Podręcznik

Żyrator jest czwórnikiem opisanym następującą macierzą łańcuchową

Parametr $G_z$ jest nazywany konduktancją żyracji a $R_z=1/G_z$ rezystancją. W literaturze stosowane są dwa różne symbole graficzne żyratora. Ich oznaczenia  przedstawione są na rys. 1.1.     

Rys. 1.1. Oznaczenia graficzne żyratora

Znak minus występujący przy prądzie wyjściowym opisu czwórnikowego wynika z przyjętego zwrotu prądu wyjściowego (do pudełka). Równaniu łańcuchowemu żyratora odpowiada opis admitancyjny o postaci

 Najważniejszą własnością żyratora jest przetwarzanie impedancji obciążenia w impedancję odwrotnie proporcjonalną do niej. Rozważmy układ żyratora obciążonego impedancją $Z_o$ (rys. 1.2).

Rys. 1.2. Układ żyratora obciążonego impedancją

 Impedancja wejściowa takiego układu zdefiniowana w postaci

po uwzględnieniu wzoru (17.16) wobec $A_{11}=0$,$A_{12}=R_z$, $A_{12}=G_z,$ $A_{22}=0$ jest równa 

Impedancja układu żyratora obciążonego impedancją $Z_o$ jest odwrotnie proporcjonalna do impedancji obciążenia ze współczynnikiem proporcjonalności równym $R_z^2$. Jeśli żyrator zostanie obciążony kondensatorem o impedancji operatorowej równej $Z_o = 1/sC$ (rys. 1.2) to impedancja wejściowa układu jest równa

Jest to postać odpowiadająca ogólnemu opisowi impedancji operatorowej cewki $ZL=sL$. Zatem układ żyratora obciążonego pojemnością $C$ przedstawia sobą cewkę o indukcyjności $L$ 

Powyższej zależności matematycznej można przyporządkować transformację układową zilustrowaną na rys. 1.3.

Rys. 1.3. Realizacja indukcyjności przy pomocy żyratora

Żyrator jako czwórnik jest bardzo łatwo realizowalny w praktyce przy wykorzystaniu układów tranzystorowych lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego względu układy wykorzystujące żyratory są powszechnie stosowane w układach elektronicznych (np. filtrach) eliminując z nich cewki, trudno realizowalne w technologii scalonej.

Konwerter ujemno-impedancyjny (NIC) jest czwórnikiem aktywnym (wytwarzającym energię) posiadającym własność przetwarzania prądu bądź napięcia z ujemnym znakiem. Wyróżnia się dwa rodzaje konwerterów ujemno-impedancyjnych

• NIC z inwersją prądu (INIC)

• NIC z inwersją napięcia (VNIC)

Parametr $K$ ($K_i$ dla konwertera ujemno-impedancyjnego prądu oraz Ku dla konwertera ujemno-impedancyjnego napięcia) jest współczynnikiem przetwarzania bądź prądu bądź napięcia. W konwerterze INIC prąd wejściowy jest proporcjonalny do prądu wyjściowego z ujemnym współczynnikiem proporcjonalności $–K_i$ przy niezmienionej wartości napięcia wejściowego. W konwerterze VNIC napięcie wejściowe jest proporcjonalne do napięcia wyjściowego z ujemnym współczynnikiem proporcjonalności $–K_u$ przy niezmienionym prądzie wejściowym.
Konwerter impedancyjny przetwarza impedancję obciążenia w impedancję wejściową z ujemnym znakiem. Rozważmy układ konwertera INIC obciążonego impedancją $Z_o$, przedstawiony na rys. 1.4 

Rys. 1.4. Układ konwertera ujemno-impedancyjnego obciążonego impedancją

Wykorzystując równania konwertera i uwzględniając równanie opisujące obciążenie $U_o=Z_o(-I_2)=U_2$ impedancja wejściowa układu dana jest zależnością

Jak z powyższego równania wynika konwerter ujemno-impedancyjny obciążony impedancją Zo reprezentuje sobą (z punktu widzenia wejścia) impedancję ujemną $-Z_o/K_i$. Podobną własność ma konwerter ujemno-impedancyjny napięcia (VNIC). 
Cecha ta może być wykorzystana do realizacji rezystancji ujemnej. Mianowicie przyjmując obciążenie konwertera rezystancją $Z_o=R_o$ otrzymuje się impedancję wejściową równą $Z_{we}=-R_o/K_i$. Należy pamiętać, że ujemna rezystancja zastosowana samodzielnie prowadzi do niestabilności układu (wobec ujemnych wartości rezystancji bieguny układu znajdą się w prawej półpłaszczyźnie). Z tego względu stosuje się ją zwykle w specjalnych połączeniach z innymi elementami obwodowymi zapewniającymi stabilne działanie układu.
Konwerter ujemno-impedancyjny jest łatwo realizowalny w technologii scalonej przy wykorzystaniu tranzystorów lub wzmacniaczy operacyjnych. Z tego względu jest chętnie wykorzystywany w elektronice przy realizacji filtrów, generatorów i innych układów przetwarzania sygnałów.
 

Idealny wzmacniacz napięcia jest czwórnikiem opisanym następującą macierzą hybrydową

Jak wynika z powyższej zależności idealny wzmacniacz napięciowy nie pobiera prądu (impedancja wejściowa równa nieskończoności) a przetwarza jedynie napięcie wejściowe w wyjściowe zgodnie z relacją

Oznaczenie techniczne wzmacniacza i odpowiadający mu schemat obwodowy reprezentujący równanie (1.10) przedstawia rys. 1.5. 

Rys. 1.5. Oznaczenie wzmacniacza napięciowego o skończonym wzmocnieniu $A$

Wejście układu stanowi przerwę (impedancja wejściowa równa nieskończoności). Na wyjściu istnieje jedynie idealne źródło napięcia sterowane napięciem. Stąd impedancja wyjściowa takiego układu jest równa zeru.

Wzmacniacz operacyjny jest szczególnym rodzajem wzmacniacza napięciowego niezwykle ważnym i często stosowanym przy realizacji innych układów. Jego oznaczenie oraz zastępczy schemat obwodowy przedstawia rys. 1.6. 

Rys. 1.6. Oznaczenie idealnego wzmacniacza operacyjnego

Idealny wzmacniacz operacyjny nie pobiera prądu na wejściu (impedancja wejściowa równa nieskończoności) a jego napięcie wyjściowe w zakresie pracy liniowej jest proporcjonalne do wejściowego napięcia różnicowego $U_1=U^+-U^-$, przy czym $U^+$ jest napięciem wejścia nieodwracającego a $U^-$ napięciem wejścia odwracającego wzmacniacza

Przy założeniu idealności wzmacniacza operacyjnego wartość wzmocnienia $A$ dąży do nieskończoności. Biorąc pod uwagę, że napięcie wyjściowe wzmacniacza może przyjmować jedynie wartości skończone, napięcie różnicowe $U_1$ w idealnym wzmacniaczu operacyjnym musi być równe zeru. Idealny wzmacniacz operacyjny zachowuje się więc tak, jakby stanowił na wejściu jednocześnie zwarcie i rozwarcie. W efekcie idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzuje się następującymi właściwościami:

• nieskończona wartość wzmocnienia napięciowego
• zerowa wartość impedancji wyjściowej
• nieskończona impedancja wejściowa
• spełnienie wszystkich powyższych cech dla zakresu częstotliwości od zera do nieskończoności.

Na rys. 1.7 przedstawiono obwodowy schemat zastępczy idealnego wzmacniacza operacyjnego, wykorzystujący źródło napięcia sterowane napięciem.

Rys. 1.7. Schemat zastępczy idealnego wzmacniacza operacyjnego

W rzeczywistości wzmacniacz operacyjny realizowany w technologii scalonej ma skończoną wartość zarówno impedancji wejściowej (rzędu megaomów) jak i wzmocnienia napięciowego. Co więcej wzmocnienie napięciowe jest w istotny sposób zależne od częstotliwości i zmienia się od wartości około miliona dla napięć stałych $(f=0)$ do wartości równej jeden przy częstotliwości rzędu megaherców. Impedancja wyjściowa wzmacniacza rzeczywistego przyjmuje wartość około $70\Omega$ zamiast wartości zerowej w przypadku idealnym. Wartości powyższe mogą się zmieniać w zależności od technologii wykonania. W zakresie częstotliwości do (3-10) kHz rzeczywisty wzmacniacz operacyjny z dużym przybliżeniem może być jednak traktowany jako idealny.

Sumator jest układem dokonującym sumowania napięć wejściowych z odpowiednią, zadaną wagą. Jeśli sygnały wejściowe oznaczymy jako $U_i$, to napięcie wyjściowe sumatora określone jest w postaci sumy ważonej

Wagi $k_j$ oznaczają wzmocnienie (dodatnie lub ujemne) odpowiedniego sygnału $U_j$ w układzie. Schemat układu sumującego sygnały wejściowe z dowolną wagą przy ograniczeniu się do jednego sygnału o wzmocnieniu ujemnym i jednego o wzmocnieniu dodatnim przedstawiono na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Schemat sumatora dwu sygnałów

 Wobec przyjętych oznaczeń elementów i napięć węzłowych z prądowego prawa Kirchhoffa napisanego dla dwu węzłów obwodu wynikają następujące równania

Ze względu na nieskończoną wartość wzmocnienia wzmacniacza operacyjnego napięcie w obu punktach sumacyjnych wzmacniacza jest sobie równe, to znaczy

Z rozwiązania tego układu równań wynika

oraz 

Przy dwu sygnałach wejściowych sygnał wyjściowy wzmacniacza sumacyjnego jest więc równy sumie ważonej sygnałów wejściowych 

przy czym współczynniki wzmocnień obu torów 

są przeciwnego znaku. Przedstawiona powyżej struktura wzmacniacza pozwala więc zrealizować dowolne wzmocnienie, zarówno dodatnie jak i ujemne. Zauważmy, że jeśli przyjmiemy zrównoważony układ rezystorów, spełniający warunek równości sumy konduktancji włączonych w obu węzłach sumacyjnych 

to wyrażenie na wzmocnienie k2 upraszcza się do postaci analogicznej jak wzmocnienie k1, czyli

Przy spełnieniu warunku zrównoważenia konduktancji w węzłach sumacyjnych oba wzmocnienia (dodatnie i ujemne) są określone jako stosunek odpowiedniej dla danego toru konduktancji wejściowej do konduktancji sprzężenia zwrotnego $G_f$. Reguła doboru rezystorów dla uzyskania odpowiedniego wzmocnienia jest więc bardzo prosta, a poszczególne tory nie wpływają na siebie. 
Co więcej przedstawiony tu układ sumatora łatwo jest uogólnić na sumator o dowolnej liczbie wejść i wyjść przez dodanie następnych kanałów. 

Rys. 1.9. Schemat sumatora wielowejściowego o wzmocnieniach dodatnich i ujemnych

Na rys. 1.9 przedstawiono schemat sumatora o wielu wejściach odwracających realizujących wzmocnienia ujemne i nieodwracających realizujących wzmocnienia dodatnie pozwalających uzyskać dowolne, niezależne od siebie wartości wzmocnień w kanale przy spełnieniu warunku zrównoważenia konduktancji w węzłach dodatnim i ujemnym 

Wzmocnienia w poszczególnych torach są wyrażone wzorami identycznymi do przypadku układu o dwu wejściach

dla $i=1,2,...,n^-$ oraz 

dla $i=1,2,...,n^+$. Warunek zrównoważenia jest łatwy do spełnienia ze względu na wystąpienie nadmiarowych wartości konduktancji doziemnych $G_0^+$ oraz $G_0^-$.

Schemat układu realizującego operację całkowania z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego jest przedstawiony na rys. 1.10. 

Rys. 1.10. Schemat układu całkującego

Przyjmując wzmacniacz jako idealny i wykorzystując fakt, że wzmacniacz nie pobiera prądu a jego napięcie różnicowe jest równe zeru otrzymuje się następujące równania opisujące układ

Z przekształcenia tych równań wynika wzór na transmitancję napięciową

Z porównania wzoru z zależnością definicyjną układu całkującego $T(s)=k/s$ wynika, że obwód z rys. 1.10 realizuje człon całkujący ze współczynnikiem $k=-\frac{1}{RC}$. Wartość współczynnika $k$ jest ujemna. 

Schemat układu realizującego operację różniczkowania o transmitacji $T(s)=ks$ z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego jest przedstawiony na rys. 1.11.

Rys. 1.11. Schemat układu różniczkującego

Podobnie jak w przypadku poprzednim przyjmujemy wzmacniacz jako idealny. Uwzględniając to otrzymuje się następujące równania opisujące układ.

Z przekształcenia tych równań wynika wzór na transmitancję napięciową układu

Z porównania transmitacji z zależnością definicyjną $T(s)=ks$ wynika, że obwód z rys. 1.11 realizuje człon różniczkujący ze współczynnikiem $k=-RC$. Wartość współczynnika jest ustalana poprzez dobór rezystancji i pojemności układu.

Schemat układu przesuwnika fazowego przedstawiony jest na rys. 1.12.

Rys. 1.12. Schemat przesuwnika fazowego

Po uwzględnieniu idealności wzmacniacza otrzymuje się następujące równania opisujące obwód

Z pierwszego i drugiego równania wynika

Po podstawieniu tych wielkości do wzoru trzeciego opisującego napięcie wyjściowe otrzymuje się

Transmitancja napięciowa układu wynikająca z powyższego wzoru jest więc następująca

Z porównania tego wyniku z ogólna postacią transmitancji przesuwnika fazowego 

wynika, że układ z rys. 1.12 realizuje przesuwnik fazowy z wartością parametru a określoną wyrażeniem

Sterując wartością rezystancji $R$ lub pojemnością $C$ możemy zatem kształtować charakterystykę fazową przesuwnika i kąt przesunięcia między napięciem wejściowym i wyjściowym.

Schemat obwodu przedstawiającego realizację konwertera ujemno-impedancyjnego prądu przedstawiony jest na rys. 1.13. 

Rys. 1.13. Schemat układu INIC

Po uwzględnieniu idealności wzmacniacza operacyjnego z równań Kirchhoffa wynikają następujące związki

Można je zapisać w formie równania łańcuchowego czwórnika

odpowiadającego dokładnie opisowi konwertera ujemno-impedancyjnego prądu ze stałą konwersji 

Ustalenie wartości tej stałej odbywa się poprzez odpowiedni dobór rezystancji występujących w układzie.

Żyrator jest wyjątkowo ważnym elementem obwodu, stosowanym powszechnie w elektronice. Spośród wielu istniejących realizacji obwodowych pokażemy jedną, łatwą w praktycznej implementacji stosującą wzmacniacze sumacyjne napięciowe o skończonych wzmocnieniach równych $\pm1$. Schemat obwodowy żyratora przedstawia rys. 1.14.

Rys. 1.14. Układ realizacji żyratora wykorzystujący wzmacniacze sumacyjne

Przy założeniu idealności wzmacniaczy (impedancja wejściowa nieskończona, impedancja wyjściowa zerowa) prądy wejściowy i wyjściowy układu opisują relacje

Równanie admitancyjne układu dane jest więc w postaci

z której wynika, że konduktancja żyracji jest równa konduktancji $G_z$ występującej w układzie.

Graf Masona jest graficznym odzwierciedleniem układu równań liniowych i odpowiada przepływowi sygnałów w obwodzie elektrycznym. Wyróżnić w nim można węzły, odpowiadające zmiennym występującym w równaniu oraz gałęzie opisane wagami, odpowiadające współczynnikom równań. Przykładowo, jeśli dany jest układ równań liniowych 

to w pierwszej kolejności należy go przekształcić do postaci

Graf Masona odpowiadający powyższemu układowi równań przedstawiony jest na rys. 2.15

Rys. 2.1. Graf Masona odpowiadający układowi równań liniowych (2.2)

Każdemu węzłowi grafu odpowiada zmienna $x_i$ ($i = 1, 2$ w przykładzie) lub wymuszenie jednostkowe. Węzły połączone są łukami (gałęziami), którym przyporządkowane są współczynniki przy poszczególnych zmiennych układu równań (2.49). Współczynniki te, zwane wzmocnieniami (transmitancjami) gałęzi stanowią wagi, z jakimi sumowane są zmienne w poszczególnych węzłach. Sygnał węzła (zmienna $x_i$) jest równy sumie wagowej sygnałów dopływających do danego węzła. W grafie można wyróżnić pętle składające się z gałęzi jednakowo skierowanych tworzących zamknięty cykl (bez powtórzeń gałęzi i węzłów). W szczególności pętlę może tworzyć jedna gałąź wychodząca i wchodząca do tego samego węzła. Transmitancja pętli jest równa iloczynowi wzmocnień (transmitancji) gałęzi tworzących pętlę.
    Jedną z najważniejszych zalet grafów Masona jest prosta reguła topologiczna określająca dowolny sygnał w grafie. Reguła ta dotyczy transmitancji definiowanej jako stosunek sygnału dowolnego węzła grafu uznanego za wyjściowy do sygnału węzła źródłowego, czyli węzła z którego sygnały jedynie odpływają (w przykładzie takim węzłem jest węzeł o sygnale równym jeden). Oznaczmy tę transmitancję przez $T=\frac{x_{wy}}{x_{we}}$ . Zgodnie z regułą Masona transmitancję tę określa wzór

W powyższym wyrażeniu Δ oznacza wyznacznik główny grafu określany zgodnie ze wzorem

We wzorze tym pierwsza suma oznacza sumowanie po wszystkich transmitancjach pętli $G_i$ istniejących w grafie. Suma druga dotyczy iloczynów transmitancji pętli rozłącznych branych po dwie naraz. Suma trzecia dotyczy iloczynów transmitancji pętli rozłącznych branych po trzy. Rozwinięcie wyznacznika prowadzi się aż do wyczerpania wszystkich możliwych kombinacji wielokrotnych pętli rozłącznych, biorąc sumy na przemian ze znakiem plus i minus, jak to pokazano we wzorze (2.51).
Wyrażenie $\sum\limits _{k} T_{k} \Delta _{k}$ w liczniku transmitancji dotyczy sumowania po wszystkich drogach prowadzących od węzła źródłowego (wejściowego) do węzła wyjściowego, przy czym $T_k$ oznacza iloczyn wzmocnień gałęzi prowadzących od źródła do węzła wyjściowego a $Δ_k$ jest wyznacznikiem $Δ$ określonym dla tej części grafu (podgrafu), która jest rozłączna z k-tą drogą $T_k$ (przy braku pętli w podgrafie wyznacznik Δ jest tożsamościowo równy 1).
Z rozwiązania grafu z rys. 2.15 przy pomocy reguły Masona otrzymuje się następujące transmitancje (węzeł źródłowy jest skojarzony z sygnałem jednostkowym):

$T_1=x_1=\frac{F_1a_{22}-F_2a_{12}}{1-\left[\left(a_{11}+1\right)+\left(a_{22}+1\right)+a_{12}a_{21}\right]+\left(a_{11}+1\right)\left(a_{22}+1\right)}$

$T_2=x_2=\frac{-F_1a_{21}+F_2a_{11}}{1-\left[\left(a_{11}+1\right)+\left(a_{22}+1\right)+a_{12}a_{21}\right]+\left(a_{11}+1\right)\left(a_{22}+1\right)}$
 

Rozwiązania na wartości zmiennych $x_1$ i $x_2$ układu równań (2.48) uzyskano bezpośrednio na podstawie reguły topologicznej Masona zastosowanej względem grafu z rys. 2.15. W identyczny sposób można wyznaczyć rozwiązanie dowolnie złożonego systemu opisanego poprzez graf Masona. 

Jako następny przykład rozpatrzmy graf przepływu sygnałów przedstawiony na rys. 2.2, o wzmocnieniach gałęzi opisanych literami $a, b, c, … l$. 

Rys. 2.2. Graf przepływu sygnałów do przykładu

Stosując regułę Masona wyznaczymy transmitancję $T=\frac{x_{5}}{x_{we}}$. Bezpośrednio na podstawie analizy struktury grafu otrzymuje się

$T=\frac{aej( 1-l) +bgk( 1-h) +adgk( 1-h) +adfj( 1-l) +bcej( 1-l) +bfj( 1-l)}{1-( cd+h+l) +( cdh+cdl+hl) -cdhl}$

W transmitancji tej wyrażenie mianownika (wyznacznik główny Δ) zawiera trzy składniki związane z pętlami (suma wzmocnień wszystkich pętli, iloczynów wzmocnień pętli rozłącznych branych po dwa i pętli rozłącznych branych po trzy).

Graf Masona można narysować dla każdego obwodu, w szczególności obwodu zawierającego wzmacniacze napięciowe, bez konieczności wypisywania układu równań opisujących ten obwód. Aby stworzyć reguły automatycznego tworzenia grafu rozpatrzmy wybrane rodzaje połączeń elementów składowych obwodu. Na rys. 2.3a przedstawiono typowe połączenie elementów pasywnych w węźle $k$.

a)

b)

Rys. 2.3. Typowe połączenie elementów pasywnych w węźle (a) oraz graf Masona odpowiadający takiemu połączeniu (b)

Z prawa prądowego Kirchhoffa dla tego węzła wynika następujące równanie

Po prostych przekształceniach otrzymuje się

gdzie $Y_{sk}$ jest sumą admitancji włączonych w węźle $k$-tym, $Y_{sk} =Y_{0k} +\sum\limits ^{n}_{i=1} Y_{i}$. Powyższemu równaniu odpowiada graf Masona przedstawiony na rys. 2.3b. Graf ten ma strukturę podobną do struktury obwodu, przy czym każdemu elementowi $Yi (i = 1, 2, ..., n)$odpowiada wzmocnienie gałęzi grafu równe  $\frac{Y_{i}}{Y_{sk}}$. Każda gałąź jest skierowana do węzła $V_k$, którego reprezentację graficzną w danej chwili tworzymy. Biorąc pod uwagę powyższe, graf odpowiadający węzłowi z rys. 2.17a może być utworzony automatycznie bez potrzeby pisania równań Kirchhoffa.
W przypadku obwodu zawierającego wzmacniacze napięciowe konieczne staje się podanie reguły tworzenia grafu odpowiadającego wzmacniaczowi. Na rys. 2.4a przedstawiony jest wzmacniacz napięciowy o dwu wejściach (inwersyjnym i nieinwersyjnym) o wzmocnieniu $A$ w obu torach (w szczególności wzmocnienie A może dążyć do nieskończoności, jak to ma miejsce w idealnych wzmacniaczach operacyjnych). 

a)

b)

Rys. 2.4. Model wzmacniacza napięciowego o dowolnym wzmocnieniu A i dwu wejściach (a) i jego graf Masona (b)

Napięcie wyjściowe $V_o$ wzmacniacza opisuje wyrażenie

któremu można przyporządkować bezpośrednio graf Masona przedstawiony na rys. 2.4b.

Budując graf dla złożonego obwodu elektrycznego należy wyróżnić w nim węzły i związane z nimi potencjały węzłowe. Węzłem źródłowym (niezależnym) grafu jest źródło wymuszające istniejące w obwodzie, względem którego definiowana jest transmitancja $T$. Z tego węzła sygnały mogą jedynie odpływać. Budowę grafu rozpoczynamy od ułożenia wszystkich węzłów grafu w układzie podobnym do ich rozmieszczenia w obwodzie. Następnie budujemy oddzielnie reprezentację graficzną dla każdego węzła reprezentującego zmienną zależną korzystając bądź z reguły dotyczącej węzła z elementami pasywnymi (rys. 2.3) bądź węzła odpowiadającego wzmacniaczowi (rys. 2.4). Jeśli węzeł położony jest na wyjściu wzmacniacza jego reprezentacja graficzna odpowiada wzmacniaczowi, w przeciwnym wypadku węzłowi „pasywnemu”. 
 

Metoda obwodów dołączonych (sprzężonych) służąca analizie wrażliwościowej małoprzyrostowej  obwodu może być łatwo zinterpretowana przy użyciu grafów Masona. Opis obwodu oryginalnego $N$ przedstawia się w postaci grafu $G$ odzwierciedlającego opisywany obwód. Graf dołączony $\hat{G}$ jest tworzony na zasadzie transpozycji grafu oryginalnego, czyli zmianie kierunku przepływu sygnałów we wszystkich gałęziach grafu oryginalnego. Zauważmy, że przy takiej operacji węzeł źródłowy grafu oryginalnego zamienia się w węzeł spływu sygnałów, a węzeł wyjściowy grafu $G$ (do którego sygnały wyłącznie dopływały) zamieniony został w węzeł źródłowy grafu $\hat{G}$. Zasilanie tego węzła w grafie dołączonym należy zapewnić w postaci sygnału o wartości jednostkowej. Przy takim sposobie tworzenia grafu dołączonego zależność wrażliwościowa dowolnej wielkości $X_{wy}$ traktowanej jako wielkość wyjściowa względem wagi wij, określona jest bardzo prostą zależnością 

W zależności tej waga $w_{ij}$ oznacza wzmocnienie gałęzi grafu $G$ łączącej węzeł o sygnale $X_j$ z węzłem o sygnale $X_i$ (gałąź skierowana od węzła $X_j$ do węzła $X_i$). W grafie dołączonym wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Zauważmy, że wrażliwość sygnału wyjściowego grafu $G$ względem wagi wij jest wyrażona jako iloczyn sygnałów węzłów z których startuje waga $w_{ij}$ w grafie oryginalnym ($X_j$) i w grafie dołączonym (${\hat{X}}_i$). 
Podsumowując, algorytm wyznaczania wrażliwości systemu na podstawie grafu przepływu sygnałów Masona jest następujący:

1. Dla danego grafu $G$ o węźle źródłowym $X_{we}$ i węźle wyjściowym $X_{wy}$ należy utworzyć graf dołączony według następujących zasad:

• wszystkie gałęzie grafu dołączonego i ich opis są takie same jak w grafie $G$, ale o przeciwnym zwrocie
• węzłem źródłowym w grafie dołączonym staje się węzeł, który pełnił rolę węzła wyjściowego w grafie oryginalnym; należy przypisać mu jednostkową wartość źródłową. 

2. Wrażliwość sygnału $X_{wy}$  względem wzmocnienia dowolnej gałęzi wij grafu jest równa iloczynowi sygnałów węzłów z których startuje waga wij w grafie oryginalnym ($X_j$) i w grafie dołączonym (${\hat{X}}_i$).

Oznacza to, że dla wyznaczenia wrażliwości systemu na podstawie grafu wystarczy analiza dwu grafów: oryginalnego $G$ oraz dołączonego $\hat{G}$. Dla jednoznaczności w tworzeniu grafu dołączonego należy przestrzegać zasady, że sygnał wyjściowy skojarzony jest z punktem spływu w grafie $G$ do którego dochodzi tylko jedna gałąź (jest to zawsze możliwe przez dołączenie jednostkowej gałęzi wyjściowej w grafie $G$).
 

Procedurę wyznaczania wrażliwości przy użyciu grafów przepływu sygnału zilustrujemy na przykładzie grafu przedstawionego na rys. 2.10a. Wzmocnienia gałęzi są określone w postaci: $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5$.

a)

b)

Rys. 2.10 Przykład: a) grafu oryginalnego systemu $G$, b) grafu do niego dołączonego $\hat{G}$, dla obliczenia wrażliwości.

Graf dołączony $\hat{G}$ przedstawiony jest na rys. 2.10b. Wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Przy oznaczeniach wprowadzonych na rysunku obowiązują następujące wzory:

$\frac{dX_{wy}}{dw_1}=X_{we}{\hat{X}}_1$

$\frac{dX_{wy}}{dw_2}=X_1{\hat{X}}_2$

$\frac{dX_{wy}}{dw_3}=X_2{\hat{X}}_3$

$\frac{dX_{wy}}{dw_4}=X_1{\hat{X}}_3$

$\frac{dX_{wy}}{dw_5}=X_3{\hat{X}}_1$

Do ich pełnego określenia numerycznego należy wyznaczyć rozwiązanie obu grafów: $G$ oraz $\hat{G}$. Jest to zadanie bardzo proste przy wykorzystaniu reguły topologicznej Masona.

 Następny przykład dotyczy wyznaczenia wartości numerycznych wrażliwości transmitancji $T=X_{wy}/X_{we}$, przy wykorzystaniu grafów. Rozważmy graf systemu przedstawiony na rys. 2.11a, przy znanych wartościach wzmocnień: $a1=1, \ a2=2, \ a3=3, \ a4=4$. Przyjmując $X_{we}=1$ zadanie wrażliwości transmitancji sprowadza się do obliczenia wrażliwości sygnału wyjściowego $X_{wy}$ względem określonych wzmocnień gałęzi.

a)

b)

Rys. 2.11. Graf Masona (a) oraz graf dołączony do niego (b)

Z reguły Masona zastosowanej do grafu oryginalnego otrzymuje się następujące wartości sygnałów w węzłach tego grafu

$X_1=a_1\frac{1}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{1}{5}$

$X_2=\frac{a_1a_2}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{2}{5}$

$X_{wy}=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{8}{5}$

Graf dołączony systemu przedstawiony jest na rys. 2.11b. Kierunki gałęzi grafu są przeciwne niż w grafie oryginalnym a ich wzmocnienia nie uległy zmianie. Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu otrzymuje się następujące wartości sygnałów

${\hat{X}}_1=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}$

${\hat{X}}_2=\frac{a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{4}{5}$

Stąd wrażliwości transmitancji T względem poszczególnych wag są równe:

$\frac{dT}{da_1}=1\cdot{\hat{X}}_1=-\frac{8}{5}$

$\frac{dT}{da_2}=X_1{\hat{X}}_2=\frac{4}{25}$

$\frac{dT}{da_3}=X_2{\hat{X}}_1=\frac{16}{25}$

$\frac{dT}{da_4}=X_2\cdot1=-\frac{2}{5}$

Sprawdzenie poprawności powyższych wyników można przeprowadzić metodą klasyczną różniczkując funkcję $T$ określoną wzorem

$T=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}$

Na podstawie różniczkowania tej funkcji otrzymuje się

$\frac{dT}{da_1}=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}$

$\frac{dT}{da_2}=\frac{a_1a_4(1-a_2a_3)+a_1a_2a_3a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{4}{25}$

$\frac{dT}{da_3}=\frac{a_1a_2^2a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{16}{25}$

$\frac{dT}{da_4}=\frac{a_1a_2}{(1-a_2a_3)^2}=-\frac{2}{5}$

Jak widać występuje pełna zgodność wyników liczbowych wrażliwości obliczonej w sposób ściśle numeryczny według zasad grafów dołączonych i przez różniczkowanie zadanej funkcji transmitancji.