3. Wybrane układy analogowe

3.5. Parametry małosygnałowe tranzystorów i ich schematy zastępcze

Charakterystyki prądowo-napięciowe tranzystorów są, jak wiemy (część I, punkty 3.1.3 i 3.1.4), funkcjami nieliniowymi, ale przy rozważaniu sygnałów o bardzo małej amplitudzie można lokalnie te charakterystyki przybliżyć funkcjami liniowymi – pochodnymi funkcji opisujących te charakterystyki. Dla tranzystora MOS definiujemy dwie takie pochodne.

Transkonduktancją \(g_m\) tranzystora MOS nazywamy pochodną zależności prądu drenu od napięcia bramka-źródło: \(g_m=\ \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}\)

 

Rysunek 3‑14. Ilustracja definicji transkonduktancji

Definicję tę ilustruje rysunek 3-14, na którym pokazana jest zależność prądu drenu od napięcia bramka-źródło. Im większą wartość ma transkonduktancja, tym silniej zależą zmiany prądu drenu od zmian napięcia bramka-źródło.

Konduktancją wyjściową \(g_{ds}\)  tranzystora MOS nazywamy pochodną zależności prądu drenu od napięcia dren-źródło: \(g_{ds}=\ \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}}\).

Rysunek 3‑15. Ilustracja definicji konduktancji wyjściowej

Definicję tę ilustruje rysunek 3-15, na którym pokazana jest zależność prądu drenu od napięcia dren-źródło. Im większą wartość ma konduktancja wyjściowa, tym silniej zależą zmiany prądu drenu od zmian napięcia dren-źródło. Często używane jest też pojęcie rezystancji wyjściowej, która jest odwrotnością konduktancji: \(r_{ds}={1}/{g_{ds}}.\)

Do czego służy transkonduktancja i konduktancja wyjściowa? Pokazuje to rysunek 3-16.

Rysunek 3‑16. Określanie amplitud napięć i prądów zmiennych przy użyciu parametrów małosygnałowych

Przyjmijmy, że między bramkę i źródło tranzystora MOS przyłożone jest napięcie zmienne\( v_{gs}\), którego (bardzo mała) amplituda wynosi \(v_{gs\ m}\). Wykorzystując pojęcie transkonduktancji możemy obliczyć wartość amplitudy prądu zmiennego w obwodzie drenu jako

\(i_{ds\ m}=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}v_{gs\ m}=g_mv_{gs\ m}.\) 3.15

Ilustruje to lewa część rysunku 3-16. 

Jeśli prąd zmienny o amplitudzie i\(i_{ds\ m}\) występuje w obwodzie drenu tranzystora, towarzyszyć temu musi amplituda napięcia zmiennego wynosząca

\(v_{ds\ m}=\frac{1}{\frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}}}i_{ds\ m}=\frac{i_{ds\ m}}{g_{ds}}=i_{ds\ m}r_{ds}\) 3.16

Ilustruje to prawa strona rysunku 3-16. 

Łącząc zależności 3-15 i 3-16 otrzymujemy

\(v_{ds\ m}=\frac{g_mv_{gs\ m}}{g_{ds}}\) 3.17

Powyższe rozumowanie pozwala określić wzmocnienie napięciowe \(k_u={v_{ds\ m}}/{v_{gs\ m}}\). W omawianym przypadku jest ono równe ilorazowi \({g_m}/{g_{ds}}\). Ten iloraz bywa nazywany wzmocnieniem wewnętrznym tranzystora (ang. „intrinsic gain”). 

Zauważmy, że zależności 3-15 do 3-17 można interpretować jako wynikające ze schematu pokazanego na rysunku 3-17, w którym występuje idealne źródło prądowe wymuszające prąd \(i_{ds\ m}\) zgodnie z zależnością 3-15, a prąd ten przepływając przez rezystancję \(r_{ds}\) wymusza na niej spadek napięcia równy \(v_{ds\ m}\) zgodnie z zależnością 3-16. Jest to najprostszy schemat zastępczy tranzystora dla sygnałów zmiennych o małej amplitudzie.

Rysunek 3‑17. Schemat układu odpowiadającego wzorom 3-15 do 3-17

Pełny małosygnałowy schemat zastępczy tranzystora MOS zawiera także inne elementy: pojemności i rezystancje obszarów źródła i drenu. Ma on cztery węzły zewnętrzne: bramki (G), źródła (S), drenu (D) i podłoża (B) – rysunek 3-18.

Rysunek 3‑18. Pełny schemat zastępczy tranzystora MOS

Małosygnałowe schematy zastępcze tranzystorów i innych elementów zawierają wyłącznie liniowe rezystancje i pojemności (w zakresie bardzo wielkich częstotliwości mogą zawierać także indukcyjności). Przydatność schematów zastępczych polega na tym, że jeśli w schemacie układu elektronicznego zastąpimy tranzystory i inne elementy ich schematami zastępczymi, to powstały w ten sposób schemat zastępczy całego układu będzie zawierał wyłącznie elementy liniowe, i będzie można analizować jego działanie oraz wyprowadzać potrzebne wzory metodami teorii obwodów liniowych.

Wartości parametrów małosygnałowych zależą od punktu pracy tranzystora (czyli wartości napięć polaryzujących i prądów), co jest oczywiste, gdy popatrzymy na rysunki 3-14 i 3-15. Projektant układu ma więc wpływ na wartości parametrów małosygnałowych określając wartości składowych stałych napięć polaryzujących i prądów.

Posługując się modelem matematycznym tranzystora MOS (część I, punkt 3.1.5, wzory 3-3 do 3-8) można wyprowadzić wzory określające zależności parametrów małosygnałowych od punktu pracy tranzystora. Dla zakresu liniowego otrzymujemy

\(g_m=KV_{DS}\) 3.18
\(g_{ds}=K\left(V_{GS}-V_T-V_{DS}\right)\) 3.19

a dla zakresu nasycenia

\(g_m=K\left(V_{GS}-V_T\right)=\sqrt{2KI_D}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_T}\) 3.20

(wszystkie trzy postacie wzoru 3-20 są równoważne)

\(g_{ds}=\lambda\ I_D\) 3.21

Przydatna bywa też wartość transkonduktancji w zakresie podprogowym

\(g_m=\frac{I_D}{n\frac{kT}{q}}\) 3.22

W powyższych wzorach oznaczono dla skrócenia zapisu

\(K=\mu\ C_{ox}\frac{W}{L} \) 3.23

Parametrów małosygnałowych i schematu zastępczego tranzystora bipolarnego nie będziemy szczegółowo rozważać, warto jedynie dla porównania z tranzystorem MOS określić wartość transkonduktancji:

\(g_m=\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}=\frac{q}{kT}I_C\) 3.24