Podręcznik: Obwód rezonansowy szeregowy

1. Obwody rezonansowe i rezonatory

1.1. Obwód rezonansowy szeregowy

Wykład poświęcony jest prawie w całości rezonatorom mikrofalowym, elementom o bardzo różnych konstrukcjach i rozmiarach, zwykle wykorzystującym odcinki prowadnic falowych. Jednakże opis zjawiska rezonansu wygodnie jest wprowadzić przez analizę idealnego obwodu rezonansowego o stałych skupionych, pokazanego na rys.1.1. Obwód ten nazywany jest szeregowym obwodem rezonansowym. Składa się on z:
• idealnego źródła napięciowego U_G o rezystancji wewnętrznej R_G,
• szeregowego obwodu rezonansowego L, C, R.
Prąd I płynący w obwodzie obliczamy z zależności (1-1), zgodnie z prawem Ohma:

$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{U_G}}{R_G+\mathrm{Z}}\, \, \mathrm{gdzie\, \, Z}=R+j(\omega L-1/\omega C);$

(1-1)

Rys.1.1. Obwód rezonansu szeregowego. A) Elementy obwodu.
B). Krzywa rezonansowa przepływu prądu w obwodzie

Przyjmijmy dalej, że źródło napięciowe zmienia swoją częstotliwość $f=\omega /2\pi$ , nie zmieniając przy tym wartości amplitudy |U_G|. Obliczamy następnie zależność amplitudy prądu |I| płynącego w obwodzie od częstotliwości f otrzymując wykres pokazany na rys.1.1b. O otrzymanej charakterystyce mówimy, że ma charakter rezonansowy. Maksymalną wartość prądu |I| otrzymujemy dla pulsacji $\omega =\omega _0$ , zwaną pulsacją rezonansową. Jej wartość, zgodnie z zależnością (1-2), zależy od iloczynu LC:

$\omega _0^{2}=\frac{1}{LC};$

(1-2)

Dla częstotliwości rezonansowej amplituda prądu w obwodzie osiąga wartość wielokrotnie większą, niż w jej sąsiedztwie. W rezonansie impedancja Z jest czysto rzeczywista Z = R, a jej moduł osiąga wartość minimalną. Jednocześnie prąd płynący w obwodzie ma wartość maksymalną:

$I=I_m=\frac{U_G}{R+R_G};$

(1-3)

Na zjawisko rezonansu można spojrzeć od strony energii zgromadzonych w obwodzie. I tak średnia energia pola magnetycznego W_H zgromadzona w polu magnetycznym wytwarzanym przez indukcyjność, związana jest z wartością prądu zależnością (1-4):

$W_H=\frac{1}{4}\left | \mathrm{I} \right |^{2}L;$

(1-4)

Średnia energia pola elektrycznego W_E zgromadzona w polu elektrycznym wytwarzanym przez pojemność, może być wyznaczona na podstawie związku (1-5):

$W_E=\frac{1}{4}\left | \mathrm{U_C} \right |^{2}C=\frac{1}{4}\left | \mathrm{I} \right |^{2}\frac{1}{\omega ^{2}C};$

(1-5)

Dla pulsacji rezonansowej ( $\omega =\omega _0$ i f = f₀) obie energie są sobie równe, a ich suma osiąga wartość maksymalną:

$W_H=W_E;\, \, W_H+W_E=\mathrm{maks.}$

(1-6)

Wnioski powyższe są podstawą uogólnionej definicji częstotliwości rezonansowej rezonatora.
Charakterystycznym parametrem krzywej rezonansowej z rys.1.1b jest jej szerokość $\Delta$ f. Parametr ten związany jest z dobrocią obwodu rezonansowego. Dobroć całkowita Q_L może być zdefiniowana w oparciu o kształt krzywej rezonansowej, bądź w oparciu o parametry obwodowe:

$Q_L=\frac{f_0}{\Delta f}=\frac{\omega _0L}{R+R_G};$

(1-7)

Definiowane są także: dobroć własna Q₀ i dobroć zewnętrzna Q_Z:

$Q_0=\frac{\omega ^{2}L}{R};\, \, Q_z=\frac{\omega ^{2}L}{R_G};$

(1-8)

Związek między trzema zdefiniowanymi dobrociami jest oczywisty:

$\frac{1}{Q_L}=\frac{1}{Q_0}+\frac{1}{Q_z};$

(1-9)

Impedancja Z zapisana zależnością (1-1) może być wyrażona w formie z użyciem dobroci:

$\mathrm{Z}=R[1+j\omega Q_0(\frac{\omega }{\omega _0}-\frac{\omega_0 }{\omega})]\cong R(1+j2Q_0\frac{\delta \omega }{\omega_0});$

(1-10)

Impedancja szeregowego obwodu rezonansowego może być wyrażona uniwersalną zależnością słuszną dla każdego przypadku. Obliczymy moc strat P_R wydzieloną na rezystancji R:

$P_R=\frac{1}{2}\left | \mathrm{I} \right |^{2}R;$

(1-11)

Możemy teraz zapisać impedancję Z( $\omega$ ) następująco:

$\mathrm{Z}(\omega )=\frac{P_R+j2\omega (W_H-W_E)}{\left | \mathrm{I} \right |^{2}/2};$

(1-12)

Zależność (1-12) jest słuszna dla każdego jednowrotnika i ilustruje ścisły związek między modelem obwodowym a polowym każdego obwodu, w tym przypadku rezonansowego.