Podręcznik

2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.1. Parametry sygnału sinusoidalnego

Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego)

$u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi)$

(2.1)

Wielkości występujące w opisie mają następujące nazwy i oznaczenia:

u(t) - wartość chwilowa napięcia
U_m - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia zwana również amplitudą
$\psi$ - faza początkowa napięcia odpowiadająca chwili t=0
$\omega t+\psi$ - kąt fazowy napięcia w chwili t
f=1/T - częstotliwość mierzona w hercach (Hz)
T - okres przebiegu sinusoidalnego (mierzony w sekundach)
$\omega=2\pi f$ - pulsacja mierzona w radianach na sekundę.

W dalszych rozważaniach wartości chwilowe sygnałów oznaczać będziemy małą literą a wartości maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe dużą.

Rys. 2.1. Sygnał sinusoidalny

Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napięcia u(t) z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. Oś odciętych ma podwójne oznaczenie: czasu t oraz fazy (aktualny kąt fazowy (wt+ y)).

Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje wartość skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci

$F=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_o+T}{f^2(t)dt}}$

(2.2)

Łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu okresowego nie zależy od wybory fazy początkowej. W przypadku przebiegu sinusoidalnego napięcia u(t) =U_m sin(wt+ y) jest równa

$U=\frac{U_m}{\sqrt2}$

(2.3)

a w przypadku prądu sinusoidalnego i(t) =I_m sin(wt+ y)

$I=\frac{I_m}{\sqrt2}$

(2.4)

Dla sygnału sinusoidalnego wartość skuteczna jest więc $\sqrt2$ razy mniejsza niż jego wartość maksymalna. Należy zauważyć, że napięcie stałe u(t)=U jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego częstotliwość jest równa zeru (f=0) a wartość chwilowa jest stała i równa u(t)=U_m sin(ψ )=U. Jest to ważna właściwość, gdyż dzięki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mogą mieć zastosowanie również do wymuszeń stałych przy założeniu f=0. Dla sygnału stałego wartość maksymalna i skuteczna są sobie równe i równają się danej wartości stałej.

Należy zauważyć, ze w elektrotechnice używa się również pojęcia wartości średniej sygnału, definiowanej jako uśredniona wartość sygnału za okres lub pół okresu funkcji okresowej, definiowana w postaci $\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}{f(t)dt}$ . Wartość średnia całookresowa dla sygnału sinusoidalnego jest równa zeru. Wartość średnia półokresowa jest różna od zera i równa 0,637Um.