1. Wprowadzenie

1.9. Równania falowe w dielektryku stratnym

Utrzymajmy w mocy wszystkie założenia dotyczące ośrodka wypełniającego przestrzeń (liniowość, izotropowość, jednorodność), ale przyjmijmy, że straty występujące w ośrodku opisuje konduktywność σ różna od zera. W tym przypadku układ równań Maxwella przyjmuje postać 

  

\(\triangledown \times E =-\mu\frac{\partial H}{\partial t}\)

\(\triangledown \times H =\sigma E+\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t};\)

\(\triangledown \cdot E = 0\)

\(\triangledown \cdot H = 0\)

 (1-35)  

Przekształcając równania Maxwella, metodami analogicznymi do stosowanych w poprzednim punkcie, można uzyskać równania falowe dla ośrodka stratnego
 

  

\(\triangledown^{2} E -\mu \sigma \frac{\partial E}{\partial t}-\mu \varepsilon\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0;\)

 

\(\triangledown^{2} H -\mu \sigma \frac{\partial H}{\partial t}-\mu \varepsilon\frac{\partial^2 H}{\partial t^2}=0;\)

 (1-36)  

Rozwiązanie tych równań w przypadku dowolnej zależności pól od czasu jest skomplikowane
i nie prowadzi do tak prostej interpretacji fizycznej i geometrycznej jak w przypadku ośrodków bezstratnych. Celowym jest przyjęcie, że pola tworzące fale elektromagnetyczną są cosinusoidalnymi funkcjami czasu o ustalonej pulsacji i zastosowanie rachunku zespolonego (w dziedzinie częstotliwości).
Przekształcając równania falowe (1-36) do postaci zespolonej uzyskujemy następujące równania falowe w dziedzinie zespolonej (równania Helmholtza):

  

\(\triangledown^{2} \mathbf{E}-\gamma ^{2}\mathbf{E}=0;\)

\(\triangledown^{2} \mathbf{H}-\gamma ^{2}\mathbf{H}=0;\)

 (1-37)  

W równaniach pojawia się zmienna zespolona  zwana współczynnikiem propagacji, o fundamentalnym znaczeniu dla opisu zjawiska propagacji fali

  

\(\gamma ^{2}=j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon );\)

 (1-38)  

Pamiętamy, że współczynnik propagacji fali w nieograniczonym ośrodku określają wielkości charakteryzujące ten ośrodek.