Podręcznik

Typ zmiennoprzecinkowy w języku C++ służy do zapisywania liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste odgrywają istotną rolę w obliczeniach naukowych, inżynierskich oraz w wielu aplikacjach, w których kluczowym aspektem jest dokładność. W tym przypadku dokładność zapewniana przez liczby całkowite nie jest wystarczająca.  W języku C++ dostępne są trzy główne typy zmiennoprzecinkowe: float, double oraz long double. Każdy z wymienionych typów zmiennych różni się precyzją i zakresem wartości, które może przechowywać.

Poza standardowym sposobem zapisu liczb tzn. 10, 200.46 możemy zapisywać liczby używając notacji naukowej. Notacja naukowa jest sposobem reprezentowania bardzo dużych lub bardzo małych liczb w zwięzły sposób. Jest szczególnie użyteczna w naukach ścisłych i inżynierii, gdzie liczby mogą mieć wiele cyfr znaczących i szeroki zakres wartości. 

W notacji naukowej wartość liczby obliczamy zgodnie ze wzorem:

$L = m \cdot p^{c}$

gdzie:

$m$ - mantysa,

$p$ - podstawa,

$c$ - cecha.

Przy pomocy wzoru możliwe jest wyznaczenie wartość liczby zmiennoprzecinkowej zapisanej w dowolnym systemie pozycyjnym, a nie tylko dziesiętnym. W przypadku dziesiętnego systemu $p = 10$.

Liczby wymierne i niewymierne wchodzą w skład zbioru liczb rzeczywistych, a ich reprezentacja za pomocą notacji naukowej (formy wykładniczej) stanowi oficjalną definicję liczb zmiennoprzecinkowych. W tym momencie warto zastanowić się w jaki sposób liczby zmiennoprzecinkowe są przechowywane w pamieci komputera. Oczywiście zapis jest binarny. W łatwy sposób można zapisać część całkowitą, ale w jaki sposób zapisać część dziesiętną? Najlepiej będzie zaprezentować to na przykładzie. 

Należy zwrócić uwagę, że istnieją przypadki w których proces mnożenia może nigdy się nie kończyć. Mamy wtedy do czynienia z liczbami nieskończonymi. W przypadku liczby nieskończonej otrzymujemy pewną powtarzającą się sekwencję binarnych wartości. Mówimy wtedy, że wartość jest w okresie. Możemy to zaobserwować na przykładzie liczby 0.33.

W celu ujednolicenia sposobu zapisu liczb zmiennoprzecinkowych został wprowadzony standard IEEE754. Standard IEEE 754 to zestaw specyfikacji definiujących sposób reprezentacji oraz operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych w komputerach. Opracowany przez Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), standard ten jest powszechnie używany we współczesnych systemach komputerowych i językach programowania, zapewniając jednolitą metodę manipulacji liczbami zmiennoprzecinkowymi, co umożliwia przenośność kodu między różnymi platformami.

Liczby zmiennoprzecinkowe w standardzie IEEE 754 są reprezentowane w postaci znormalizowanej za pomocą trzech głównych części:

1. Znak (1 bit): Określa, czy liczba jest dodatnia (0) czy ujemna (1).
2. Cecha (eksponenta): Przechowuje przesuniętą wartość wykładnika. Wartość ta jest zapisywana w postaci przesuniętej o wartość zwaną biasem.
3. Mantysa (część ułamkowa): Przechowuje znaczące cyfry liczby.

W języku C++ możemy więc wyróżnić następujące typy liczb zmiennoprzecinkowych:

• Typ float to pojedyncza precyzja zmiennoprzecinkowa. Zwykle jest przechowywana na 32 bitach (4 bajty). Zakres liczb wynosi od 1.2E-38 do 3.4E+38, natomiast precyzja jest do 7 cyfr znaczących.

• Typ double to podwójna precyzja zmiennoprzecinkowa. Zwykle jest przechowywana na 64 bitach (8 bajtów). Zakres liczb wynosi od 2.2E-308 do 1.8E+308, natomiast precyzja jest do 15 cyfr znaczących.

• Typ long double może oferować jeszcze większą precyzję. Jego rozmiar zależy od implementacji, ale zazwyczaj jest przechowywany na co najmniej 80 bitach (10 bajtów) lub więcej.