magnetycznym wytwarzanym przez indukcyjność, związana jest z wartością prądu zależnością (1-4):

Średnia energia pola elektrycznego W_E zgromadzona w polu elektrycznym wytwarzanym przez pojemność, może być wyznaczona na podstawie związku (1-5):

Dla pulsacji rezonansowej ($\omega =\omega _0$ i f = f₀) obie energie są sobie równe, a ich suma osiąga wartość maksymalną: 

 Wnioski powyższe są podstawą uogólnionej definicji częstotliwości rezonansowej rezonatora.
Charakterystycznym parametrem krzywej rezonansowej z rys.1.1b jest jej szerokość $\Delta$f. Parametr ten związany jest z dobrocią obwodu rezonansowego. Dobroć całkowita Q_L może być zdefiniowana w oparciu o kształt krzywej rezonansowej, bądź w oparciu o parametry obwodowe: 

 Definiowane są także: dobroć własna Q₀ i dobroć zewnętrzna Q_Z:   

      Związek między trzema zdefiniowanymi dobrociami jest oczywisty: 

 Impedancja Z zapisana zależnością (1-1) może być wyrażona w formie z użyciem dobroci: 

Impedancja szeregowego obwodu rezonansowego może być wyrażona uniwersalną zależnością słuszną dla każdego przypadku. Obliczymy moc strat P_R wydzieloną na rezystancji R:

 Możemy teraz zapisać impedancję Z($\omega$) następująco:

Zależność (1-12) jest słuszna dla każdego jednowrotnika i ilustruje ścisły związek między modelem obwodowym a polowym każdego obwodu, w tym przypadku rezonansowego.

Obwodem dualnym do szeregowego jest równoległy obwód rezonansowy, składający się z idealnego źródła napięciowego U_G, R_G i równoległego obwodu rezonansowego L, C, R.
Obliczamy napięcie panujące na obwodzie:

Odnotowujemy, że dla pulsacji rezonansowej $\omega =\omega _0$  admitancja jest rzeczywista Y = G, a jej moduł osiąga wartość minimalną.

 
 
Rys.1.2. Obwód rezonansu równoległego. A) Elementy obwodu. 
B) Krzywa rezonansowa napięcia obwodu.

Dla częstotliwości rezonansowej napięcie |U| na obwodzie osiąga wartość maksymalną.

Energie zgromadzone w obwodzie: średnia energia pola magnetycznego W_H:

 i średnia energia pola elektrycznego W_E:

są sobie równe dla pulsacji rezonansowej $\omega_0$, a ich suma osiąga wtedy wartość maksymalną, co zapisano wcześniej zależnością (1-6).

Także w tym przypadku charakterystycznym parametrem jest szerokość krzywej rezonansowej jako miara dobroci całkowitej Q_L obwodu: 

Pozostałe dobrocie własna Q₀ i zewnętrzna Q_Z zapisują się podobnymi zależnościami: 

 Zależność (1-9) wiąże ze sobą dobrocie.
Admitancja Y zapisana z użyciem dobroci: 

Rezonatorem lub wnęką rezonansową nazywamy obszar dielektryka otoczonego ściankami metalowymi, lub - w ogólnym przypadku innym dielektrykiem, w którym można wzbudzić pole elektromagnetyczne. Przykład struktury rezonatora utworzonego z odcinka falowodu prostokątnego pokazano na rys.1.3.
W rezonatorze pobudzonym gromadzi się energia pola magnetycznego ci elektrycznego W_E. Pulsację, dla której W_H = W_E nazywamy rezonansową. Jak w przypadku obwodu o stałych skupionych całkowita energia W_E + W_E zmagazynowana w rezonatorze osiąga dla pulsacji rezonansowej wartość lokalnie maksymalną.

Rys.1.3. Rezonator utworzony na bazie falowodu prostokątnego, wtrącony do falowodu prostokątnego.

 Dla rezonatora o określonych wymiarach można określić nieskończenie wiele częstotliwości rezonansowych. Każdej z nich odpowiada inny rozkład/mod pola EM w obszarze rezonatora. Najmniejszą częstotliwość rezonansową nazywamy rezonansem podstawowym. Wyższe częstotliwości rezonansowe nie są na ogół wielokrotnościami podstawowej.
Rozważymy teraz sytuację, gdy w rezonatorze wzbudzono pole EM doprowadzając z zewnątrz sygnał o częstotliwości rezonansowej $\omega_0$ i zgromadzono energię W₀. Następnie rezonator "odcięto" od źródła przerywając wzbudzenie. Straty w ściankach metalowych i dielektryku powodują wykładniczy zanik energii, zgodnie z zależnością (1-20):

Szybkość zaniku energii w rezonatorze jest miarą jego dobroci własnej Q₀. Gdy rezonator nie został "odcięty" od źródła energia zanika szybciej, gdyż część z niej wypływa na zewnątrz. Szybkość zaniku energii w tym przypadku jest miarą jego dobroci całkowitej Q_L.

Należy pamiętać, że dla każdego modu wartości dobroci rezonatora są inne. 
Moc P_R tracona w rezonatorze, w którym zgodnie z (1-20) zanika energia W jest równa: 

Ogólną, polową definicję dobroci własnej można teraz zapisać następująco:

lub inaczej: 

Można obok mocy P_R traconej w rezonatorze wyodrębnić moc P_G traconą w trakcie zaniku pobudzenia na zewnątrz rezonatora. Teraz dobroć całkowita i zewnętrzna zapiszą się zależnością (1-25): 

Związek (1-9) między dobrociami pozostaje oczywiście słuszny.

Istnienie „dolinek” na charakterystyce mocy odbitej na rys.2.4b oznacza, że rezonator został pobudzony w pasmach częstotliwości wokół f₀₁, f0₂,... Na rys.2.5A przedstawiono jedną z możliwych wersji obwodu zastępczego rezonator sprzężonego odbiciowo. Każdemu z nieskończenie wielu rezonansów odpowiada inny równoległy obwód rezonansowy. Pulsacje rezonansowe tych obwodów wynoszą kolejno: $\omega$₀₁, $\omega$₀₂, ... $\omega$_0N (gdzie N jest liczbą naturalną). Przy zmianie częstotliwości w szerokich granicach kolejne obwody przechodzą przez rezonans. Poza rezonansem każdy z obwodów zachowuje się jak zwarcie, jeśli tylko jego dobroć jest odpowiednio duża. Tak więc, ograniczając rozważania do stosunkowo wąskiego pasma częstotliwości wokół jednej z częstotliwości rezonansowych, można uprościć obwód zastępczy pozostawiając jeden obwód rezonansowy. 
Przekładnia n idealnego transformatora jest oczywiście funkcją częstotliwości. W wąskim pasmie częstotliwości, dla jednego określonego rodzaju pola, wartość n można jednak uznać za stałą.
Na rys.2.5B pokazano rozkład modułu napięcia |U(l)| wzdłuż prowadnicy falowej, gdy rezonator jest odstrojony od rezonansu. Położenia minimum tego napięcia wyznaczają tzw. płaszczyzny zwarcia przy odstrojeniu. Jedną z nich może być płaszczyzna odniesienia T dla równoległego obwodu rezonansowego, gdyż obwód taki daleko od rezonansu staje się zwarciem.
Innego rodzaju płaszczyzny odniesienia wyznaczają maksima rozkładu |U(l)|. Są to tzw. płaszczyzny rozwarcia przy odstrojeniu. Ponieważ szeregowy obwód rezonansowy zachowuje się daleko od rezonansu jak rozwarcie, to w tej płaszczyźnie odniesienia może on być obwodem zastępczym rezonatora.

Rys.2.5. Obwody zastępcze rezonatora sprzężonego odbiciowo. A) Pełny obwód zastępczy, w płaszczyźnie zwarcia przy odstrojeniu. 
B) Rozkład napięcia na linii przed rezonatorem, daleko od rezonansu. 
C) Równoległy zastępczy obwód rezonansowy dla wybranego modu w płaszczyźnie zwarcia przy odstrojeniu, po przetransformowaniu na stronę prowadnicy. 
D) Szeregowy zastępczy obwód rezonansowy w płaszczyźnie rozwarcia przy odstrojeniu, po przetransformowaniu na stronę prowadnicy. 

Oba rodzaje obwodów zastępczych rezonatora: równoległy i szeregowy przedstawiono odpowiednio na rys.2.5C i rys.2.5D. W obwodach tych nie ma już idealnego transformatora reprezentującego układ sprzężenia rezonatora z prowadnicą, gdyż wszystkie elementy obwodu przetransformowano na stronę prowadnicy falowej. Wybór jednego z obwodów zastępczych jest kwestią wygody.

Obwód zastępczy z rys.2.8c jest opisany trzema elementami: L, C i G. Wartości te są związane z dwoma parametrami rezonatora: częstotliwością rezonansową $\omega$_0n, i dobrocią własną rezonatora Q_0n.

Wynika z tego, że znajomość  $\omega$_0n i Q_0n nie pozwala jednoznacznie określić wartości L, C i G.
Na podstawie obwodu można określić także dobroć całkowitą Q_L i zewnętrzną Q_Z,

związane ze sobą zależnością (2-9).
Kolejnym ważnym parametrem jest współczynnik sprzężenia $\beta$:

Ze względu na wartość $\beta$ rezonator może być zakwalifikowany do jednej z trzech grup:
•    $\beta$ < 1 - rezonator sprzężony podkrytycznie,
•    $\beta$ = 1 - rezonator sprzężony krytycznie,
•    $\beta$ > 1 - rezonator sprzężony nadkrytycznie.
Admitancja rezonatora y_r może być zapisana bez użycia elementów obwodu zastępczego:

Trzy parametry: $\beta$, $\omega$₀ i Q₀ mogą być wyznaczone w oparciu o pomiary. 

Wygodną formą opisu właściwości rezonatora sprzężonego odbiciowo jest podanie zależności jego współczynnika odbicia od częstotliwości. Współczynnik odbicia $\Gamma$(f) rezonatora można określić w płaszczyźnie zwarcia przy odstrojeniu przy pomocy zredukowanej admitancji y_r:

Do zależności (2-31) należy wprowadzić admitancję y_r , a następnie wprowadzić nową zmienną $\alpha$, nazywaną znormalizowaną częstotliwością albo parametrem odstrojenia:

 
 Rys.2.6. Okrąg   $\Gamma$(f) rezonatora włączonego odbiciowo, na płaszczyźnie zespolonej

Rys.2.7. Położenie okręgów wspłczynnika odbicia rezonatorów dla różnych wartości współczynników sprzężenia.

W rezonansie, gdy $\alpha$=0: 

lub inaczej: 

Wielkość D jest rzeczywista i dodatnia.
Wykresem funkcji $\Gamma (\alpha )$ na płaszczyźnie zespolonej jest okrąg „zaczepiony” w punkcie –1, o średnicy $\Gamma$. Okrąg taki pokazano na rys.2.6 wraz z graficzną konstrukcją umożliwiającą znalezienie $\Gamma$ dla danej wartości $\alpha$. Zauważmy, że okrąg admitancji pokrywa się z okręgiem stałej konduktancji 1/$\beta$.
Obraz okręgu reflektancji na wykresie Smith’a dużo mówi i parametrach rezonatora, współczynniku sprzężenia, płaszczyźnie odniesienia, innych rezonansach, itp..

Rys.2.8. Współczynnik odbicia rezonatora widziany w różnych płaszczyznach.    

Zgodnie z opisanym modelem okrąg współczynnika $\Gamma (\alpha )$ rezonatora, mierzonego w płaszczyźnie zwarcia przy odstrojeniu, winien być zaczepiony w punkcie –1 i styczny do okręgu $\left | \Gamma \right |=1$. Występujące często straty w obwodzie sprzężenia powodują przesunięcie okręgu $\Gamma (\alpha )$ do wnętrza okręgu $\left | \Gamma \right |=1$. 

Ten sposób włączenia rezonatora charakteryzuje się tym, że przesyłanie mocy miedzy wrotami odbywa się jedynie w przypadku pobudzenia rezonatora, to znaczy w sąsiedztwie częstotliwości rezonansowej. Istnienie na charakterystykach z rys.3.12b „górek” transmisji i „dolin” mocy odbitej oznacza, że rezonator został pobudzony. 
Do opisania zachowania rezonatora możemy użyć dwa typy obwodów zastępczych: z obwodami RLC szeregowymi i równoległymi. Przyjmując, że dla każdego modu wprowadzimy jeden obwód RLC, to pełny obwód zastępczy staje się złożony (zapraszamy do komentarza).     
Ograniczymy rozważania do pasma częstotliwości wokół wybranej częstotliwości rezonansowej. Obwód zastępczy upraszcza się wtedy do postaci pokazanej na rys.3.10A i rys.3.10B. Wybierając obwód równoległy GLC i transformując na stronę rezonatora obciążenia z obu prowadnic falowych otrzymujemy najprostszy obwód zastępczy z rys.3.10C. Służy tylko do określenia współczynników sprzężenia, gdyż przestał być dwuwrotnikiem.

Rys.3.10. Obwody zastępcze rezonatora sprzężonego transmisyjnie. 
A) Obwód szeregowy. B) Obwód równoległy. C) Po przetransformowaniu admitancji Y₀₁ i Y₀₂.

    
Rezonator włączony transmisyjnie sprzężony jest z dwiema prowadnicami falowymi, dlatego należy zdefiniować dwa współczynniki sprzężenia, zwykle różnej wartości. 

Dobrocie definiujemy tradycyjnie:

Właściwości rezonatora włączonego transmisyjnie, który jest dwuwrotnikiem odwracalnym, opisuje jednoznacznie jego macierz rozproszenia: 

Transmitancja T jest prostą funkcją znormalizowanej częstotliwości $\alpha$:

Tutaj:   Transmisja mocy w rezonansie określona jest wartością T₀ zależną od współczynników sprzężenia z prowadnicami.
Reflektancje R₁ i R₂ zapisują się w sposób identyczny, jak dla rezonatora sprzężonego odbiciowo:

Średnice okręgów reflektancji i transmitancji zapisane są zależnością (3-39):

 

 
 
Rys.3.11. Okręgi transmitancji A) i reflektancji B) rezonatora włączonego transmisyjnie.

Położenie okręgów transmitancji i reflektancji pokazano na rys.3.11.

Rezonatory włączone transmisyjnie i reakcyjnie są dwuwrotnikami, rózni je zachowanie w razonansie i daleko od rezonansu. Poza rezonansem rezonator transmisyjny odbija moc padającą, nic z tej mocy nie pojawia się na wyjściu. Natomiast w rezonansie , po pobudzeniu rezonatora, część mocy transmitowana jest do wyjścia. Rezonator sprzężony reakcyjnie nie zaburza poza rezonansem przypływu fali w linii, transmisja jest pełna. Natomiast w rezonansie tylko część mocy transmitowana jest do wyjścia, część jest odbijana, część tracona w rezonatorze. Dlatego struktury obwodów zastępczych rezonatorów: transmisyjnego i reakcyjnego są różne – rys.4.13A i B.
W konkretnym przypadku jest sprawą wygody, który z obwodów zastępczych wybierzemy do analizy. Jednakże pamiętajmy, że jest między nimi różnica polegająca na tym, że płaszczyzny odniesienia, między którymi wpisano obwód rezonansowy są różne dla obwodu szeregowego i równoległego.
 
 

Rys.4.13. Obwody zastepcze rezonatora sprzężonego reakcyjnie. A) Obwód szeregowy włączony równolegle. B). Obwód równoległy włączony szeregowo.

Parametry rezonatora włączonego reakcyjnie dla obwodu z rys.4.13B związane są z elementami obwodu zastępczego nastepująco:

Rezonator włączony reakcyjnie jest dwuwrotnikiem i można dla niego określić macierz rozproszenia:

Dwuwrotnik jest symetryczny, więc obie reflektancje są sobie równe. Reflektancja rezonatora reakcyjnego opisana jest wyrażeniem (4-42):

 
 
Rys.4.14. Współczynniki macierzy rozproszenia rezonatora sprzężonego reakcyjnie.
A) Okrąg reflektancji R($\alpha$). B) Okrąg transmitancji T($\alpha$).

 Transmitancja T opisana jest zależnością (4-43):

Reflektancja R i transmitancja T związane są prostą zależnością:

Na płaszczyźnie zespolonej reflektancja R i transmitancja T są okręgami o tych samych rozmiarach, ale zaczepionych w innych punktach – rys.4.14.

Rezonator półfalowy jest odcinkiem linii współosiowej zwartej na obu końcach. Rezonator taki może być częściowo, lub całkowicie wypełniony dielektrykiem. Warunek rezonansu dla takiego rezonatora zapisuje się następująco:

Najmniejszą, podstawową częstotliwość rezonansową otrzymujemy dla n=1. Kolejne częstotliwości rezonansowe są wielokrotnościami podstawowej:

Na rys.5.15A pokazano strukturę i wymiary rezonatora półfalowego. Na rys.5.15B pokazano rozkład pola elektrycznego wzdłuż osi rezonatora. Pole elektryczne zanika w miejscu umieszczenia zwarcia. Warunek rezonansu oznacza, że wzdłuż osi rezonatora odkłada się całkowita (n) ilość "połówek" fali. Na rys.5.15C pokazano rozkład pola elektrycznego dla kolejnych rezonansów, n=2 i n=3.
 

Rys.5.15. Rezonator półfalowy na linii współosiowej. A) Rozmiary rezonatora. 
B) Rozkład pola elektrycznego w modzie podstawowym. C) Rozkłady pola elektrycznego dla kolejnych dwu modów.    
 

Rezonator ćwierćfalowy jest odcinkiem linii współosiowej zwartym na jednym końcu, a na drugim rozwartym – rys.5.16A. Koniec rozwarty przechodzi zwykle w cylindryczny falowód podkrytyczny, aby promieniowanie fali elektromagnetycznej nie powiększało strat rezonatora. Dla takiej struktury warunek rezonansu zapisze się następująco:

 Dla n=1 częstotliwość rezonansowa jest najmniejsza. Kolejne częstotliwości rezonansowe obliczyć można ze wzoru (5-48): 

Na rys.5.16B pokazano rozkład natężenia pola elektrycznego dla modu podstawowego. Kolejne mody dla n=3 i n=5 pokazano na rys.5.16C. Wzdłuż osi rezonatora dokłada się całkowita, nieparzysta ilość „ćwiartek” fali.
 

Rys.5.16. Rezonator ćwierćfalowy na linii współosiowej. A) Rozmiary rezonatora. 
B) Rozkład pola elektrycznego w modzie podstawowym. C) Rozkłady pola elektrycznego dla kolejnych dwu modów  

 
Struktury rezonatorów półfalowego i ćwierćfalowego, pokazane na rys.5.15 i rys.5.16 są zamknięte i Czytelnik zastanawia się jak pobudzić taki odcinek linii współosiowej. Pobudzanie rezonatora współosiowego należy skonstruować w taki sposób, aby wzbudzić żądany mod bez wzbudzenie modów niepożądanych. Realizuje się to następująco:
•    sondą/antenką umieszczoną w maksimum pola elektrycznego,
•    pętlą umieszczoną w maksimum pola magnetycznego.
Praktyczne rozwiązanie pokazuje rys.5.17. Rezonator ćwierćfalowy sprzężony jest z dwiema liniami współosiowymi zakończonych pętlami, które sprzężone są z polem magnetycznym rezonatora. Pętle wprowadzone są przy zwarciu, w miejscu, w którym pole magnetyczne jest najsilniejsze. Dobierając rozmiary pętelek można zmieniać stopień sprzężenia rezonatora z liniami współosiowymi.
Wysuwając przewód wewnętrzny można przestrajać rezonator ćwierćfalowy

Rys.5.17. Rezonator ćwierćfalowy, włączony transmisyjnie. 

   Rys.5.18. Rezonator helikalny stosowany w zakresie 
f = 30 MHz - 1000 MHz.
 

Rezonator prostopadłościenny utworzony jest na bazie falowodu prostokątnego. Odcinek takiego falowodu o rozmiarach axb jest zamknięty dwiema metalowymi ściankami umieszczonymi w odległości l – rys.6.19.

Rys.6.19. Rezonator prostopadłościenny – kształt i rozmiary. 

   Dla takiej struktury możliwym jest rozwiązanie równań Maxwella dla określonych rozmiarami warunków brzegowych rezonatora. Ogólnie mówiąc otrzymano dwie rodziny modów rezonansowych, opartych na dwóch rodzinach modów propagowanych w falowodzie prostokątnym.
•    Mody TEmnp, charakterystyczną dla nich jest składowa H_Z. Otrzymano dla nich następujące rozwiązanie: 

gdzie: m=0,1,2,3...;  n=0,1,2,3...; p=1,2,3,4...;
•    Mody TMmnp, charakterystyczna dla nich jest składowa E_Z. Otrzymano dla nich następujące rozwiązanie:

gdzie m=1,2,3,4...;  n=1,2,3,4...;  p=0,1,2,3...; Wskaźniki m,n,p oznaczają ilość „połówek" fal odkładających się wzdłuż boków a,b i l.
Częstotliwości rezonansowe obliczamy ze wzoru (6-61):

Materiał wypełniający rezonator ma parametry:  $\mu =\mu _r\mu _0;\, \, \varepsilon =\varepsilon_r \varepsilon_0;$ wpływają one w istotnym stopniu na wartość częstotliwości rezonansowej, gdyż:

W idealnym przypadku, gdy nie ma strat w ściankach metalowych i w dielektryku, gdy rezonator jest idealnym prostopadłościanem, pole EM może być wzbudzone tylko dla ciągu dyskretnych wartości f_0mnp. W rzeczywistych rezonatorach ze stratami można wzbudzić pole także wokół częstotliwości f_0mnp. Im większa dobroć, tym węższym jest pasmo wzbudzenia.
Dla rezonatora prostokątnego o bokach oznaczonych zgodnie z warunkiem b<a<l, podstawowym rodzajem rezonansowym o najmniejszej częstotliwości jest mod TE₁₀₁. Rozkład pola EM dla tego rodzaju pokazuje rys.6.32a. Rozkład pola EM dla rodzaju TE₂₀₁ jest podobny, gdyż dwukrotnie powtórzony – rys.6.32b.
W wielu przypadkach istnieje konieczność przestrojenia rezonatora prostokątnego. Można to realizować kilkoma sposobami:
•    mechanicznie przez zmianę długości l (jedno z denek musi być ruchome),
•    przez wsuwanie kołka dielektrycznego o dużym $\varepsilon_r$r, co powoduje zmniejszenie f₀,
•    przez wsuwanie kołka metalowego i zmianę objętości, wtedy f₀ rośnie.
 

Rys.6.20. Rozkład pola EM dla rezonatora prostokątnego. 
A) Mod TE₁₀₁. B) Mod TE₂₀₁.

Rezonator cylindryczny powstaje na bazie falowodu cylindrycznego, zamkniętego dwiema metalowymi ściankami w odległości l – rys.6.21.

Rys.6.21. Rezonator cylindryczny – kształt i rozmiary. 

 Dla opisanej struktury możliwym jest rozwiązanie równań Maxwella dla określonych rozmiarami warunków brzegowych rezonatora. Także w tym przypadku otrzymano dwie rodziny modów rezonansowych, opartych na dwóch rodzinach modów propagowanych w falowodzie prostokątnym.
•    Mody TE_nmp, charakterystyczną dla nich jest składowa H_Z. Otrzymano dla nich następujące rozwiązanie:

gdzie n=0,1,2,3...;  m=1,2,3,4...;  p=1,2,3,4...;  q’_nm jest m-tym pierwiastkiem pochodnej funkcji Bessela J'_n(x).
•    Mody TM_nmp, charakterystyczna dla nich jest składowa E_Z. Otrzymano dla nich następujące rozwiązanie:

gdzie n,m,p - jak wyżej, a q_nm jest m-tym pierwiastkiem funkcji Bessela J_n(x). Wskaźnik p oznacza ilość „połówek" fali odkładających się wzdłuż długości l.
Częstotliwości rezonansowe rezonatora cylindrycznego obliczamy ze wzoru:

We wzorze powyższym K_nm=$\pi$/q_nm dla modów TM_nmp i K_nm=$\pi$/q'_nm dla modów TEn_mp.

Konstruktorzy rezonatorów starają się zwykle uzyskać jak największe wartości dobroci. Dyskusję czynników wpływających na dobroć można przeprowadzić na przykładzie rezonatorów falowodowych. 
Kształt rezonatora falowodowego wpływa na wartość dobroci. Można udowodnić, że im większy jest stosunek objętości rezonatora do jego powierzchni, tym większą dobroć Q₀ można uzyskać. Wypływa z tego wniosek, że największą wartość dobroci rezonatora prostokątnego uzyskamy dla sześcianu, a gdy nie jesteśmy ograniczeni typem falowodu, dla rezonatora kulistego.
Dobrocie rezonatorów falowodowych Q₀ zmieniają się także od modu do modu. Ogólna zasada mówi, że ze wzrostem wskaźników n,m,p rośnie dobroć Q₀. 
Metal, z którego wykonany jest rezonator falowodowy w znacznym stopniu determinuje jego dobroć. Prąd w ściankach metalowych płynie jedynie w cienkiej warstwie przy powierzchni, gdyż występuje efekt naskórkowy, który ogranicza głębokość wnikania $\delta$_S – (6-66):

Tutaj $\mu =\mu _r\mu _0$ jest przenikalnością magnetyczną metalu, $\sigma$[S/m] jest przewodnością metalu. W rezultacie rezystancja powierzchniowa R_S rośnie z częstotliwością:

Wartość rezystancji powierzchniowej R_S wpływa istotnie na wartość dobroci Q_0nmp:

Z tej przyczyny ścianki poleruje się, aby zmniejszyć rozwinięcie powierzchni, pokrywa się dobrze przewodzącymi metalami: złotem, srebrem. Oczywiście rezonatory wykonane z nadprzewodników osiągają największe dobrocie dochodzące do 100 milionów.
Dielektryk wypełniający rezonator ma także wpływ na wartość Q₀. Straty dielektryka charakteryzuje wartość tg$\delta$: definiowany dobrze znana zależnością na przenikalność dielektryka: $\varepsilon =\varepsilon "-j\varepsilon ""=\varepsilon _r\varepsilon _0(1-jtg\delta );$. 
Zależność (6-69) pokazuje, że zarówno straty mocy w ściankach metalowych, jak w samym materiale dielektrycznym powodują zmniejszenie dobroci Q₀.

Rezonatory można także wykonywać w oparciu o linię mikropaskową. Ze względu na użyty dielektryk linia mikropaskowa ma stosunkowo duże straty. Także w przypadku rezonatorów straty na promieniowanie zaczynają odgrywać istotną rolę. Dlatego nie należy oczekiwać dużych dobroci tak realizowanych rezonatorów (zwykle Q₀<1000). Jednakże w wielu przypadkach użycie tego typu prowadnicy jest konieczne. 
Najprostszą strukturę tworzy odcinek linii mikropaskowej o długości l, rozwarty na obu końcach, który jest rezonatorem półfalowym. Warunek rezonansu zapisze się następująco:

Na rys.7.36a pokazano najprostszy przypadek rezonatora półfalowego, sprzężonego z dwiema prowadnicami falowymi.

Rys.7.37. Rezonatory półfalowe na linii mikropaskowej. A) sprzężony pojemnościowo i transmisyjnie, 
b) sprzężony przez szczelinę, 
c) sprzężony bezpośrednio    

Na rys.7.36b rezonator półfalowy może być pobudzony przez sygnał z linii mikropaskowej, którą oddziela od rezonatora wąska szczelina. Przypadek z rys.7.36c to bezpośrednie pobudzenie rezonatora stukającego się z linia. W obu ostatnich przypadkach rezonator sprzężony jest odbiciowo. 

Rezonator pierścieniowy utworzony jest przez zamknięty odcinek linii mikropaskowej, jak pokazano na rys.6.37. Fale propagowane są w obie strony, dlatego czasami struktura taka nazywana jest rezonatorem z falą bieżącą. Warunek rezonansu zapisuje się wzorem:

Rys.7.37. Rezonator pierścieniowy sprzężony transmisyjnie z liniami mikropaskowymi    

W omawianym przypadku rezonator włączony jest transmisyjnie, gdyż jego struktura wraz z dwoma prowadnicami tworzy symetryczny dwuwrotnik. 
Rezonator pierścieniowy można także budować wykorzystując inne typy prowadnic falowych: np. falowód prostokątny.

 Miniaturyzacja układów mikrofalowych wykonywanych w technologiach planarnych uniemożliwia wykorzystanie rezonatorów falowodowych o dużych dobrociach. Ponieważ rezonatory wykonane na bazie linii mikropaskowej nie osiągają dużych dobroci, to poszukiwano innych rozwiązań. 
Takim rozwiązaniem stał się rezonator dielektryczny, który jest dyskiem wykonanym z dielektryka o dużej przenikalności elektrycznej $\varepsilon_r$ = 30...100. Struktura jest całkowicie otwarta i nie ma żadnej ścianki metalowej.
Rezonator dielektryczny jest strukturą wielomodową. Podstawowym modem rezonansowym jest TE_01$\delta$. Rozkład pola EM dla tego modu pokazano na rys.8.38A. Duża rozmaitość wyższych modów utrudnia ich kontrolę.

   Rys.8.38. Rezonator dielektryczny. A) Rozkład pól E 
i H w rezonatorze dla rodzaju podstawowego TE_01$\delta$. B) Rezonator dielektryczny sprzężony z linią mikropaskową.

Dobrocie własne Q₀ rezonatorów są stosunkowo duże, w granicach 3000...8000.
Rezonator dielektryczny dobrze sprzęga się z linią mikropaskową –rys.8.38B. Pole magnetyczne otaczające pasek wnika do obszaru rezonatora i wzbudza pole elektryczne. Oczywiście wzbudzenie jest możliwe tylko wokół częstotliwości rezonansowej.
W niektórych przypadkach koniecznym jest przestrojenie rezonatora dielektrycznego. Stosowane jest wtedy rozwiązanie pokazane na rys.8.39A. Ruchome metalowe denko ogranicza obszar wzbudzenia pola magnetycznego i przez zmianę jego odległości można przestrajać rezonator mechanicznie w granicach 1...3%.
 
 

Rys.8.39. Sprzężenie rezonatora dielektrycznego z linią mikropaskową. A) Rezonator przestrajany metalowym denkiem. B) Obwód zastępczy.    

Wielką zaletą rezonatorów dielektrycznych jest możliwość stabilizacji termicznej ich częstotliwości rezonansowej. Częstotliwość rezonansowa rezonatora, w ogólnym przypadku, jest funkcją jego rozmiarów i przenikalności elektrycznej $\varepsilon$ dielektryka, z którego jest zrobiony – zależność (8-72). 

 Zwykle z temperaturą rosną liniowo rozmiary rezonatora, a jego częstotliwość rezonansowa maleje, gdyż  $f_0\approx L^{-1}$. Wzrost przenikalności względnej $\varepsilon$_r powoduje także malenie częstotliwości, gdyż $f_0\approx \varepsilon _r^{-\frac{1}{2}}$ . Jednakże znane są materiały dielektryczne, wśród których wartość pochodnej   można dobierać dodatnią „+” lub ujemną „-”. W rezultacie zmiany przenikalności   $\varepsilon$_r mogą kompensować zmiany wymiarów rezonatora i częstotliwość rezonansowa rezonatora dielektrycznego może być niezależna od temperatury.
Rezonatory dielektryczne stosowane są m.in. do stabilizacji częstotliwości oscylatorów wykonanych w technologii MMICs, oraz w realizacji wielobwodowych miniaturowych filtrów mikrofalowych. 

Rezonator ferrimagnetyczny jest miniaturową kulką monokryształu granatu żelazowo-itrowego (ang. yttrium iron garnet YIG), o średnicy w granicach 0,5...1,5 mm. Kulka ta zamocowana jest na pręciku dielektrycznym i umieszczona w skrzyżowanych polach magnetycznych: stałym H₀ i zmiennym H. Rezonans ma miejsce, gdy częstotliwości pola zmiennego jest równa częstotliwości własnej precesji momentów magnetycznych monokryształu. Częstotliwość precesji zmienia się przez zmianę natężenia stałego pola elektrycznego – zależność (9-63).

Tutaj $\gamma$ jest współczynnikiem żyromagnetycznym. 
Na rys.9.40a pokazano sposób umieszczenia kulki monokryształu między nabiegunnikami elektromagnesu. Kulkę otacza pętle wykonana z cienkiego przewodu metalowego, czasami tasiemki metalowej. Pętla pobudzona jest sygnałem mikrofalowym, gdyż jest zwarciem linii mikropaskowej.
Obwód zastępczy tak umieszczonego rezonatora pokazano na rys.9.40B. Sam rezonator sprzężony jest odbiciowo, a indukcyjność szeregowa L_S reprezentuje indukcyjność pętli.

    Rys.9.40. Rezonator YIG 
A) Rezonator w polu elektromagnesu. 
B) Obwód zastępczy rezonatora YIG.

Dobrocie rezonatorów ferrimagnetycznych Q₀ mieszczą się w granicach 1000...3000. W praktycznych rozwiązaniach sprzęgane są z linią silnie nadkrytycznie i ich dobroć całkowita Q_L jest wtedy istotnie mniejsza, w granicach 200...800. 
Unikalną zaletą rezonatorów YIG jest możliwość ich szerokopasmowego przestrajania elektronowego przez zmianę H₀, czyli przez zmianę prądu cewki elektromagnesu. Zakres przestrajania f_max/f_min może dochodzić do 4. Ta właściwość pozwala na konstrukcję szerokopasmowych oscylatorów mikrofalowych, o czym będzie mowa w jednym z następnych wykładów.
 

Na falach milimetrowych i submilimetrowych rezonatory wnękowe tracą dobroć, gdyż jak pamiętamy, Q₀~f^-1/2. Do pewnych zastosowań można użyć rezonator Fabry-Perot. Rezonator ten tworzą 2 zwierciadła sferyczne o promieniach R₁ i R₂ – rys.10.41B. Jedno zwierciadło można zastąpić płaszczyzną metalową.
Rozważmy obszar między dwiema płaszczyznami metalowymi – rys.10.41A. Między nimi rozchodzi się fala płaska TEM, dla której składowa poprzeczna natężenia pola elektrycznego E_X opisana jest zależnością (10-64).

 Warunek rezonansu wynika z konieczności spełnienia warunków brzegowych, zapisanych następująco: 

Warunek ten jest spełniony, jeśli odległość d między płaszczyznami równa jest wielokrotności połowy fali $\lambda$. Ilość n połówek fali może w pasmach fal milimetrowych dochodzić do kilkuset. Częstotliwość rezonansową obliczamy ze wzoru (10-66).

Fala wzbudzona w objętości między dwiema płaszczyznami będzie wypływa na zewnątrz. Aby zapobiec promieniowaniu płaszczyzny zastępuje się kulistymi zwierciadłami. Warunek stabilności dla takiego rezonatora jest następujący:

 Zwykle d/R₁=d/R₂$\cong$0,6 lub $\cong$1,4. 

Rys.10.41. Rezonatory Fabry-Perot. A) Rezonator Fabry-Perot z płaskimi zwierciadłami. 
B) Rezonator F-P ze zwierciadłami cylindrycznymi.

Rezonatory F-P mają duże dobrocie, rzędu 100.000 i więcej, ze względu na duży stosunek objętości do powierzchni zwierciadeł metalowych.

 Filtr włączony jest zwykle między generator a obciążenie w sposób pokazany na rys.11.43. Oznaczona na nim: P_G jest mocą dysponowaną źródła, P_L  jest mocą pochłoniętą przez obciążenie, P_R jest mocą powracającą do źródła, P_A jest mocą pochłoniętą przez filtr i obciążenie. Dla filtru zbudowanego z elementów bezstratnych P_L=P_A.

Tłumienie T filtru umieszczonego miedzy generatorem i obciążeniem, związane jest z jego transmitancją S₂₁, a dla filtru bezstratnego określone jest reflektancją S₁₁ – (11-69):

Rys.11.43. Filtr umieszczony między generatorem a obciążeniem.  

Rys.11.44. Charakterystyki tłumienia 
obu filtrów

Teoria filtrów została bardzo dobrze opracowana i rozbudowana. W naszym wykładzie nie możemy jej zmieścić. Teoria ta oparta jest o analizę struktur bezstratnych o stałych skupionych LC. Wykazano, że dla obwodów tego rodzaju współczynniki macierzy [S] są wielomianami zależnymi od $\omega ^{2}$ i opisane są następującymi ogólnymi zależnościami:

Tutaj $M(\omega ^{2})$ i $N(\omega ^{2})$są wielomianami rzeczywistymi. Transmisja mocy określona jest wartością tłumienia T, opisanego następująco:

Wykazano, że istnieje wiele rozwiązań struktury elementów LC tworzących filtr, umożliwiających uzyskanie odpowiedniej charakterystyki tłumienia. Poznamy tylko dwie najpopularniejsze z nich.

Podstawowa teoria filtrów opisuje filtry dolnoprzepustowe. Popularnym jest filtr o charakterystyce maksymalnie płaskiej - Butterworth’a, opisanej następującą zależnością: 

gdzie N jest liczbą elementów filtru. Ważnym parametrem filtru jest „stromość” jego charakterystyki w obszarze przejścia z pasma o małym tłumieniu do pasma o tłumieniu dużym. Zgodnie z teorią „stromość” charakterystyki rośnie z liczbą elementów. 
Teoria filtru o charakterystyce zafalowanej, z jednakowymi maksymalnymi odchyleniami oparta została o teorię wielomianów Czebyszewa. Filtry tego rodzaju nazywane są filtrami o charakterystyce Czebyszewa. Tłumienie tych filtrów opisuje się zależnością:

T_N jest wielomianem Czebyszewa N-go rzędu:

Wielomian T_N charakterystyczny jest tym, że dla zakresu pulsacji ${\omega }/{\omega _C}\leq 1$ jego wartość mieści się w granicach $-1$, natomiast poza tym zakresem, dla ${\omega }/{\omega _C}> 1$ wartość $T_N(\omega /\omega _C)$ rośnie monotonicznie. W zakresie pulsacji ${\omega }/{\omega _C}< 1$wartość funkcji $T_N(\omega /\omega _C)$ „faluje”, a wartość zafalowań może być kontrolowana.

Podstawową strukturę filtru prototypu dolnoprzepustowego pokazuje rys.11.45A. Wartości L₁,C₁, ... L_n,C_n zależą od liczby par elementów i są znormalizowane dla $\omega$=1 i R_G=R_L=1. Rzeczywiste wartości L i C otrzymuje się po właściwym przeskalowaniu.

 
Rys.11.45. Struktura filtru prototypu.
A) Podstawowa struktura filtru dolnoprzepustowego. B) Wymienność elementów w rozmaitych rodzajach filtrów.

 Znając elementy dolnoprzepustowego filtru prototypu można obliczyć elementy każdego innego filtru jeżeli tylko znamy jego pasmo pracy. Na rys.11.45B pokazano zasadę wymienności elementów filtru. Odpowiednia zamiana elementów L i C czyni z filtru dolnoprzepustowego filtr górnoprzepustowy. 
Zastąpienie elementów L i C w filtrze D-P przez obwody rezonansu szeregowego i równoległego prowadzi do charakterystyk filtrów pasmowo-przepustowego i środkowo-zaporowego. Wartości elementów obwodów rezonansowych otrzymuje się ze wzorów i po przeskalowaniu.
Dla przykładu na rys.11.46 pokazano strukturę filtru pasmowo-przepustowego, (albo środkowoprzepustowego), powstałego z przetransformowania dolnoprzepustowego. Wartości elementów L_rC_r dla obwodów rezonansu równoległego i L_SC_S dla obwodów rezonansu szeregowego można obliczyć ze wzorów (11-75).

Na rys.11.46b i c pokazano kształty charakterystyk tłumienia filtrów powstałych z filtrów dolnoprzepustowych maksymalnie płaskich i Czebyszewa.

Rys.11.46. Filtr środkowoprzepustowy.
A) Struktura filtru. 
B) Charakterystyka filtru 
maksymalnie płaska.
C) Charakterystyka Czebyszewa.    

Wiemy, że charakterystyki obwodów rezonansowych, a najogólniej rezonatorów są selektywne, szybko zmieniają się wokół częstotliwości rezonansowej. Filtry są także strukturami rezonansowymi, ale bardziej złożonymi. Kształt ich charakterystyk można w pewnym stopniu komponować, dopasowywać do potrzeb.
 

Linia współosiowa, której przewód wewnętrzny skokowo zmienia swoją średnicę, a tym samym Z₀ jest filtrem dolnoprzepustowym. Strukturę taką pokazuje rys.12.47A. 

 

Rys.12.47. Filtry dolnoprzepustowe wykorzystujące: A) linię współosiową, 
B) linię mikropaskową.

Linia mikropaskowa o zmiennej szerokości także realizuje skokowe zmiany impedancji Z₀ – rys.12.48b. Przez zmianę impedancji Z₀ (średnica przewodu wewnętrznego, szerokość paska) odcinek ma charakter albo indukcyjny (duże Z₀), albo pojemnościowy (małe Z₀).

Na rys.12.48 pokazano obwód typu $\pi$ jako zastępczy odcinka linii TEM o długości l<<$\lambda$. Łańcuch takich obwodów daje strukturę filtru dolnoprzepustowego. Wartości X i B można regulować doborem impedancji charakterystycznej Z₀.

Rys.12.48. Obwód typu $\pi$ odcinka linii o długości elektrycznej $\beta l$.    
 

Innym sposobem realizacji struktury filtru dolnoprzepustowego jest realizacja struktury pokazanej na rys.12.49A. Do linii mikropaskowej jednorodnej dołączone są równolegle krótkie odcinki rozwarte na końcu.
  Rys.12.49. Filtr dolnoprzepustowy z odcinkami linii rozwartej.
A) Struktura filtru, B) Obwód zastępczy filtru.

W pokazanym na rys.11.45B obwodzie zastępczym każdy odcinek reprezentowany jest przez susceptancję wyrażoną wzorem (12-77):

Odcinki toru głównego tworzą indukcyjności i dodatkowe małe pojemności, zwiększone o pojemności odcinków rozwartych.
Odcinki linii rozwartej na końcu mogą w pewnych zakresach częstotliwości realizować obwody rezonansowe włączone równolegle. Jest to droga do filtru środkowozaporowego.