Podręcznik

Cały powyższy wywód, prowadzący do wyjaśnienia istoty krzywych B-sklejanych, celowo był przeprowadzony metodami czysto geometrycznymi. W ten sposób można było uniknąć podawania jakichkolwiek wzorów, co okazało się łatwe do zrobienia w przypadku sklejania krzywych niskiego stopnia. Konstrukcje geometryczne dla wyższych stopni krzywych są jednak daleko bardziej skomplikowane i trudne do uogólnienia. By metodę można było uogólnić, konieczne jest zastosowanie metody algebraicznej, wymagającej zdefiniowania tzw. funkcji B-sklejanych. Funkcje te definiuje się wzorami rekurencyjnymi:

\(N_{i,0}( u) =\begin{cases} 1\ dla\ u_{i} \leq u< u_{i+1} & \\ 0\ w\ przeciwnym\ razie & \end{cases}\)

\(N_{i,k}( u) =\frac{u-u_{i}}{u_{i+k} -u_{i}} \cdot N_{i,k-1}( u) +\frac{u_{i+k+1} -u_{i}}{u_{i+k+1} -u_{i+1}} \cdot N_{i+1,k-1}( u) \ ;\ \ \ \ \ \ \ dla\ k\ \geqslant 1\)

a następnie na ich podstawie wyznacza się krzywą dowolnego stopnia:

\({\mathbf{P}}\left(u\right)=\sum\mathbf{D}_iN_{i,k}\left(u\right)\ \ ;\ \ \ u_k\le\ u\le\ u_{n+1}\)

W tej właśnie ogólnej postaci krzywe B-sklejane zostały zaprezentowane przez twórców metody.

Do pełnej definicji krzywej potrzebny jest ciąg węzłów, czyli wartości parametru u:

\(\left(u_1,u_2,\ldots,u_{n+k}\right)\ \ \ ;\ \ gdzie\ \ \ u_i\le\ u_{i+1}\)

przy czym węzły wewnętrzne odpowiadają punktom sklejania krzywych.

Funkcje B-sklejane spełniają zależność

\(\sum\limits ^{n}_{i=0} N_{i,k}( u) =1\ \ \ ;\ \ \ u_{k} \leq u\leq u_{n+1}\)

Do wyznaczania funkcji B-sklejanych stosuje się najczęściej szybki i stabilny algorytm de Boora, bazujący na rekurencji zawartej w definicji funkcji B-sklejanych.

Rysunek 48. Algorytm de Boora: a) schemat ogólny; b) funkcje B-sklejane 0, 1, 2 i 3 stopnia – w kolejnych kolumnach, generowane algorytmem dr Boora.

Dane: T[1..n+k] - ciąg węzłów dla krzywej o wierzchołkach D₀..D_n stopnia k, taki że T[j]=u_j.

Dany też jest parametr u należący do przedziału <u_i..u_i+1>, zatem  dana jest wartość i, która ten przedział określa.

Wynik:

Tablica B[1..k+1] zawierająca funkcje N_i-k,k(u),...,N_i,k(u) dla danego u.

UWAGA: krzywą B-sklejaną wyznacza się w przedziale <u_k.. u_n+1>. Jeśli u=u_k, należy przyjąć i=k; jeśli u=u_n+1, należy przyjąć i=n.

Wiemy już, że do zdefiniowania krzywych B-sklejanych potrzebny jest nie tylko wielobok kontrolny, ale również stopień krzywej oraz (czasem niejawnie, jak w przypadku konstrukcji geometrycznych z początku tego rozdziału) ciąg węzłów. Najważniejsze własności krzywych B-sklejanych można ująć następująco:

• Otwarta krzywa stopnia k zdefiniowana wielobokiem o n+1 wierzchołkach (o indeksach od 0 do n) składa się z (n-k+1) segmentów.
• Zamknięta krzywa zdefiniowana wielobokiem o n+1 wierzchołkach (z których pierwszy, o indeksie 0, pokrywa się z ostatnim, czyli tym o indeksie n) składa się z n segmentów, niezależnie od stopnia krzywej.
• Jeśli ciąg węzłów krzywej otwartej ma k-krotne węzły zewnętrzne (na końcach), to krzywa przechodzi przez końcowe wierzchołki wieloboku i jest styczna w tych punktach do boków wieloboku.
• Krzywa ma ciągłość rzędu (k-1) z wyjątkiem wielokrotnych węzłów wewnętrznych: każda wielokrotność takiego węzła zmniejsza stopień ciągłości o 1.
• Przesunięcie pojedynczego wierzchołka wieloboku powoduje zmianę co najwyżej (k+1) segmentów krzywej, a więc lokalnie wpływa na jej kształt.
• Jeśli wielobok jest wypukły, to odpowiadająca mu krzywa też jest wypukła.
• Krzywa leży wewnątrz obszaru będącego sumą wypukłych obszarów rozpiętych na kolejnych (k+1) wierzchołkach wieloboku.
• Aby przekształcić afinicznie krzywą (przesunąć, obrócić, przeskalować), wystarczy przekształcić jej wielobok i wygenerować z niego krzywą.

Jako podsumowanie własności krzywych B-sklejanych niech posłuży następujący poglądowy rysunek. Można wszystkie przedstawione tu przypadki sprawdzić w Aplikacji nr  9.

Rysunek 49.  Krzywe B-sklejane różnych stopni, wszystkie zdefiniowane tym samym wielobokiem kontrolnym o 6 bokach. Na rysunku zaznaczono punkty sklejenia segmentów; a) krzywa 1 stopnia pokrywa się z wielobokiem; b) krzywa 2 stopnia jest styczna do boków wieloboku.  c) krzywa 3 stopnia; d) krzywa 4 stopnia; e) krzywa 5 stopnia; f) krzywa 6 stopnia - jest pojedynczą krzywą Béziera.