Doskonalenie odbioru informacji multimedialnych

Histogram obrazu jest graficzną reprezentacją rozkładu wartości pikseli (inaczej wartości funkcji jasności lub poziomów jasności) w obrazie. Każda z wartości pikseli $f(k,l)$obrazu $\mathbf{f}$ należy do uporządkowanego rosnąco zbioru (alfabetu) wartości możliwych: $f(k,l) \in A_{\mathbf{f}}=\{a_0,\ldots,a_{M-1}\}$. Liczba wystąpień  kolejnych poziomów jasności (inaczej, liczba pikseli dziedziny obrazu $\Omega_f$ z określonym poziomem jasności) $h(m)$dla $m=0,\ldots,M-1$, takich że 

stanowi histogram prezentowany w określonej formie graficznej (zwykle wykresu słupkowego, niekiedy w postaci tablicy par wartości $(a_m,h(m))$. 

Histogram charakteryzuje globalne skontrastowanie obrazu, przy czym rozkład zbliżony do równomiernego świadczy zasadniczo o ''dobrym'' kontraście i zachowanej równowadze pomiędzy obszarami o różnej jasności. Zachwianie tej równowagi może w klasycznych zobrazowaniach oznaczać deficyt obszarów jasnych czy ciemnych, lub też dowodzić zbytniej polaryzacji (np. czarno-białej) rozkładu wartości pikseli. Wyjątkiem są obrazy specjalistyczne, kiedy to same zasady pomiaru i przebieg procesu akwizycji narzucają niekiedy silne nierównomierności histogramów. W takich przypadkach rozważa się niekiedy histogramy lokalne, liczone jedynie w obszarach zainteresowań jako wskaźniki ich  podatności na percepcję określonych szczegółów obrazu. Zachowanie kryterium równomierności rozkładów pozwala wtedy kontrolować kontrast w przekazie informacji obrazowej. 

Przykładowe histogramy naturalnych obrazów testowych, świadczące o ich globalnym kontraście przedstawiono na rys. 4.3.

Rys. 4.3 Przykładowe histogramy wybranych obrazów naturalnych, o zróżnicowanych walorach kontrastu globalnego (pod każdym z obrazów umieszczono jego histogram w zakresie wartości 0--255).

Podstawowymi operacjami wykonywanymi na histogramie, które służą poprawie kontrastu w obrazie są: a) rozciąganie, czyli rozszerzenie histogramu na cały zakres możliwych wartości alfabetu -- od głębokiej czerni do wysyconej bieli, b) wyrównywanie, czyli przekształcanie histogramu do postaci rozkładu możliwie równomiernego, c) przekształcanie histogramu do założonej a priori postaci rozkładu nierównomiernego.  Dyskretna -- ziarnista postać histogramu stanowi realne ograniczenie przy próbach korekcji histogramu w celu poprawy poziomu skontrastowania obrazów. Poprawa oznacza tutaj przybliżenie kształtu histogramu obrazu źródłowego do rozkładu zamierzonego, by uzyskać efekt większego zróżnicowania odczytywanej treści.

Rozciąganie histogramu do zamierzonego przedziału wartości pikseli   $[0,a_{M-1}]$ oznacza przeliczenie wartości pikseli według prostej formuły:

powodując pełne wykorzystanie dynamiki dopuszczonej formatem źródłowym, a opisanej alfabetem $A_{\mathbf{f}}$. Przykładowy efekt rozjaśnienia obrazu poprzez rozciąganie histogramu ukazano na rys. 4.4. 

Rys. 4.4 Efekt rozciągania histogramu medycznego obrazu testowego (wybranej warstwy badania tomografii komputerowej głowy) -- u góry obraz źródłowy z histogramem wykazującym brak wartości pikseli w zakresie poziomów najjaśniejszych, u dołu - obraz ze zwiększonym kontrastem wskutek rozciągnięcia histogramu na pełen zakres dopuszczalnych wartości.

Wyrównywanie tudzież przekształcenie histogramu do innej, zamierzonej z góry postaci bazuje na przybliżonej znormalizowanym histogramem funkcji gęstości prawdopodobieństwa i wykorzystuje zasadę równoważenia prawdopodobieństw skumulowanych dla dwóch odmiennych rozkładów: wartości źródłowych oraz docelowego.

W znormalizowanym histogramie liczba zliczeń poszczególnych poziomów jasności odniesiona jest do liczby wszystkich  pikseli obrazu: $H_{\mathbf{f}}=\sum_{m=0}^{M-1} h(m)$, służąc jako przybliżenie prawdopodobieństw wystąpienia kolejnych wartości alfabetu: $p(m) = h(m)/H_{\mathbf{f}}$, tak że rozumiemy $p(m)=p(a_m)=Pr(a_m)=Pr(f=a_m)$. Zbiór $\{p(m)\}_0^{M-1}$taki że $\sum_{m=0}^{M-1} p(m) = 1$ wykorzystywany jest w analizie statystycznej do estymacji funkcji gęstości prawdopodobieństwa metodą częstościową, a to z kolei pozwala konstruować stochastyczne metody modelowania i przetwarzania obrazów.

Problem wyrównania histogramu (ogólniej dopasowania postaci histogramu do zamierzonej formy) sprowadza się do przekształcenia $S: \mathbf{f} \rightarrow \mathbf{g}$obrazu źródłowego, opisanego znormalizowanym histogramem $\{p_f(m)\}$, w obraz o histogramie równomiernym (\emph{de facto} zbliżonym do równomiernego) lub innym zamierzonym $\{p_g(n)\}$. W tym celu wykorzystuje się skumulowany histogram obrazu jako ''sumator'' kolejnych wartości $p_f(m)$porównywanych z poziomami skumulowanego rozkładu prawdopodobieństw $p_g(n)$. Indeksy $m$i $n$przebiegają przez kolejne elementy alfabetów odpowiednio $A_{\mathbf{f}}=\{a_0,\ldots,a_{M-1}\}$i $A_{\mathbf{g}}=\{b_0,\ldots,b_{N-1}\}$.   

Precyzyjniej, skumulowany histogram estymuje skumulowane prawdopodobieństwo (inaczej dyskretną dystrybuantę) dla rozkładu prawdopodobieństw poziomów jasności postaci:

Na podstawie histogramu zamierzonego można analogicznie ustalić dyskretną dystrybuantę $P_g(b_n)=\sum_{l=0}^n p_g(l)$. Ponieważ dystrybuanty obu rozkładów są monotonicznie rosnące, dla ustalonego $n$można dobrać takie $m$, które zapewni równość obu dystrybuant: $P_g(b_n)$oraz $P_f(a_m)$, co można rozpisać jako

Przybliżona równość pomiędzy skumulowanymi histogramami jest zwykle rozumiana jako $P_f(a_m)$najbliższy $P_g(b_n)$-- nie sposób bowiem dokładnie dopasować skokowych zmian wartości dyskretnych dystrybuant obu rozkładów prawdopodobieństwa. Na tej podstawie można ustalić regułę wyznaczenia poziomów jasności obrazu przekształconego w sposób następujący: $b_n=P_g^{-1}(P_f(a_m))=S(a_m)$.
W przypadku rozkładów ciągłych warunek równości dystrybuant

realizowany jest z dowolną precyzją, podobnie jak przekształcony histogram może dokładnie odpowiadać zamierzonemu. Zamiast alfabetów mamy wtedy przedziały $f=a_m \in [a_0,a_{M-1}]$oraz $g=b_n \in [b_0,b_{N-1}]$, co daje rozwiniętą postać warunku (4.9): $\int_0^{b_n} p_g(g) dg = \int_0^{b_m} p_f(f) df$, czyli analogicznie $(g=b_n)=P_g^{-1}(P_f(a_m))$. 

W przypadku równomiernego rozkładu $P_g(b_n)$można przyjąć (dla uproszczenia rozważań), że określono jego postać przy znormalizowanych wartościach poziomów jasności $g \in [0,1]$, co daje $P(g \leq 1)=1$, a $P(g \leq b_n)=P_g(b_n)=b_n$. Na podstawie (4.9) można wtedy zapisać, że znormalizowane 

Bardziej ogólnie można zapisać $g=P_f(f)\cdot (b_{N-1}-b_0)+b_0$. Analityczna postać funkcji przekształceń obrazów według docelowych postaci ich histogramów w przypadku np.rozkładu wykładniczego postaci:

wygląda następująco: 

zaś dla rozkładu Rayleigha 

mamy 

W przypadku rzeczywistych histogramów dyskretnych stosowanie zależności analitycznych jest rzadko przydatne. Korzystając z ustaleń (4.10) można jednak zaproponować prosty algorytm wyrównywania histogramu -- algorytm 4.1}.

Algorytm 4.1 Wyrównanie histogramu obrazu

• Wyznacz histogram obrazu źródłowego $\mathbf{f}$, taki że \\ $f(k,l)=a_m \Rightarrow h_f(m)=h_f(m)+1$na podstawie wartości wszystkich $H_{\mathbf{f}}$pikseli obrazu, takich że $f(k,l) \in A_{\mathbf{f}}$;
• Wyznacz źródłowy histogram skumulowany, taki że \\ $P_f(a_m)=P_f(a_{m-1})+h_f(m)$;
• Oblicz wartości funkcji jasności obrazu docelowego, przyporządkowane poszczególnym $a_m$według zależności

gdzie operator $\lceil \rfloor$oznacza przybliżenie do najbliższego symbolu alfabetu $A_{\mathbf{g}}$;

• Wyznacz postać obrazu przetworzonego $\mathbf{g}$, tak że $\forall_{(k,l)} f(k,l)=a_m \Rightarrow g(k,l)=b_n$według (4.15). Zakończ.

Przykładowy efekt wyrównywania histogramu przedstawiono na rys. 4.5. Pomimo tego, iż obraz źródłowy był dość dobrze skontrastowany i histogram niewiele odbiegał od równomiernego, uzyskano wyraźny efekt wyostrzenia kontrastu -- co zresztą w tym przypadku niekoniecznie oznacza poprawę jakości z punktu widzenia obserwatora. Bardziej przekonujący efekt ulepszenia obrazu poprzez wyrównanie histogramu widać na rys. 4.6. Przekonujące wydobycie szeregu niewidocznych informacji uzyskano na rys. 4.7 - u góry, zaś mało korzystny efekt utraty subtelnych zróżnicowań jasności o charakterze ciągłym (rys. 4.7 - u dołu) wskazuje, że nie w każdym przypadku wyrównywanie histogramu jest  korzystne.

Rys. 4.5 Efekt wyrównania histogramu obrazu testowego lena -- po lewej obraz źródłowy z histogramem, po prawej - obraz z ulepszonym kontrastem wskutek wyrównania histogramu.

 
Rys. 4.6 Wyrównywanie histogramu fragmentu mammogramu z guzem spikularnym -- u góry obraz źródłowy z histogramem, u dołu - obraz z wyrównanym histogramem.

Rys. 4.7  Efekt wyrównania histogramu obrazów testowych tomografii komputerowej oraz ''target'' -- po lewej obraz źródłowy, po prawej - obraz ze zwiększonym kontrastem wskutek wyrównania histogramu.

Aby przekształcić histogram obrazu do innej niż równomierna, założonej z góry formy, należy złożyć dwa rodzaje przekształceń: obrazu źródłowego do pomocniczej formy pośredniej o histogramie w przybliżeniu równomiernym: $S_1: \mathbf{f} \rightarrow \mathbf{p}_r$oraz obrazu docelowego do analogicznej formy pośredniej: $S_2: \mathbf{g} \rightarrow \mathbf{p}_r$. Wtedy uzyskamy $S_2^{-1} \cdot S_1: \mathbf{f} \rightarrow \mathbf{g}$. Przykładowy efekt przekształcenia obrazu źródłowego według docelowego histogramu opisanego rozkładem Rayleigha (postaci (4.13) zamieszczono na rys. 4.8. Rozciągnięcie informacji z zakresu poziomów jasnych pozwala lepiej uwidocznić strukturę patologii - guza spikularnego, czyli obiektu diagnostycznego zainteresowania. Na rys. 4.9 znajduje się inny przykład uwidocznienia guza poprzez binaryzację bardzo wąskiego histogramu źródłowego, liczonego w wybranym regionie zainteresowania.   

Rys. 4.8 Przekształcenie mammogramu z zaznaczonym guzem spikularnym  w celu uzyskania postaci histogramu zbliżonej do rozkładu Rayleigha -- po lewej obraz źródłowy z histogramem (liczonym jedynie dla obszaru sutka), po prawej - obraz przekształcony z dopasowanym histogramem. Przykład zaczerpnięty z literatury.

Rys. 4.9 Przekształcenie fragmentu mammogramu z prawie niewidocznym guzem celem binaryzacji histogramu docelowego -- u góry obraz źródłowy z histogramem, poniżej - obraz przekształcony z dopasowanym histogramem.

Innym sposobem korekty histogramu do zadanej empirycznie postaci jest odniesienie do kontrastowej charakterystyki wybranych regionów obrazu i na tej podstawie korygowanie histogramu całego obrazu np. według algorytmu 4.1. Na rys. 4.10 ukazano efekty wyrównywania histogramu na podstawie lokalnej statystyki wartości pikseli. W takim przypadku można uzyskać efekt silniejszego rozjaśnienia obrazu, czy wręcz niemal binaryzacji histogramu docelowego. 

Rys. 4.10 Efekt wyrównania histogramu obrazu testowego lena na podstawie lokalnego histogramu z obszaru wskazanego prostokątem -- pod ulepszanymi (choć niekoniecznie ulepszonymi) obrazami zamieszczono ich przekształcone histogramy (w stosunku do źródłowego histogramu z rys. 4.5.

Jeszcze inną kategorię stanowią metody adaptacyjnego wyrównywania histogramu -- AHE (Adaptive Histogram Equalization) na podstawie lokalnych estymat histogramu liczonych w blokach przyległych lub zachodzących na siebie, o dobranych rozmiarach, z interpolacją zapeniającą ciągłość funkcji jasności na granicach obszarów przekształcanych niezależnie. Dodatkowo stosowane są metody ograniczania kontrastu (dynamiki) -- CLAHE, czyli Contrast-limited Adaptive Histogram Equalization.