Podręcznik

Uzupełnieniem równań stanu są {\bf równania wyjść}. Wyjścia układu są zwykle oznaczane jako \( y_1,\cdots,y_i,\cdots,y_p \). Równania wyjść są równaniami algebraicznymi, a argumentami funkcji wyjść są zmienne stanu. Układ równań wyjść ma następującą ogólną postać 

\( \begin{eqnarray} y_1(t) &=& g_1(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t)) \qquad(1.72) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_i(t) &=& g_i(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t)) \qquad(1.73) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_p(t) &=& g_p(x_1(t),\cdots,x_j(t),\cdots,x_n(t)) \qquad(1.74) \end{eqnarray} \)

Wprowadzając wektor zmiennych stanu \( x(t) = (x_1(t), \cdots, x_j(t), \cdots, x_n(t))^T \) otrzymujemy

\( \begin{eqnarray} y_1(t) &=& g_1(x(t)) \qquad(1.75) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_i(t) &=& g_i(x(t)) \qquad(1.76) \\ &\vdots& \nonumber \\ y_p(t) &=& g_p(x(t)) \qquad(1.77) \end{eqnarray} \)

Jeżeli wprowadzimy nowe wektory

\( \begin{equation} y(t) = \left( \begin{array}{c} y_1(t)\\ \vdots\\ y_i(t) \\ \vdots\\ y_p(t) \end{array} \right),\ g(x(t)) = \left( \begin{array}{c} g_1(x(t))\\ \vdots\\ g_i(x(t)) \\ \vdots\\ g_p(x(t)) \end{array} \right)\qquad(1.78) \end{equation} \)

to równania wyjść można zapisać w postaci wektorowej

\( \begin{equation} y(t) = g(x(t)) \qquad(1.79) \end{equation} \)

 Można rozważać układy w których zmienne wyjściowe zależą jawnie od sygnałów sterujących

\( \begin{equation} y(t) = g(x(t), u(t)) \end{equation}\qquad(1.80) \)

w naszych układach skupiamy się jednak na układach w których wyjścia zależą jedynie od stanów obiektu. 

Równania wyjść w przykładowych obiektach są wyjątkowo proste. Dla układu trzech zbiorników mamy

\( \begin{eqnarray} y(t) &=& (y_1(t)) = (H_3(t)) \qquad(1.81)\\ y(t) &=& g(x(t)) = (g_1(x_1(t),x_2(t),x_3(t))) = (g_1(H_1(t),H_2(t),H_3(t))) = (H_3(t))\qquad(1.82) \end{eqnarray} \)

Dla wahadła mamy

\( \begin{eqnarray} y(t) &=& (y_1(t)) = (\theta(t))\qquad(1.83) \\ y(t) &=& g(x(t)) = (g_1(\theta(t),\omega(t))) = (\theta(t))\qquad(1.84) \end{eqnarray} \)