Podręcznik

W wyniku przełączeń lub zmiany wartości parametrów obwodu RLC powstaje w nim stan nieustalony, charakteryzujący się tym, że kształt odpowiedzi obwodu jest inny niż wymuszenia. Na przykład przy stałym wymuszeniu odpowiedź jest zmienna wykładniczo, bądź sinusoidalnie. Z upływem czasu odpowiedzi tego typu zanikają i ich charakter znów odpowiada charakterowi wymuszenia. Z czasem powstaje więc nowy stan ustalony w obwodzie o zmienionej strukturze na skutek przełączenia. W stanie nieustalonym obwodu można zaobserwować interesujące zjawiska, które odgrywają ogromną rolę w praktyce. Analiza tych zjawisk pozwala z jednej strony uniknąć pewnych niebezpieczeństw związanych z przepięciami, które mogą wystąpić w obwodzie a z drugiej strony wykorzystać te zjawiska do generacji przebiegów zmiennych w czasie (np. generatory napięć harmonicznych).

 W tym rozdziale zaprezentowane zostaną podstawowe metody opisu obwodów RLC w stanie nieustalonym przy zastosowaniu równań różniczkowych. Wprowadzona zostanie metoda równań stanu oraz tak zwana metoda klasyczna. Równania stanu są zbiorem wielu równań różniczkowych pierwszego rzędu zapisanych w postaci jednego równania macierzowego $\frac{d\mathbf{x}}{dt}={Ax}+{Bu}$. Zmiennymi stanu tworzącymi wektor x są napięcia kondensatorów i prądy cewek, dla których obowiązują tak zwane prawa komutacji, pozwalające na wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie.

W metodzie klasycznej zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu zostaje zastąpiony jednym równaniem różniczkowym wyższego rzędu względem jednej zmiennej stanu. Wprowadzone zostanie pojęcie równania charakterystycznego oraz biegunów układu, decydujących o charakterze rozwiązania obwodu w stanie nieustalonym.

Analizując przebiegi czasowe procesów zachodzących w obwodach elektrycznych należy wyróżnić dwa stany:

• stan ustalony charakteryzujący się tym, że postać odpowiedzi jest identyczna z postacią wymuszenia (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie sinusoidalne odpowiedź ustalona jest również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć innej fazie początkowej i innej amplitudzie)

• stan nieustalony, w którym przebiegi czasowe odpowiedzi mają inny charakter niż wymuszenie (na przykład w odpowiedzi na wymuszenie stałe odpowiedź obwodu jest wykładniczo malejąca czy oscylacyjna).

Stan nieustalony w obwodzie RLC powstaje jako nałożenie się stanu przejściowego (zwykle zanikającego) i stanu ustalonego przy zmianie stanu obwodu spowodowanego przełączeniem. Może on wystąpić w wyniku przełączeń w samym obwodzie pasywnym (zmiana wartości elementów, zwarcie elementu, wyłączenie elementu) lub w wyniku zmiany sygnałów wymuszających (parametrów źródeł napięciowych i prądowych, w tym także załączeniem lub wyłączeniem źródła). Dowolną zmianę w obwodzie nazywać będziemy komutacją. Zakładać będziemy, że czas trwania komutacji jest równy zeru, co znaczy że wszystkie przełączenia odbywają się bezzwłocznie.

W obwodach elektrycznych proces komutacji modeluje się zwykle przy pomocy wyłączników i przełączników wskazujących na rodzaj przełączenia. Chwilę czasową poprzedzającą bezpośrednio komutację oznaczać będziemy w ogólności przez $t_0^-$ (w szczególności przez $0^-$), natomiast chwilę bezpośrednio następującą po komutacji przez $t_0^+$ (w szczególności przez $0^+$), gdzie $t_0$ jest chwilą  przełączenia (komutacji).

Suma ładunków kondensatorów dołączonych do danego węzła nie może zmienić się w sposób skokowy na skutek komutacji, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t0=0)

Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają oczka złożone z samych kondensatorów oraz idealnych źródeł napięcia to biorąc pod uwagę zależność qC=CuC prawo komutacji dla kondensatorów można zapisać w uproszczonej postaci uzależnionej od napięć tych kondensatorów

Ostatnia postać prawa komutacji dotycząca napięcia na kondensatorze jest najczęściej używana w praktyce.

Suma strumieni skojarzonych cewek należących do danego oczka nie może ulec skokowej zmianie na skutek przełączenia w obwodzie, co można zapisać w postaci (w równaniu przyjęto, że komutacja zachodzi w chwili t0=0)

Jeśli w wyniku przełączenia nie powstają węzły (dokładniej rozcięcia [5]) do których dołączone są wyłącznie same cewki i źródła prądowe to biorąc pod uwagę, że $\Psi=L{i_L}$ prawo ciągłości strumieni może być uproszczone do ciągłości prądu cewek, co zapiszemy w postaci

Jest to najczęściej w praktyce używana postać pierwszego prawa komutacji w odniesieniu do cewki.

Należy zaznaczyć, że prawa komutacji dotyczą wyłącznie prądu (strumienia) cewki i napięcia (ładunku) kondensatora. Inne wielkości związane z tymi elementami (prąd kondensatora, napięcie cewki) jak również prąd i napięcie na rezystorze nie są związane bezpośrednio zależnościami energetycznymi i mogą zmieniać się w sposób skokowy podczas komutacji. Wartości jakie przybierają tuż po komutacji wynikają bądź z praw Kirchhoffa bądź z prawa Ohma.

Przy założeniu, że chwilę komutacji uważać będziemy za chwilę początkową analizy obwodu w stanie nieustalonym ($t_0=0$) istotnym problemem w analizie obwodu jest wyznaczenie warunków początkowych procesu, czyli wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili przełączenia (u nas $i_L(0^-)$ oraz $u_C(0^-)$). Zwykle przyjmuje się, że przełączenie następuje ze stanu ustalonego obwodu. Warunki początkowe wynikają wówczas z wartości ustalonych tych wielkości w chwili tuż przed przełączeniem $t_0=0^-$. Warunki początkowe mogą być przy tym zerowe, jeśli prądy wszystkich cewek i napięcia wszystkich kondensatorów w chwili przełączenia miały wartości zerowe. Znajomość warunków początkowych w obwodzie jest niezbędna przy wyznaczaniu rozwiązania obwodu w stanie nieustalonym.

Wyznaczenie stanu początkowego napięcia kondensatora i prądu cewki w obwodzie sprowadza się do

• rozwiązania stanu ustalonego obwodu przed przełączeniem (przy wymuszeniach sinusoidalnych metodą symboliczną),
• określenia postaci czasowej tego rozwiązania dla prądu cewki $i_L(t)$ i napięcia kondensatora $u_C(t)$ 
• wyznaczenia wartości tego rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej przełączenia (u nas $i_L(0^-)$ oraz $u_C(0^-)$).

Wykorzystując opis ogólny elementów RLC oraz prawa Kirchhoffa łatwo pokazać, że liniowe obwody elektryczne RLC w stanach nieustalonych mogą być opisane przez równania różniczkowe i całkowe. Porządkując te równania i eliminując zmienne nie będące prądami cewek i napięciami kondensatorów można uzyskać tak zwaną postać kanoniczną opisu w postaci układu równań różniczkowych, który można przedstawić następująco

Zmienne x₁, x₂, .., x_n występujące w równaniach oznaczają prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne stanu). W opisie obwodu operuje się zwykle minimalnym zbiorem zmiennych stanu, które są niezbędne dla wyznaczenia pozostałych wielkości w obwodzie. Liczba zmiennych stanu n zależy od liczby cewek L i kondensatorów C w obwodzie i nigdy nie jest większa niż suma kondensatorów i cewek włączonych w obwodzie. W szczególnym przypadku, gdy obwód nie zawiera cykli CE (oczko złożone wyłącznie z kondensatorów i idealnych źródeł napięcia) lub rozcięć LJ (węzły obwodu lub przecięcie zawierające jedynie idealne źródła prądu i cewki) wymiar macierzy stanu jest równy liczbie kondensatorów i cewek w obwodzie n=n_C+n_L. W przypadku wystąpienia cykli CE lub rozcięć LJ wymiar stanu n jest pomniejszany o ich liczbę.

Stałe współczynniki a_ij występujące w równaniu (1.5) stanowią kombinacje wartości parametrów R, L, C, M elementów pasywnych obwodu oraz parametrów źródeł sterowanych. Funkcje czasu f₁(t), f₂(t), ..., f_n(t) związane są z wymuszeniami napięciowymi i prądowymi w obwodzie. Przedstawiony powyżej układ równań można zapisać w postaci macierzowej

W przypadku obwodów liniowych funkcje f_i(t) występujące po prawej stronie wzoru są liniowymi funkcjami wymuszeń prądowych i napięciowych. Oznaczając wymuszenia prądowe bądź napięciowe w ogólności przez u_i można te funkcje zapisać przy pomocy zależności macierzowej

Jeśli macierz zawierającą elementy a_ij oznaczymy jako A, macierz o elementach b_ij jako macierz B, wektory zawierające zmienne stanu przez x a wektor wymuszeń przez u, to równanie stanu opisujące obwód elektryczny można przedstawić w postaci

Jest to ogólna postać opisu stanowego obwodu liniowego RLC. Reprezentuje ona układ n równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Elementy macierzy A i B zależą wyłącznie od wartości parametrów obwodu. Elementy wektora u stanowią źródła niezależne prądu i napięcia w obwodzie. Zmienne stanu to niezależne napięcia na kondensatorach i prądy cewek.

Jak zostało pokazane w punkcie poprzednim układ równań różniczkowych opisujących obwód elektryczny może być przedstawiony w postaci macierzowego równania stanu (1.8).  Jeśli założymy, że wektor stanu x(t) jest n-wymiarowy a wektor wymuszeń u(t) m-wymiarowy, to macierz stanu A ma wymiar $n\times\ n$, a macierz B $n\times\ m$. Równanie (1.8) nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwiązanie tego równania pozwala wyznaczyć przebiegi czasowe zmiennych stanu tworzących wektor x(t). Jeśli dodatkowo interesują nas inne zmienne w obwodzie, na przykład prądy i napięcia rezystorów, prądy kondensatorów czy napięcia na cewkach to należy sformułować drugie równanie, tzw. równanie odpowiedzi y(t), które uzależnia poszukiwane wielkości od zmiennych stanu i wymuszeń. Równanie to zapiszemy w postaci

Równania (1.8) i (1.9) tworzą parę równań stanu

która w pełni opisuje stan obwodu przy założeniu, że znane są warunki początkowe x₀=x(t₀), gdzie t₀ oznacza chwilę przełączenia. W przypadku ogólnym rozwiązanie równania stanu przyjmuje postać

Zależność powyższa stanowi rozwiązanie ogólne, które dla konkretnych wartości funkcji wymuszających zadanych wektorem u wyznacza rozwiązanie czasowe dla zmiennych stanu. We współczesnych metodach numerycznych równania stanu stanowią punkt wyjścia w określaniu dokładnego rozwiązania równań liniowych lub przybliżonego dla zlinearyzowanych równań stanu. Są one również bardzo wygodne w zastosowaniach przybliżonych metod całkowania równań różniczkowych ze względu na to, że wszystkie równania stanu są rzędu pierwszego, dla których istnieją wyspecjalizowane metody całkowania przybliżonego.

W rozwiązaniu (1.11) równania stanu występują dwa człony, z których pierwszy jest zależny tylko od warunków początkowych niezerowych (energii zgromadzonej w cewkach i kondensatorach), a drugi stanowi odpowiedź obwodu na wymuszenia tworzące wektor u(t). Pierwszą część utożsamiać będziemy wyłącznie ze składową przejściową pochodzącą od niezerowych warunków początkowych, a drugą – z odpowiedzią obwodu na wymuszenie. Zależność (1.11) może  więc być zinterpretowana w postaci

W praktyce obliczenie składowej ustalonej według zależności (1.11), zwłaszcza przy wymuszeniu sinusoidalnym, jest niezwykle uciążliwe, gdyż wymaga całkowania złożonych funkcji macierzowych. W zamian można wykorzystać fakt, że stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego, i w rozwiązaniu stanu ustalonego zastosować metodę symboliczną analizy obwodów, która pozwala wyznaczyć rozwiązanie w stanie ustalonym bez operacji całkowania (patrz rozdział 2 w module 1). W ten sposób stan nieustalony rozbity zostaje na dwa niezależne od siebie stany: stan ustalony (składowa x_u(t)), pochodzący od niezależnych wymuszeń, wyznaczany metodą symboliczną oraz stan przejściowy (składowa x_p(t)) jako odpowiedź na niezerowe warunki początkowe dla tej składowej przy źródłach napięciowych zwartych a prądowych rozwartych. Zauważmy, że przy braku wymuszenia (u=0) obwód dla składowej przejściowej opisuje się prostszym równaniem stanu

którego rozwiązanie nie wymaga całkowania funkcji i dane jest w postaci

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że chwila przełączenia t₀ oznacza początek liczenia czasu (t₀=0)

to w naszym podejściu x_p(t₀⁺)=x_p(0⁺). Zauważmy, że wartości początkowe w obwodzie dotyczą chwili tuż po przełączeniu, oznaczanej zwykle symbolem 0⁺. Przy rozbiciu stanu nieustalonego na dwie składowe wymagane jest więc wyznaczenie wartości x_p(0⁺) dla składowej przejściowej. Można tego dokonać korzystając z praw komutacji, które tutaj przepiszemy w postaci

Przy znanych wartościach x ( 0 ^- )  oraz x _u ( 0 ⁺ )  z zależności (1.15) można wyznaczyć wartość x _p ( 0 ⁺ ) , jako

W tej sytuacji rozwiązanie równania stanu (10.13) można przedstawić w postaci

w której wartość x _p ( 0 ⁺ )  jest określona zależnością (10.16). Do określenia rozwiązania w stanie przejściowym należy wyznaczyć jeszcze macierz e^At, w której wykładnik jest macierzą a nie skalarem. Dla obliczenia e^At należy w pierwszej kolejności obliczyć wartości własne macierzy stanu A.

Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n. Macierz (s1-A) nazywana jest macierzą charakterystyczną A, przy czym 1 oznacza macierz jednostkową stopnia n, to jest macierz diagonalną 1=diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy charakterystycznej det(s1-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwinięciu wyrażenia wyznacznika przyjmuje postać wielomianu n-tego stopnia

Pierwiastki tego równania s₁, s₂, ..., s_n nazywamy wartościami własnymi macierzy A. Mogą one przyjmować wartości rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z każdą wartością własną si skojarzony jest wektor własny x_i o niezerowej wartości i wymiarze n, spełniający równanie

Jeśli wszystkie wartości własne są różne to na podstawie równania (1.20) można napisać n równań liniowych o postaci

z rozwiązania których można wyznaczyć wszystkie wektory własne x_i. W Matlabie wartości i wektory własne sa wyznaczane przy użyciu funkcji eig.

Kluczem do wyznaczenia rozwiązania obwodu w stanie przejściowym metodą zmiennych stanu jest określenie macierzy e^At. Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Tutaj przedstawimy trzy z nich: metodę Lagrange’a-Sylvestera, diagonalizacji macierzy oraz Cayleya-Hamiltona. W każdej z nich wymagane jest wyznaczenie wartości własnych s_i macierzy A.

Metoda Lagrange’a-Sylvestera

W metodzie tej macierz e^At wyznacza się z prostej zależności podanej w postaci jawnej

Z analizy powyższego wzoru widoczne jest, że metoda Lagrange’a-Sylvestera obowiązuje jedynie dla przypadku wartości własnych pojedynczych (przy wartościach wielokrotnych mianownik zależności staje się zerowy).

Metoda diagonalizacji macierzy

W metodzie diagonalizacji macierzy zastępuje się obliczenie macierzy e^At poprzez transformację macierzy A do postaci diagonalnej D o tych samych wartościach własnych. Diagonalna macierz D posiada prostą formę macierzową e^Dt, będącą również macierzą diagonalną o postaci

Mnożąc obustronnie równanie stanu dx/dt = Ax przez nieosobliwą macierz U przekształca się je do postaci d(Ux)/dt = UAx. Wprowadźmy nowy wektor v = Ux. Wówczas oryginalne równanie stanu przekształca się do postaci określonej względem v, przy czym

gdzie D jest macierzą diagonalną określoną wzorem D=UAU^-1 o wartościach diagonalnych równych wartościom własnym macierzy A. Macierz przekształcenia U należy tak dobrać, aby spełniona była równość UA=DU. Zależność ta reprezentuje sobą układ równań liniowych. Rozwiązanie równania stanu (1.24) dane jest w prostej formie

Biorąc pod uwagę, że v=Ux, po wstawieniu tej zależności do równania (1.25) otrzymuje się  ${Ux}(t)=e^{{D}t}{Ux}(0^+)$, co pozwala napisać wyrażenie na x(t) w postaci

Oznacza to, że macierz e^At została określona wzorem

Zauważmy, że powyższa metoda prowadzi do wyniku wyłącznie dla pojedynczych wartości własnych macierzy A, podobnie jak metoda Lagrange’a-Sylwestera.

Metoda Cayleya-Hamiltona

Zgodnie z tą metodą macierz e^At rozwija się w szereg skończony o n składnikach (n – stopień macierzy A)

Dla pełnego określenia rozwiązania należy wyznaczyć wszystkie współczynniki a_i (i = 0, 1,..., n-1) rozwinięcia (1.28). Współczynniki te są wówczas funkcjami czasu a_i=a_i(t).

W przypadku pojedynczych wartości własnych nieznane współczynniki wyznacza się z rozwiązania układu n równań skalarnych, wynikających z twierdzenia Cayleya-Hamiltona. Zgodnie z tym twierdzeniem każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne. Oznacza to w praktyce, że równanie (1.28) musi być spełnione również przez wartości własne macierzy A (macierz A jest zastąpiona w tym równaniu przez kolejne wartości własne skalarne). W przypadku pojedynczych wartości własnych prowadzi to do układu n równań z n niewiadomymi o postaci

Rozwiązanie powyższego układu równań względem współczynników a_i pozwala określić pełną postać macierzy e^At według wzoru (1.28).

         Wzór Cayleya-Hamiltona obowiązuje również dla wielokrotnych wartości własnych, przy czym ubytek równań w zbiorze (1.29) wynikający z wielokrotności wartości własnych uzupełnia się analogicznymi równaniami obowiązującymi dla pochodnych względem wartości własnej wielokrotnej. Przykładowo, jeśli k-ta wartość własna s_k występuje podwójnie, wówczas obowiązują dla niej dwie równości Cayleya-Hamiltona o postaci

W ten sposób brakujące równanie w układzie (1.29) zostaje zastąpione równaniem dla pochodnej i układ równań pozostaje rozwiązywalny.

Jak zostało przedstawione na wstępie najwygodniejszą metodą obliczenia przebiegów czasowych w stanie nieustalonym metodą zmiennych stanu jest rozdzielenie stanu nieustalonego po przełączeniu w obwodzie na stan ustalony i przejściowy. Stan ustalony określany jest metodą symboliczną, a stan przejściowy metodą zmiennych stanu. W ten sposób unika się trudnego problemu całkowania złożonych zależności matematycznych. W efekcie rozwiązanie stanu nieustalonego w obwodzie składa się z następujących etapów.

• Określenie warunków początkowych w obwodzie przed przełączeniem. W praktyce oznacza to wyznaczenie prądów cewek i napięć kondensatorów w obwodzie w stanie ustalonym (np. metodą symboliczną), przejście na postać czasową tych rozwiązań i określenie wszystkich wartości prądów cewek i napięć kondensatorów w chwili przełączenia. Wartości początkowe i_L(0^-) oraz u_C(0^-) utworzą wektor stanu x w chwili początkowej 0^-.
• Określenie stanu ustalonego w obwodzie po przełączeniu (np. metodą symboliczną). W wyniku otrzymuje się wartości ustalone prądów cewek i_Lu(t) i napięć kondensatorów u_Cu(t). Wartości te tworzą wektor x_u(t) w stanie ustalonym.
• Określenie stanu przejściowego w obwodzie po przełączeniu. Obwód dla stanu przejściowego powstaje po odrzuceniu wszystkich źródeł wymuszających niezależnych (zwarcie źródeł napięcia e(t) oraz rozwarcie źródeł prądowych i(t)), od których odpowiedź w stanie ustalonym została już obliczona. Obwód taki opisuje się równaniem stanu o postaci dx_p / dt=Ax_p którego rozwiązanie określone jest zależnością (1.17) przy warunkach początkowych określonych dla składowej przejściowej zmiennych stanu. Oznacza to  konieczność określenia dla każdej cewki i kondensatora wielkości i_Lp(0⁺) oraz u_Cp(0⁺).  Korzystając z równania (1.16) otrzymuje się

Po określeniu warunków początkowych dla składowej przejściowej można z zależności (1.17) wyznaczyć pełne rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym.

• Rozwiązanie całkowite obwodu składa się z części ustalonej i przejściowej. Można je zapisać w postaci

co odpowiada zapisowi macierzowemu dla zmiennych stanu x(t)=x_u(t)+x_p(t).

W przypadku, gdy interesuje nas tylko jedna wybrana zmienna (jeden prąd bądź jedno napięcie w obwodzie) układ równań stanu pierwszego rzędu można sprowadzić do jednego równania różniczkowego n-tego rzędu względem tej zmiennej

Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego, podobnie jak w metodzie zmiennych stanu, można przedstawić w postaci sumy dwu składowych: ustalonej $x_u(t)$ wymuszonej przez źródło oraz składowej przejściowej $x_p(t)$, zwanej również składową swobodną, pochodzącą od niezerowych warunków początkowych  dla tej składowej

Składowa wymuszona stanowi rozwiązanie ustalone obwodu po komutacji i może być wyznaczona metodą symboliczną. Składowa przejściowa charakteryzuje fizycznie procesy zachodzące w obwodzie elektrycznym na skutek niezerowych warunków początkowych przy braku wymuszeń zewnętrznych. Odpowiada ona obwodowi, w którym wyeliminowano wszystkie zewnętrzne źródła wymuszające (źródła napięciowe zwarte a prądowe rozwarte).

Składowa przejściowa zależy jedynie od warunków początkowych odniesionych do tej składowej (napięć początkowych kondensatorów i prądów początkowych cewek), struktury obwodu i wartości parametrów tego obwodu. Dla obwodów elektrycznych zawierających elementy rozpraszające energię (rezystancje) składowa przejściowa, jak zostanie pokazane później, zanika z biegiem czasu do zera. Równanie składowej przejściowej otrzymuje się zakładając wymuszenie f(t) we wzorze (1.29) równe zeru i zastępując zmienną $x(t)$ poprzez jej składową przejściową $x_p(t)$. Otrzymuje się wówczas równanie różniczkowe jednorodne o postaci

Rozwiązanie powyższego równania jednorodnego uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego, stosującego opis operatorowy z użyciem operatora s

Jest to wielomian n-tego rzędu względem operators s o współczynnikach rzeczywistych a_i. Jest on identyczny z równaniem charakterystycznym otrzymanym dla zmiennych stanu. Pierwiastki $s_i$(i=1, 2, ..., n) tego wielomianu stanowią bieguny układu, identyczne z wartościami własnymi macierzy stanu A. W tym punkcie  ograniczymy się jedynie do przypadku biegunów pojedynczych. Przy takim założeniu rozwiązanie równania (1.35) dla składowej przejściowej zapiszemy w postaci

W rozwiązaniu tym współczynniki $A_i$ są stałymi całkowania, które należy wyznaczyć wykorzystując znajomość warunków początkowych w obwodzie (napięć kondensatorów i prądów cewek w chwili komutacji t=0). W tym celu należy wyznaczyć rozwiązanie  równania (1.35) dla każdej składowej przejściowej zmiennej stanu $x_{pk}(t)$  oddzielnie, a następnie rozwiązanie całkowite $x_k(t)=x_{uk}(t)+x_{pk}(t)$ dla k=1, 2, ..., n. Każda ze zmiennych $x_k(t)$  posiada znaną wartość  rozwiązania $x_k(0^-)$  w chwili t=0 (warunki początkowe). Z ciągłości prądów cewek i napięć kondensatorów wynika następująca zależność

Pisząc tę równość dla wszystkich n zmiennych stanu otrzymuje się n równań algebraicznych z n nieznanymi współczynnikami $A_i$. Z rozwiązania tego układu wyznacza się wszystkie współczynniki $A_i$ i podstawia do wzoru ogólnego (1.37). Po wyznaczeniu rozwiązania obwodu dla składowej ustalonej i przejściowej rozwiązanie całkowite równania (1.34) jest sumą obu rozwiązań cząstkowych, to znaczy

Powyższa procedura rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie poprzez rozwiązanie układu równań różniczkowych wyższego rzędu nosi nazwę metody klasycznej. Przy większej liczbie zmiennych jest ona dość uciążliwa w obliczeniach, gdyż wymaga pracochłonnego wyznaczania rozwiązań dla każdej składowej przejściowej zmiennych stanu. Dlatego w praktyce stosuje się zwykle tylko do równań pierwszego rzędu. W tej pracy zastosujemy ją do rozwiązania stanu nieustalonego w obwodzie RL oraz RC przy załączeniu napięcia stałego.

Jako pierwszy przykład zastosowania metody klasycznej rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RL przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego jak to zostało w symboliczny sposób przedstawione na rys. 2.1. Zerowe warunki początkowe obwodu oznaczają, że $i_L(0^-)=0$.

Rys. 2.1. Obwód szeregowy RL przy załączeniu napięcia stałego

Po przełączeniu w obwodzie RL powstaje stan nieustalony, który po określonym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego wynikającego z nowego układu połączeń elementów. Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

Stan ustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym oznacza, że cewka stanowi zwarcie (rys. 2.2a). 
 

Rys. 2.2. Postać obwodu RL do obliczenia składowej a) ustalonej i b) przejściowej

 Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa prąd ustalony tej cewki jest równy

Przechodząc do obliczenia stanu przejściowego należy wyeliminować zewnętrzne źródło zasilające. Ponieważ jest to źródło napięciowe, należy go zewrzeć. Schemat obwodu dla stanu przejściowego po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona, ma postać przedstawioną na rys. 2.2b. Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu przy uwzględnieniu 

otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne (brak wymuszenia) dla składowej przejściowej o postaci

Równanie charakterystyczne odpowiadające powyższemu równaniu różniczkowemu przyjmuje postać

Równanie to posiada tylko jeden pierwiastek 

Wykorzystując wzór (10.41) rozwiązanie stanu przejściowego dla prądu w obwodzie RL zapiszemy w postaci

w której współczynnik A_1 jest nieznaną stałą całkowania. Rozwiązanie całkowite obwodu jest sumą składowej ustalonej i przejściowej. W związku z powyższym prąd cewki określony jest następującym wzorem 

Z prawa komutacji dla cewki wynika, że $i_L(0^-)=i_L(0^+)$, stąd wobec $i_L(0^-)=0$ otrzymuje się

oraz 

Stąd rozwiązanie określające przebieg prądu cewki w stanie nieustalonym przyjmuje postać

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej $\tau$ obwodu RL 

rozwiązanie na prąd cewki w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

Jednostką stałej czasowej jest sekunda (jednostką indukcyjności jest 1H = 1Ws a jednostką rezystancji 1W). Łatwo wykazać, że po upływie trzech stałych czasowych ($t=3\tau$) prąd cewki uzyskuje prawie 95% swojej wartości ustalonej a po 5 stałych czasowych aż 99,3%. Oznacza to, że praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.

Na rys. 2.3 przedstawiono przebiegi prądu cewki dla różnych wartości stałej czasowej.

Rys. 2.3. Przebieg prądu cewki w stanie nieustalonym

 Jest to przebieg typu wykładniczego, w którym stan przejściowy trwa tym dłużej im dłuższa jest stała czasowa. Praktycznie po 5 stałych czasowych stan przejściowy w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.
 Stałą czasową obwodu RL można wyznaczyć na podstawie zarejestrowanego przebiegu nieustalonego bez znajomości wartości rezystancji i indukcyjności. Zauważmy, że dla $t=\tau$ prąd cewki przyjmuje wartość

Oznacza to, że wartość prądu $i_L(t)\left|t=\tau\right.=0,632\frac{E}{R}$ wyznacza na osi odciętych wartość stałej czasowej. Sposób wyznaczania stałej czasowej zilustrowany jest na rys. 2.4.

Rys. 2.4. Ilustracja sposobu wyznaczania stałej czasowej na podstawie zarejestrowanego przebiegu prądu cewki

Wyznaczenie rozwiązania na prąd w stanie nieustalonym w obwodzie RL pozwala na określenie przebiegu czasowego pozostałych wielkości w obwodzie. Korzystając z zależności definicyjnej cewki $u_L=L\frac{di_L}{dt}$ otrzymuje się

Przebieg napięcia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL przedstawiono na rys. 2.5. 

Rys. 2.5. Przebieg napięcia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL

Napięcie na rezystorze R, jak wynika z prawa Ohma, jest proporcjonalne do prądu 

i ma kształt identyczny z przebiegiem prądu w obwodzie przedstawionym na rys. 2.3.

Rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RC przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego (rys. 2.6). 

Rys. 2.6. Załączenie napięcia stałego do obwodu szeregowego RC

Wobec braku zasilania w obwodzie przed przełączeniem w warunki początkowe obwodu są zerowe, co oznacza, że $u_C(0^-)=0$. 

Po przełączeniu powstaje w obwodzie stan nieustalony, który po pewnym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego. Stan nieustalony obwodu jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego. Stan ustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym (w=0) oznacza, że kondensator stanowi przerwę (rys. 2.7a). 

Rys. 2.7 Schemat obwodu RC dla składowej a) ustalonej, b) przejściowej

Zgodnie z prawem napięciowym Kirchhoffa napięcie ustalone kondensatora jest równe

Schemat obwodu dla stanu przejściowego (po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona) ma postać przedstawioną na rys. 2.7b. Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu i uwzględniając, że $i_{Cp}=C\frac{du_{Cp}}{dt}$, otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne o postaci

Równanie charakterystyczne odpowiadające mu przyjmuje więc postać

Równanie to posiada jeden pierwiastek $s_1=-1/(RC)$. W związku z powyższym jego rozwiązanie wynikające ze wzoru (10.41) przyjmie uproszczoną postać

W rozwiązaniu tym współczynnik $A_1$ jest stałą całkowania, którą należy wyznaczyć korzystając z prawa komutacji. Rozwiązanie całkowite będące sumą składowej ustalonej i przejściowej przybiera więc postać

Z prawa komutacji dla kondensatora wynika, że $u_C(0^-)=u_C(0^+)$, stąd wobec $u_C(0^-)=0$ otrzymuje się

Rozwiązanie czasowe określające przebieg napięcia na kondensatorze przyjmuje więc postać

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej $\tau$ obwodu RC jako iloczynu rezystancji R i pojemności C

rozwiązanie na napięcie kondensatora w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

Jak łatwo sprawdzić podstawową jednostką stałej czasowej w obwodzie RC jest również sekunda (jednostką rezystancji jest 1W = 1V/A, a jednostką pojemności jest 1F = 1As/V). Na rys. 2.8 przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym $u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ dla różnych wartości stałej czasowej. 

Rys. 2.8. Przebiegi napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym przy różnych stałych czasowych

Im dłuższa stała czasowa tym dłużej trwa stan przejściowy w obwodzie (zanikanie zmian napięcia do zera).
Łatwo wykazać, że po upływie 3 stałych czasowych ($t=3\tau$) napięcie uzyskuje prawie 95% swojej wartości ustalonej a po 5 stałych czasowych aż 99,3%. Oznacza to, że praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.
Stałą czasową można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie zarejestrowanego przebiegu nieustalonego bez znajomości wartości rezystancji i pojemności, podobnie jak to miało miejsce w przypadku obwodu RL. Zauważmy, że dla $t=\tau$ napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość 

Oznacza to, że napięcie $u_C(t)\left|t=\tau\right.=0,632E$ wyznacza na osi odciętych wartość stałej czasowej. Ilustruje to rys. 2.9.

Rys. 2.9. Wyznaczanie stałej czasowej obwodu RC na podstawie przebiegu czasowego napięcia kondensatora

Po określeniu funkcji opisującej przebieg napięcia na kondensatorze można określić przebieg czasowy prądu w obwodzie. Korzysta się przy tym z zależności definicyjnej kondensatora $i_C=C\frac{du_C}{dt}$, zgodnie z którą 

Przebieg prądu ładowania kondensatora w stanie nieustalonym w obwodzie RC dla różnych stałych czasowych przedstawia rys. 2.10.

Rys. 2.10. Przebieg prądu ładowania kondensatora w obwodzie RC

W chwili komutacji występuje skokowa zmiana wartości prądu (prąd kondensatora nie jest objęty komutacyjnym prawem ciągłości). Przebieg prądu kondensatora dąży do wartości ustalonej zerowej (w stanie ustalonym kondensator stanowi przerwę dla prądu). Stała czasowa zmian tego prądu jest identyczna jak napięcia i równa $\tau=RC$.

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a upraszcza operację rozwiązywania równań różniczkowych zastępując ją rozwiązaniem układu równań algebraicznych. Istota przekształcenia Laplace’a polega na tym, że każdej funkcji czasu f(t) określonej dla t>0 odpowiada pewna funkcja F(s) określona w dziedzinie liczb zespolonych i odwrotnie, każdej funkcji F(s) odpowiada określona funkcja czasu f(t). Funkcję f(t) nazywamy oryginałem i oznaczamy małą literą. Funkcję F(s) nazywamy transformatą funkcji określoną w dziedzinie zmiennej zespolonej s i oznaczamy dużą literą. Zmienna s jest nazywana częstotliwością zespoloną, przy czym $s=\sigma+j\omega$, gdzie ω oznacza pulsację.
W elektrotechnice najczęściej używane jest jednostronne przekształcenie Laplace’a, określone parą równań:

w których c jest bliżej nieokreśloną stałą warunkującą położenie granic całkowania w obszarze zbieżności transformaty. Pierwsze z równań definiuje proste przekształcenie Laplace’a przyporządkowujące oryginałowi transformatę zmiennej zespolonej s, a drugie przekształcenie odwrotne dokonujące transformacji odwrotnej, czyli wyznaczające funkcję oryginału na podstawie F(s). Zakładamy przy tym, że funkcja f(t) jest funkcją czasu, zadaną dla t>0 i równą 0 dla t<0 oraz, że nie rośnie szybciej niż funkcja wykładnicza. Proste przekształcenie Laplace’a określone wzorem (3.1) dokonuje transformacji funkcji czasu f(t) na funkcję F(s) zmiennej zespolonej s. Przekształcenie odwrotne określone wzorem (3.2) dokonuje transformacji funkcji zespolonej F(s) na funkcję czasu f(t). Wzór ten pełni jedynie rolę definicji i w praktyce nie używa się go do wyznaczania transformaty odwrotnej, wykorzystując w zamian własności transformat Laplace’a.

Jeśli współczynniki a1 i a2 są dowolnymi stałymi to 

gdzie symbole $L$ i $L^{-1}$ oznaczają odpowiednio transformaty: prostą i odwrotną Laplace’a. Z własności liniowości przekształcenia wynika, że przekształcenie Laplace’a spełnia zasadę superpozycji. 

Transformata pochodnej funkcji czasu spełnia relację

W której $f(0^+)$ oznacza wartość początkową funkcji f(t). Mnożenie funkcji F(s) przez zmienną zespoloną s odpowiada w dziedzinie czasu różniczkowaniu funkcji. Stąd operator s nazywany jest operatorem różniczkowania.

Transformata całki funkcji czasu spełnia relację

Pomnożenie funkcji F(s) przez 1/s odpowiada w dziedzinie czasu całkowaniu funkcji. Stąd operator s^-1 jest nazywany również operatorem całkowania.

Rozważmy przesunięcie argumentu funkcji operatorowej Laplace’a. Oznacza to, że zamiast transformaty F(s) bierzemy pod uwagę funkcję F(s-a). Twierdzenie o przesunięciu argumentu zmiennej zespolonej s mówi, że spełniona jest wówczas zależność

Przesunięcie argumentu zespolonego s transformaty o wartość a odpowiada w dziedzinie czasu pomnożeniu funkcji oryginału przez funkcję wykładniczą e^at. Korzyści płynące z powyższej własności zademonstrujemy na przykładzie wyznaczania transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji o przesuniętym argumencie s.

Transformata Laplace’a funkcji czasu o argumencie przesuniętym względem początku układu współrzędnych spełnia następującą zależność

Przesunięcie argumentu funkcji oryginalnej f(t) w dziedzinie czasu $f(t)\rightarrow f(t-a)\cdot1(t-a)$ odpowiada w dziedzinie częstotliwości pomnożeniu transformaty Laplace’a funkcji oryginalnej F(s) (nieprzesuniętej) przez funkcję wykładniczą $e^{-as}$.

Własność powyższa jest często wykorzystywana przy obliczaniu transformat nietypowych funkcji jak również przy analizie obwodów o wymuszeniach impulsowych.

Tutaj zilustrujemy jej użyteczność przy obliczaniu transformaty impulsu Diraca, zwanej funkcją impulsową Diraca. Impulsem Diraca nazywamy wielkość $\delta(t)$ o następujących własnościach.

oraz

Impuls Diraca przyjmuje wartość nieskończoną tylko dla jednego punktu t = 0 a w pozostałym zakresie ma wartość zerową. Wartość nieskończona stwarza pewne trudności obliczeniowe. Aby je przezwyciężyć wprowadza się jej aproksymację w postaci 

której wykres dla różnych wartości h przedstawiony jest na rys. 3.1. 

Rys. 3.1. Aproksymacja funkcji Diraca przez funkcję impulsową

Im mniejsza wartość h tym bardziej funkcja aproksymująca zbliża się swym wyglądem do funkcji Diraca. W granicy przy $h\rightarrow0$ funkcja aproksymująca jest zbieżna do rzeczywistej funkcji Diraca. Transformata Laplace’a dla funkcji aproksymującej jest dana w postaci

Biorąc pod uwagę, że funkcja Diraca jest granicą funkcji aproksymującej otrzymuje się 

Transformata Laplace’a funkcji delty Diraca jest równa jedności.

Splot stanowi ważne pojęcie w teorii obwodów, gdyż za jego pośrednictwem określa się odpowiedzi czasowe obwodów rzeczywistych RLC. Splot dwu funkcji czasu f₁(t) i f₂(t) oznaczony w postaci$f_1(t)\ast f_2(t)$ jest zdefiniowany w następujący sposób

Transformata Laplace’a splotu jest równa zwykłemu iloczynowi transformat poszczególnych funkcji tworzących splot

Powyższa własność nosi w matematyce nazwę twierdzenia Borela. Zauważmy, że mnożenie splotowe dwu funkcji w dziedzinie czasu odpowiada zwykłemu mnożeniu ich transformat w dziedzinie częstotliwości. Własność ta jest szczególnie wygodna w analizie obwodów zarówno w stanie ustalonym jak i nieustalonym. Zamiast żmudnych operacji w dziedzinie czasu wykonuje się transformację Laplace’a funkcji czasowych a następnie wszystkie operacje wykonuje na transformatach.

Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru (3.1) przy zadanej funkcji oryginału i przeprowadzeniu działań w nim określonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie wartości na granicach całkowania). Przykłady wyznaczania transformaty Laplace’a dla funkcji impulsowej Diraca, wartości stałej, funkcji wykładniczej i cosinusoidalnej zostały zaprezentowane na początku tej lekcji. 
Obliczanie transformat dla większości funkcji, zwłaszcza bardziej złożonych, nie jest procesem łatwym i dlatego w praktyce inżynierskiej najczęściej posługujemy się tablicami gotowych transformat Laplace’a, których źródło znaleźć można w wielu poradnikach matematycznych jak również podręcznikach poświęconych rachunkowi operatorowemu. W tablicy 3.1 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie często wykorzystywanych przy rozwiązywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej części tej lekcji będą one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a (funkcji czasu odpowiadających transformatom). 
 

Tablica 3.1 Tablica wybranych transformat Laplace’a

Zawartość tablicy przedstawiająca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadającymi im transformatami może służyć zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej postaci transformaty. Przykładowo, jeśli transformata dana jest wzorem

$F(s)=15\frac{5}{\left(s+2\right)^2+5^2}$

to odpowiadająca mu funkcja oryginału odczytana z tablicy 3.1 ma postać

$f(t)=15e^{-2t}sin{(}5t)$

W dalszej części rozważań podamy rozwinięcie tej metody pozwalające na wyznaczenie transformaty odwrotnej dla dowolnej postaci funkcji wymiernej F(s) korzystając z tablicy 3.1.

Aby wyznaczyć funkcję czasu f(t) na podstawie danej transformaty należy dokonać odwrotnego przekształcenia Laplace’a. Zależność definicyjna określona wzorem (3.2) jest raczej bezużyteczna ze względu na konieczność całkowania złożonych zwykle funkcji, jak również na nieokreślone precyzyjnie granice całkowania (stała c w definicji nie jest dokładnie określona). Najczęściej korzysta się z pośrednich metod wyznaczania oryginału wynikających z własności samego przekształcenia. Niezależnie od metody zastosowanej do wyznaczenia oryginału, zakładać będziemy, że transformata Laplace’a zadana jest w postaci wymiernej, czyli ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych. 

Dodatkowo przyjmiemy, że stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. Jeśli warunek powyższy byłby niespełniony, należy podzielić licznik przez mianownik tak, aby wymusić spełnienie tego warunku. Sposób postępowania w takim przypadku zilustrujemy na przykładzie.

Załóżmy, że funkcja wymierna F(s) zadana jest w postaci ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s, określona wzorem (3.17)

Pierwiastki licznika funkcji transformaty są nazywane zerami a pierwiastki mianownika biegunami. Zauważmy, że bieguny są utożsamione z pierwiastkami równania charakterystycznego występującego w metodzie klasycznej lub wartościami własnymi macierzy stanu A. W metodzie residuów korzysta się z następującego twierdzenia.

Metoda residuów jakkolwiek koncepcyjnie bardzo prosta staje się żmudna, jeśli bieguny układu są zespolone. Jest to szczególnie widoczne przy wysokich stopniach mianownika transmitancji operatorowej. W takich przypadkach zwykle korzystniejsze jest zastosowanie metody wykorzystującej tablice transformat Laplace’a.
Przy korzystaniu z tablic transformat należy poprzez elementarne przekształcenia doprowadzić daną transformatę do postaci standardowej znajdującej się w tablicy transformat (u nas tablica 3.1) a następnie odczytać z niej oryginał. Jest ona szczególnie wygodna jeśli bieguny układu są zespolone, gdyż w procesie przekształcania transformaty nie występuje potrzeba wyznaczania tych biegunów a wszystkie obliczenia dokonywane są na wartościach rzeczywistych. W praktyce przy stosowaniu tej metody transmitancję wyższych rzędów (n>2) rozkłada się na składniki rzędu drugiego i wszystkie przekształcenia dokonuje na wielomianach rzędu pierwszego lub drugiego. Idę metody wyjaśnimy na przykładach liczbowych.

Prawo Ohma dotyczące wartości chwilowych prądu i napięcia dla rezystora można zapisać w postaci

Jest to równanie algebraiczne wiążące prąd i napięcie na zaciskach elementu. Stosując transformację Laplace’a do obu stron równania otrzymuje się

Jak wynika z powyższej zależności impedancja operatorowa dla rezystora jest równa samej rezystancji $Z_R (s)=R$. Rys. 4.1 przedstawia model operatorowy rezystora, obowiązujący w dziedzinie zmiennej zespolonej s.

Rys. 4.1. Model operatorowy rezystora

Dla uzyskania modelu operatorowego cewki idealnej zastosujemy przekształcenie Laplace’a bezpośrednio do równania opisującego cewkę w dziedzinie czasu

i wykorzystamy własność dotyczącą transformaty pochodnej. W efekcie otrzymuje się

Powyższemu równaniu można przyporządkować schemat obwodowy cewki w dziedzinie operatorowej przedstawiony na rys. 4.2 

Rys.4.2 Model operatorowy cewki idealnej

Jest to połączenie szeregowe impedancji operatorowej odpowiadającej cewce idealnej i źródła napięciowego. Zaciski A-B modelu odpowiadają zaciskom A-B w oryginalnym symbolu cewki. Impedancja $Z_L (s)=sL$ jest impedancją operatorową cewki a $Li_L (0^+)$ reprezentuje źródło napięcia stanowiące integralną część modelu.

Dla uzyskania modelu operatorowego kondensatora idealnego skorzystamy z jego opisu w dziedzinie czasu 

Zastosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania kondensatora. W efekcie takiej operacji otrzymuje się

Przepiszemy tę zależność w postaci

Równaniu powyższemu można przyporządkować schemat operatorowy kondensatora przedstawiony na rys. 4.3.

Rys. 4.3 Model operatorowy kondensatora idealnego

W modelu tym funkcja $Z_C=\frac{1}{sC}$ reprezentuje impedancję operatorową kondensatora $a \frac{u_C(0^+)}{s}$ - źródło napięciowe stanowiące integralną część modelu.
Modele operatorowe odpowiadające podstawowym elementom obwodu pozwalają przyporządkować każdemu obwodowi rzeczywistemu jego schemat zastępczy w dziedzinie transformat. W schemacie tym niezerowe warunki początkowe uwzględnione są poprzez dodatkowe źródła napięcia występujące w modelu operatorowym cewki i kondensatora. Taki sposób podejścia do analizy stanu nieustalonego jest wygodny ze względu na to, że umożliwia napisanie równań (algebraicznych, funkcyjnych) w postaci operatorowej bezpośrednio na podstawie schematu zastępczego bez potrzeby tworzenia równań różniczkowych opisujących obwód.
 

Dla schematu operatorowego obwodu słuszne są prawa Kirchhoffa, analogiczne do praw obowiązujących w dziedzinie czasu. 

Prawo prądowe 
Suma transformat prądów w dowolnym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru

Prawo napięciowe
Suma transformat napięć gałęziowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru

W równaniach tych transformaty prądów i napięć zastąpiły wartości czasowe występujące w podstawowej wersji praw Kirchhoffa. Znaki prądów i napięć występujących w równaniach (4.8) i (4.9) ustalane są w identyczny sposób jak w przypadku podstawowej wersji praw Kirchhoffa podanych dla wielkości rzeczywistych.

Obliczenia prądów i napięć w stanie nieustalonym obwodu metodą operatorową sprowadzać się będą do wyznaczenia transformaty odpowiedniej wielkości a następnie obliczenia transformaty odwrotnej Laplace’a dla określenia zmiennej w dziedzinie czasu. Do obliczenia transformat prądów i napięć można stosować wszystkie poznane dotąd metody analizy obwodów, w tym metodę równań Kirchhoffa, oczkową, potencjałów węzłowych, Thevenina i Nortona operujące transformatami Laplace’a zamiast wartościami zespolonymi czy wartościami w dziedzinie czasu (dla obwodu rezystancyjnego).
    Podstawowymi zaletami metody operatorowej jest łatwość uwzględnienia niezerowych warunków początkowych (przez wprowadzenie źródeł napięciowych w modelu operatorowym) oraz sprowadzenie operacji różniczkowych do działań algebraicznych. 
W ogólności rozwiązując stan nieustalony w obwodzie metodą operatorową należy wyróżnić kilka etapów.

1. Określenie warunków początkowych w obwodzie, poprzez wyznaczenie rozwiązania ustalonego obwodu przed przełączeniem i obliczenie wartości napięć na kondensatorach i prądów cewek w chwili $t=0^-$, to jest $i_L (0^-)$ oraz $u_C (0^-)$
2. Określenie rozwiązania obwodu w stanie ustalonym po przełączeniu przy zastosowaniu metody symbolicznej z wykorzystaniem dowolnej metody analizy. Wynikiem jest postać czasowa rozwiązania ustalonego prądów cewek $i_Lu (t)$ i napięć kondensatorów $u_Cu (t)$. Przez założenie t=0 otrzymuje się wartości prądów i napięć w chwili początkowej, to jest $i_Lu (0^+)$ oraz $u_Cu (0^+)$.
3. Określenie rozwiązania obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu przy zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwiązania należy wykonać następujące etapy:

• utworzenie schematu obwodu dla składowej przejściowej poprzez wyeliminowanie źródeł zewnętrznych wymuszających (zwarcie źródeł napięcia i rozwarcie źródeł prądu); obwód rzeczywisty dla składowej przejściowej w dziedzinie czasu nie zawiera żadnych źródeł wymuszających
• określenie warunków początkowych dla składowej przejściowej przy wykorzystaniu praw komutacji, zgodnie z którymi $x(0^-)=x_u (0^+)+x_p (0^+)$; z równania tego wynikają następujące wzory na warunki początkowe dla składowych przejściowych prądu cewki i napięcia kondensatora

• utworzenie schematu operatorowego obwodu w stanie przejściowym poprzez zastąpienie elementów rzeczywistych obwodu ich modelami operatorowymi dla składowej przejściowej i rozwiązanie obwodu względem poszukiwanych prądów i napięć operatorowych
• wyznaczenie transformaty odwrotnej Laplace’a dla poszukiwanych wielkości przejściowych określonych w punkcie poprzednim; w wyniku otrzymuje się i$i_Lp (t)$ oraz $u_Cp (t).$

4. Określenie rozwiązania obwodu w stanie przejściowym po przełączeniu przy zastosowaniu metody operatorowej. Dla otrzymania takiego rozwiązania należy wykonać następujące etapy:

Składowa przejściowa zanika z czasem do zera i pozostaje jedynie składowa ustalona określająca przebieg wielkości w stanie ustalonym. Taka metodyka rozwiązania stanów nieustalonych przy zastosowaniu transformacji Laplace’a nosi nazwę metody superpozycji stanów, gdyż rozdziela w sposób jawny stan ustalony od stanu przejściowego. Jest szczególnie zalecana przy wymuszeniach sinusoidalnych, choć obowiązuje również dla obwodów prądu stałego. Zaletą takiego podejścia jest jej uniwersalność i stosowalność do każdego obwodu liniowego RLC niezależnie od rodzaju wymuszenia (wymuszenia stałe lub sinusoidalne mają jedynie wpływ na stan ustalony i są wyeliminowane przy rozwiązywaniu stanu przejściowego). 
 Należy podkreślić, że rozbicie stanu nieustalonego na ustalony i przejściowy jest zalecane jedynie przy istnieniu wymuszeń sinusoidalnych w obwodzie po przełączeniu. Jeśli źródła takie nie występują schemat operatorowy może dotyczyć obwodu całkowitego, bez rozbijania go na schemat dla składowej ustalonej i przejściowej. W takim przypadku pozostawia się zewnętrzne źródła wymuszające w obwodzie przyjmując ich model operatorowy, czyli zastępując postać czasową źródła (wartość stała A przy wymuszeniu stałym) przez funkcję $\frac{A}{s}$. Warunki początkowe również nie podlegają modyfikacji, co oznacza, że $i_L (0^+)=i_L (0^-)$ oraz $u_C (0^+)=u_C (0^-)$.

Wyznaczyć przebieg czasowy napięcia na kondensatorze w stanie nieustalonym w obwodzie z rys. 4.4 po przełączeniu. Dane liczbowe parametrów obwodu są następujące: $R_1=R_2=1Ω$, $L=1H$, $C=1F$, $e_2 (t)=10V$. Źródło wymuszające sinusoidalne dane jest w następującej postaci $e_1 (t)=5√2  sin⁡( t+π/4) V$.
 

Rys. 4.4. Schemat obwodu do przykładu 4.10.

Rozwiązanie
W rozwiązaniu problemu wyznaczymy najpierw warunki początkowe w obwodzie rozwiązując stan ustalony przed przełączeniem. Ponieważ przed przełączeniem w obwodzie występowały dwa źródła: stałe i sinusoidalne w obliczeniu warunków początkowych (stan ustalony przed przełączeniem) należy zastosować metodę superpozycji źródeł. 

Rys. 4.5 Schematy obwodu: a) w stanie ustalonym przed przełączeniem (źródło sinusoidalne), b) w stanie ustalonym przed przełączeniem (źródło stałe), c) w stanie ustalonym po przełączeniu,
d) schemat operatorowy dla składowej przejściowej

Schemat obwodu w stanie ustalonym przed przełączeniem przy wymuszeniu sinusoidalnym przedstawiony jest na rys. 4.5a. Wobec rezonansu równoległego w gałęzi LC prąd wydawany przez źródło jest równy zeru a napięcie na tej gałęzi jest równe napięciu źródła. Stąd 

$u_{Cu}^{(1)}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)$

Prąd cewki (wartość skuteczna zespolona) dany jest wzorem

$I_{Lu}^{(1)}=\frac{5e^{j\pi/4}}{j1}=5e^{-j\pi/4}$

co odpowiada postaci czasowej 

$i_{Lu}^{(1)}(t)=5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)$

Uwzględniając źródło stałe e2(t) uzyskuje się znaczne uproszczenie obwodu (cewka dla prądu stałego w stanie ustalonym stanowi zwarcie a kondensator przerwę) jak to przedstawiono na rys. 4.5b. Rozwiązanie na prąd cewki i napięcie kondensatora ma więc postać: 

$u_{Cu}^{(2)}(t)=0$

$i_{Lu}^{(2)}(t)=\frac{10}{1}=10$

Dokonując superpozycji obu rozwiązań otrzymuje się

$i_{Lu}(t)=i_{Lu}^{(1)}(t)+i_{Lu}^{(2)}(t)=10+5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)$

$u_{Cu}(t)=u_{Cu}^{(1)}(t)+u_{Cu}^{(2)}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)$

Stąd warunki początkowe są następujące: $u_C(0^-)=5$, $i_L(0^-)=5$.
Po przełączeniu w obwodzie pozostaje jedynie źródło sinusoidalne e₂(t). Schemat obwodu dla tego wymuszenia pokazany jest na rys. 4.5c. Z analizy tego obwodu wynika następująca procedura rozwiązania. Wobec rezonansu równoległego w gałęzi LC prąd wydawany przez źródło jest równy zeru a napięcie na tej gałęzi jest równe napięciu źródła. Stąd 

$u_{Cu}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)$

Prąd cewki (wartość skuteczna zespolona) dany jest wzorem

$I_{Lu}=\frac{5e^{j45^\circ}}{j1}=5e^{-j\pi/4}$

co odpowiada postaci czasowej 

$i_{Lu}(t)=5\sqrt2sin{(}t-\pi/4)$

Stan początkowy dla składowej ustalonej prądu cewki i napięcia kondensatora przyjmuje więc następujące wartości:

$u_{Cu}(0^+)=5$

oraz

$i_{Lu}(0^+)=-5$

Warunki początkowe dla składowej przejściowej prądu i napięcia są zatem równe:

$u_{Cp}(0^+)=u_C(0^-)-u_{Cu}(0^+)=0$

$i_{Lp}(0^+)=i_L(0^-)-i_{Lu}(0^+)=10$

Schemat operatorowy obwodu przedstawiono na rys. 4.5d (źródło wewnętrzne przy kondensatorze nie występuje, bo $u_{Cp}(0^+)=0$. Zastosowanie metody potencjałów węzłowych do wyznaczenia postaci operatorowej rozwiązania prowadzi do wyniku 

$U_{Cp}(s)=\frac{-\frac{10}{s}}{s+\frac{1}{s}+0,5}=\frac{-10}{s^2+0,5s+1}$

Wobec zespolonych wartości własnych (pierwiastków mianownika transformaty napięcia) w wyznaczaniu oryginału zastosujemy metodę wykorzystującą tablice transformat. W związku z powyższym transformatę przedstawimy w postaci przekształconej

$U_{Cp}(s)=\frac{-10}{s^2+0,5s+1}=-\frac{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)\cdot10\cdot\sqrt{\frac{16}{15}}}{\left(s+0,25\right)^2+\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)^2}=-10,33\frac{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)}{\left(s+0,25\right)^2+\left(\sqrt{\frac{15}{16}}\right)^2}$

Powyższej funkcji operatorowej można przyporządkować następującą postać czasową (patrz wiersz szósty tablicy 12.1)

$u_{Cp}(t)=-10,33e^{-0,25t}sin{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}t\right)}$

Rozwiązanie całkowite określające napięcie kondensatora jest sumą składowej ustalonej i przejściowej

$u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)=5\sqrt2sin{(}t+\pi/4)-10,33e^{-0,25t}sin{\left(\sqrt{\frac{15}{16}}t\right)}$

Składowa przejściowa zanika z biegiem czasu ze stałą czasową $\tau=4$ i po około 5 stałych czasowych pozostaje jedynie składowa ustalona sinusoidalna.

Rozpatrzmy załączenie napięcia stałego E do gałęzi szeregowej RLC przedstawionej na rys. 5.1. 

Rys. 5.1. Załączenie napięcia stałego do obwodu szeregowego RLC

Wobec zerowych warunków początkowych (brak wymuszenia w obwodzie przed przełączeniem) mamy $u_C (0^-)=0$, $i_L (0^-)=0$. 
Stan ustalony w obwodzie przy wymuszeniu stałym nie wymaga specjalnych obliczeń, gdyż wobec przerwy, jaką reprezentuje kondensator, prąd w obwodzie nie płynie $(i_Lu (t)=0)$ a napięcie na kondensatorze jest równe napięciu zasilającemu $u_Cu (t)=E$. 

Rys. 5.2 Schemat operatorowy obwodu RLC w stanie nieustalonym

Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 5.2. Warunki początkowe napięcia kondensatora i prądu cewki określają równania

Z prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu wynika następująca postać operatorowa prądu cewki

Dla wyznaczenia transformaty odwrotnej należy obliczyć pierwiastki mianownika transmitancji, czyli 

W wyniku rozwiązania tego równania otrzymuje się dwa pierwiastki (bieguny układu)

Z postaci wzoru opisującego bieguny wynika, że w zależności od znaku funkcji podpierwiastkowej możliwe są 3 przypadki rozwiązania.

• Przypadek aperiodyczny dla $R>2\sqrt{\frac{L}{C}}$. Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są rzeczywiste i ujemne. Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest aperiodyczny (nieokresowy) zanikający do zera w sposób wykładniczy.
• Przypadek aperiodyczny krytyczny występujący dla $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$. Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są rzeczywiste i równe sobie. Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest również aperiodyczny, podobnie jak w przypadku pierwszym, ale czas dochodzenia do wartości ustalonych (z określona tolerancją) jest najkrótszy z możliwych.
• Przypadek oscylacyjny (periodyczny) występujący dla $R$. Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są zespolone (zespolony i sprzężony z nim). Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest sinusoidalny tłumiony, o oscylacjach zanikających do zera.

Rezystancja $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ nazywana jest rezystancją krytyczną i oznaczana w postaci $R_{kr}$.

Rozpatrzymy najpierw przypadek pierwszy (aperiodyczny). Ze względu na to, że oba bieguny są rzeczywiste w obliczeniach transformaty odwrotnej najwygodniej jest zastosować metodę residuów. Zgodnie z nią przebieg czasowy prądu i(t) można zapisać w postaci

Podstawiając wartości s₁ i s₂ określone wzorami (5.5) i (5.6) otrzymuje się postać hiperboliczną rozwiązania na prąd cewki w stanie nieustalonym

We wzorze występuje czynnik tłumiący typu wykładniczego $e^{-\frac{R}{2L}t}$. Wielkość $\alpha=\frac{R}{2L}$ nazywana jest współczynnikiem tłumienia. Jej wartość jest proporcjonalna do wartości rezystancji. Im większa rezystancja tym większe tłumienie w obwodzie. 
W podobny sposób wyznaczyć można pozostałe przebiegi czasowe w obwodzie: napięcie cewki i kondensatora. Transformata napięcia na kondensatorze wyrażona jest wzorem

Po zastosowaniu wzoru na residuum otrzymujemy

Obliczenie napięcia cewki w stanie nieustalonym może być uzyskane bezpośrednio z postaci czasowej poprzez różniczkowanie zależności na prąd cewki. Po wykonaniu odpowiednich działań otrzymuje się

Na rys. 5.3 przedstawiono przebiegi prądu, napięcia na kondensatorze i cewce w stanie nieustalonym w obwodzie RLC dla R = 2,3W, C = 1F i L = 1H przy załączeniu napięcia stałego E = 1V. Dla przyjętych wartości parametrów elementów mamy do czynienia z przypadkiem aperiodycznym.

Rys. 5.3. Przebiegi prądu i napięć w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego

Prąd w obwodzie oraz napięcie na kondensatorze zachowują ciągłość i spełniają prawa komutacji. W stanie ustalonym prąd w obwodzie nie płynie (kondensator w stanie ustalonym stanowi przerwę) a napięcie na kondensatorze przyjmuje wartość napięcia zasilającego E. Zauważmy ponadto, że wartości maksymalnej prądu odpowiada zerowa wartość napięcia na cewce $(u_L(t)=L\frac{di}{dt})$. W chwili, gdy napięcie na cewce osiąga wartość maksymalną ujemną, w przebiegu napięcia na kondensatorze można zauważyć punkt przegięcia.
Na rys. 5.4 przedstawiono wykresy przebiegów ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego opisanego wzorem (5.10) dla 3 różnych wartości współczynnika tłumienia $\alpha=\frac{R}{2L}$. 

Rys. 5.4. Przebiegi napięć na kondensatorze dla różnej wartości współczynnika tłumienia

Jak widać, im większa jest wartość tego współczynnika, tym dłużej trwa dochodzenie do stanu ustalonego. Interesujące jest porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC w stanie aperiodycznym (wzór 5.10) oraz w obwodzie RC. Napięcie i prąd kondensatora w obwodzie RC, jak zostało pokazane w lekcji jedenastej opisane są funkcjami $u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$, $i_C(t)=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$. Na rys. 5.5 przedstawiono przebiegi napięcia na kondensatorze (rys. 5.5a) oraz prądu (rys. 5.5b). 

Rys. 5.5 Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RC i RLC

W napięciu $uC(t)$ w obwodzie RLC widoczny jest łagodnie narastający przebieg z punktem przegięcia. Prąd ładowania kondensatora, będący jednocześnie prądem cewki, narasta od wartości zerowej z zachowaniem ciągłości, a więc spełniając warunki nakładane przez prawa komutacji. W obwodzie RC widoczny jest gwałtowny skok prądu w chwili przełączenia (prawa komutacji nie dotyczą prądu kondensatora).

W przypadku aperiodycznym krytycznym, wobec spełnienia relacji $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ oba pierwiastki mianownika są równe i transformata prądu wyraża się wzorem

Zastosowanie wzoru na residuum dla pierwiastka podwójnego $s_1=s_2=-\frac{R}{2L}=-\alpha$ prowadzi do następującej postaci prądu cewki $i(t)$

W analogiczny sposób można wyznaczyć pozostałe przebiegi (napięcia kondensatora i cewki) dla stanu aperiodycznego krytycznego. W przypadku napięcia na cewce bezpośrednio poprzez różniczkowanie funkcji czasowej prądu otrzymuje się

Napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym można uzyskać bezpośrednio z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla obwodu z rys. 5.1 po przełączeniu. Mianowicie

Na rys. 5.6 przedstawiono przebieg ładowania kondensatora w stanie aperiodycznym krytycznym na tle przypadku aperiodycznego. 

Rys. 5.6. Porównanie procesu ładowania kondensatora w obwodzie RLC dla przypadku aperiodycznego i aperiodycznego krytycznego

Jedyna różnica występuje w czasie trwania stanu przejściowego, który najszybciej zanika dla przypadku krytycznego. Charakter przebiegu prądu i napięć w obwodzie dla przypadku aperiodycznego krytycznego jest podobny do zwykłego przypadku aperiodycznego, z tym, że najszybciej uzyskiwany jest stan ustalony (stan przejściowy trwa najkrócej z możliwych).

Przypadek oscylacyjny zmian prądu i napięć w obwodzie szeregowym RLC występuje przy spełnieniu warunku $R$ a więc przy małych wartościach rezystancji $R$. W tym przypadku oba bieguny są zespolone. Dla wyznaczenia postaci czasowej prądu wygodniej jest zastosować metodę tablic transformat. W tym celu należy przekształcić wyrażenie na prąd operatorowy w taki sposób, aby doprowadzić je do postaci występującej w tablicy 12.1. Dla zadanej postaci prądu przekształcenia te są jak następuje

Wprowadźmy oznaczenie

Wielkość $\omega$ jest pulsacją drgań własnych obwodu RLC występujących w przypadku oscylacyjnym. Wykorzystując tablicę transformat 12.1 możemy uzyskać postać czasową prądu w obwodzie. Można ją zapisać w postaci 

Prąd w przypadku oscylacyjnym opisany jest funkcją sinusoidalną o amplitudzie zmieniającej się według funkcji wykładniczej. Czynnik $e^{-\frac{R}{2L}t}$ stanowi tłumienie przebiegu sinusoidalnego a jego wartość jest proporcjonalna do wartości rezystancji obwodu $RLC$. Odwrotność współczynnika tłumienia charakteryzuje stałą czasową $\tau=\frac{2L}{R}$ obwodu $RLC$ z jaką tłumione są drgania sinusoidalne.
Wykorzystując podstawowe relacje zachodzące między zmiennymi w obwodzie szeregowym $​​RLC$ można wyznaczyć pozostałe napięcia w obwodzie w stanie nieustalonym. W przypadku cewki napięcie uzyskuje się przez zróżniczkowanie funkcji opisującej prąd ładowania. 

gdzie kąt $\phi$ jest określony relacją 

Napięcie na kondensatorze wyznaczyć można bezpośrednio z prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu rzeczywistego z rys. 5.1

Na rys. 5.7 przedstawiono przebiegi prądu i napięć w stanie nieustalonym w obwodzie $RLC$ przy wystąpieniu przypadku oscylacyjnego, czyli przy $R$. 

Rys. 5.7. Przebiegi czasowe w obwodzie $RLC$ dla przypadku oscylacyjnego

Przebieg prądu ma charakter sinusoidalny, tłumiony wykładniczo do zera. Obwiednie przebiegu prądu są wyznaczone funkcjami $f(t)=\pm\frac{E}{\omega L}e^{-\frac{R}{2L}t}$. Przy zasilaniu obwodu $RLC$ napięciem stałym wytworzyły się drgania własne o pulsacji $\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$. Pulsacja ta zależy wyłącznie od parametrów obwodu $RLC$. Głównym czynnikiem regulującym wartość pulsacji wobec małej wartości rezystancji R dla przypadku oscylacyjnego jest wartość indukcyjności $L$ oraz pojemności $C$. Przy danych wartościach $L, C$ i regulowanej rezystancji, pulsacja rośnie przy malejącej wartości rezystancji .
Drgania w obwodzie powstają na skutek wymiany energii między polem elektrycznym kondensatora a polem magnetycznym cewki. Na skutek skończonej wartości rezystancji zachodzi rozpraszanie energii w postaci ciepła wydzielanego na rezystorze. Stąd oscylacje powstające w obwodzie mają charakter malejący. Szybkość tłumienia określa stała tłumienia $\alpha=\frac{R}{2L}$. Im większa wartość rezystancji tym większe tłumienie w obwodzie i szybsze zanikanie drgań sinusoidalnych do zera.
Na rys. 5.8 przedstawiono przykładowe przebiegi ładowania kondensatora w obwodzie $RLC$ dla przypadków oscylacyjnych przy zmieniającej się wartości rezystancji. 
 

Rys. 5.8. Przebiegi napięcia na kondensatorze dla przypadku oscylacyjnego przy zmieniającej się wartości rezystancji

Widoczne jest, że im mniejsza wartość rezystancji tym dłużej trwa stan przejściowy w obwodzie. Wobec małych wartości rezystancji wynikających z warunku występowania przypadku oscylacyjnego jej wpływ na częstotliwość drgań własnych obwodu (wzór 5.17) jest stosunkowo niewielki.
Należy podkreślić, że jakkolwiek wyrażenia analityczne opisujące przebiegi czasowe w obwodzie dla różnych przypadków tłumienia są znacznie różniące się miedzy sobą, wszystkie reprezentują charakter ciągły. Poszczególne przypadki przechodzą w siebie nawzajem przy ciągłej zmianie wartości rezystancji. Przy małej rezystancji tłumienie jest małe i przebieg prądu oraz napięć jest oscylacyjny, tłumiony wykładniczo. Wzrost wartości rezystancji powoduje wzrost tłumienia, drgania trwają krócej aż przy pewnej wartości krytycznej $R_{kr}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ przechodzą w przebieg aperiodyczny (krytyczny), przy którym nie obserwuje się już drgań. Dalszy wzrost rezystancji niewiele zmienia w charakterze jakościowym przebiegów poza wydłużeniem stanu przejściowego. Ilustrację powyższego zjawiska na przykładzie napięcia $u_C(t)$ w obwodzie przedstawiono na rys. 5.9.

Rys. 5.9. Przebiegi napięcia na kondensatorze w obwodzie RLC przy ciągłej zmianie wartości rezystancji

Interesujące zjawiska w stanie nieustalonym występują w obwodzie $RLC$ o zerowej rezystancji. Obwód taki nazywać będziemy obwodem $LC$. Jak wynika z przedstawionych wyżej wzorów tłumienie w takim obwodzie jest zerowe ($\alpha=\frac{R}{2L}=0$) a pulsacja drgań własnych zależy wyłącznie od indukcyjności i pojemności i określona jest wzorem

Przy zerowym tłumieniu drgania oscylacyjne powstałe w obwodzie na skutek stanu przejściowego nigdy nie gasną. Obwód zasilony napięciem stałym generuje niegasnące drgania sinusoidalne stając się generatorem sygnałów harmonicznych. Przypadek powstania drgań niegasnących w obwodzie LC przedstawiono na rys. 5.10, na którym przedstawiono przebieg napięcia na kondensatorze, prądu w obwodzie oraz napięcia cewki.

Rys. 5.10. Przebiegi prądu i napięć w stanie nieustalonym w obwodzie LC

W obwodzie zaobserwować można powstanie dwukrotnego przepięcia na kondensatorze (wartość maksymalna napięcia jest równa $2E$).
Zjawisko powstawania niegasnących drgań sinusoidalnych w obwodzie $LC$ wykorzystuje się powszechnie w generatorach drgań harmonicznych. W rozwiązaniach praktycznych takich generatorów konieczne jest jednak zastosowanie elementów odtłumiających, kompensujących skończone tłumienie wynikające z istnienia rezystancji uzwojeń cewki i skończonej stratności kondensatora. Rolę układów odtłumiających obwód pełnić mogą elementy aktywne generujące energię, takie jak wzmacniacze operacyjne, tranzystory, pewne typy diód itp.
Przedstawione w tym rozdziale rozważania dotyczyły stanu nieustalonego przy wymuszeniu stałym. Identyczny sposób rozumowania, ale przy rozbiciu stanu nieustalonego na ustalony i przejściowy można zastosować do obwodu o wymuszeniu sinusoidalnym. Stan przejściowy w takim obwodzie niczym nie różni się od przypadku z wymuszeniem stałym. Program poniższy pozwala zaobserwować zjawiska zmian prądu i napięć w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym $RLC$ przy dowolnym wymuszeniu: stałym i sinusoidalnym. Szczególnie interesujące są przypadki odpowiadające wymuszeniu sinusoidalnemu o wartości pulsacji wymuszenia względem pulsacji drgań własnych obwodu $RLC$ (różne przypadki oscylacyjne). Zauważmy, że przy $R=0$ i pulsacji wymuszenia równej pulsacji drgań własnych powstają bieguny podwójne na osi urojonej, co prowadzi do niestabilności obwodu (sygnały prądu i napięcia rosną liniowo do nieskończoności). Przypadek taki można zaobserwować zakładając w programie $R=0$ i wartości jednostkowe dla $L, C$ i pulsacji wymuszenia.