Podręcznik: Wyznaczanie macierzy eAt

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.9. Wyznaczanie macierzy eAt

Kluczem do wyznaczenia rozwiązania obwodu w stanie przejściowym metodą zmiennych stanu jest określenie macierzy e^At. Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Tutaj przedstawimy trzy z nich: metodę Lagrange’a-Sylvestera, diagonalizacji macierzy oraz Cayleya-Hamiltona. W każdej z nich wymagane jest wyznaczenie wartości własnych s_i macierzy A.

Metoda Lagrange’a-Sylvestera

W metodzie tej macierz e^At wyznacza się z prostej zależności podanej w postaci jawnej

$e^{{A}t}=\sum_{r=1}^{n}{e^{s_rt}\frac{\prod_{l\neq r}^{n}\left(s_l\mathbf{1}-{A}\right)}{\prod_{l\neq r}^{n}\left(s_l-s_r\right)}}$

(1.22)

Z analizy powyższego wzoru widoczne jest, że metoda Lagrange’a-Sylvestera obowiązuje jedynie dla przypadku wartości własnych pojedynczych (przy wartościach wielokrotnych mianownik zależności staje się zerowy).

Metoda diagonalizacji macierzy

W metodzie diagonalizacji macierzy zastępuje się obliczenie macierzy e^A^t poprzez transformację macierzy A do postaci diagonalnej D o tych samych wartościach własnych. Diagonalna macierz D posiada prostą formę macierzową e^D^t, będącą również macierzą diagonalną o postaci

$e^{{D}t}=\left[\begin{matrix}e^{s_1t}&0&0&0\\0&e^{s_2t}&0&0\\...&...&...&...\\0&0&0&e^{s_nt}\\\end{matrix}\right]$

(1.23)

Mnożąc obustronnie równanie stanu dx/dt = Ax przez nieosobliwą macierz U przekształca się je do postaci d(Ux)/dt = UAx. Wprowadźmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne równanie stanu przekształca się do postaci określonej względem v, przy czym

$\frac{d{v}}{dt}={Dv}$

(1.24)

gdzie D jest macierzą diagonalną określoną wzorem D=UAU^-1 o wartościach diagonalnych równych wartościom własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U należy tak dobrać, aby spełniona była równość UA=DU. Zależność ta reprezentuje sobą układ równań liniowych. Rozwiązanie równania stanu (1.24) dane jest w prostej formie

${v}(t)=e^{{D}t}{v}(0^+)$

(1.25)

Biorąc pod uwagę, że v=Ux, po wstawieniu tej zależności do równania (1.25) otrzymuje się ${Ux}(t)=e^{{D}t}{Ux}(0^+)$ , co pozwala napisać wyrażenie na x(t) w postaci

${x}(t)={U}^{-1}e^{{D}t}{Ux}(0^+)$

(1.26)

Oznacza to, że macierz e^A^tzostała określona wzorem

$e^{{A}t}={U}^{-1}e^{{D}t}{U}$

(1.27)

Zauważmy, że powyższa metoda prowadzi do wyniku wyłącznie dla pojedynczych wartości własnych macierzy A, podobnie jak metoda Lagrange’a-Sylwestera.

Metoda Cayleya-Hamiltona

Zgodnie z tą metodą macierz e^A^t rozwija się w szereg skończony o n składnikach (n – stopień macierzy A)

$e^{{A}t}=a_0{1}+a_1{A}+...+a_{n-1}{A}^{n-1}$

(1.28)

Dla pełnego określenia rozwiązania należy wyznaczyć wszystkie współczynniki a_i (i = 0, 1,..., n-1) rozwinięcia (1.28). Współczynniki te są wówczas funkcjami czasu a_i=a_i(t).

W przypadku pojedynczych wartości własnych nieznane współczynniki wyznacza się z rozwiązania układu n równań skalarnych, wynikających z twierdzenia Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tym twierdzeniem każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne. Oznacza to w praktyce, że równanie (1.28) musi być spełnione również przez wartości własne macierzy A (macierz A jest zastąpiona w tym równaniu przez kolejne wartości własne skalarne). W przypadku pojedynczych wartości własnych prowadzi to do układu n równań z n niewiadomymi o postaci

$e^{s_1t}=a_0+a_1s_1+...+a_{n-1}s_1^{n-1}$

$e^{s_2t}=a_0+a_1s_2+...+a_{n-1}s_2^{n-1}$

$\mathrm{\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .}$

$e^{s_nt}=a_0+a_1s_n+...+a_{n-1}s_n^{n-1}$

(1.29)

Rozwiązanie powyższego układu równań względem współczynników a_i pozwala określić pełną postać macierzy e^A^t według wzoru (1.28).

Wzór Cayleya-Hamiltona obowiązuje również dla wielokrotnych wartości własnych, przy czym ubytek równań w zbiorze (1.29) wynikający z wielokrotności wartości własnych uzupełnia się analogicznymi równaniami obowiązującymi dla pochodnych względem wartości własnej wielokrotnej. Przykładowo, jeśli k-ta wartość własna s_k występuje podwójnie, wówczas obowiązują dla niej dwie równości Cayleya-Hamiltona o postaci

$e^{s_kt}=a_0+a_1s_k+...+a_{n-1}s_k^{n-1}$

$\frac{de^{s_kt}}{ds_k}=te^{s_kt}=a_1+2a_2s_k+...+(n-1)a_{n-1}s_k^{n-2}$

(1.30)

W ten sposób brakujące równanie w układzie (1.29) zostaje zastąpione równaniem dla pochodnej i układ równań pozostaje rozwiązywalny.

Obliczanie macierzy e^At zilustrujemy na przykładzie macierzy stanu A o podwójnej wartości własnej. Macierz stanu dana jest w postaci

${A}=\left[\begin{matrix}-4&-2\\2&0\\\end{matrix}\right]$

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne macierzy A

$det{(}s\mathbf{1}-{A})=s^2+4s+4=0$

Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego i równają się s₁=s₂=-2 (pierwiastek podwójny). Wobec podwójnej wartości własnej macierz e^A^t wyznaczymy stosując metodę Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tą metodą dla macierzy stopnia n=2 mamy