2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.1. Parametry sygnału sinusoidalnego

Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego)

\(u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi)\) (2.1)

Wielkości występujące w opisie mają następujące nazwy i oznaczenia:

  • u(t)           - wartość chwilowa napięcia
  • Um            - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia zwana również amplitudą
  • \(\psi\)              - faza początkowa napięcia odpowiadająca chwili t=0
  • \(\omega t+\psi\)      - kąt fazowy napięcia w chwili t
  • f=1/T         - częstotliwość mierzona w hercach (Hz)
  • T               - okres przebiegu sinusoidalnego (mierzony w sekundach)
  • \(\omega=2\pi f\)   - pulsacja mierzona w radianach na sekundę.

W dalszych rozważaniach wartości chwilowe sygnałów oznaczać będziemy małą literą a wartości maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe dużą.

 

Rys. 2.1. Sygnał sinusoidalny

 

Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napięcia u(t) z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. Oś odciętych ma podwójne oznaczenie: czasu t oraz fazy (aktualny kąt fazowy (wt+ y)).

Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje wartość skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci

\(F=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_o+T}{f^2(t)dt}}\) (2.2)

Łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu okresowego nie zależy od wybory fazy początkowej. W przypadku przebiegu sinusoidalnego napięcia u(t) =Um sin(wt+ y) jest równa

\(U=\frac{U_m}{\sqrt2}\) (2.3)

a w przypadku prądu sinusoidalnego i(t) =Im sin(wt+ y)

\(I=\frac{I_m}{\sqrt2}\) (2.4)

Dla sygnału sinusoidalnego wartość skuteczna jest więc \(\sqrt2\)  razy mniejsza niż jego wartość maksymalna. Należy zauważyć, że napięcie stałe u(t)=U jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego częstotliwość jest równa zeru (f=0) a wartość chwilowa jest stała i równa u(t)=Um sin(ψ )=U. Jest to ważna właściwość, gdyż dzięki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mogą mieć zastosowanie również do wymuszeń stałych przy założeniu f=0. Dla sygnału stałego wartość maksymalna i skuteczna są sobie równe i równają się danej wartości stałej.

Należy zauważyć, ze w elektrotechnice używa się również pojęcia wartości średniej sygnału, definiowanej jako uśredniona wartość sygnału za okres lub pół okresu funkcji okresowej, definiowana w postaci \(\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}{f(t)dt}\). Wartość średnia całookresowa dla sygnału sinusoidalnego jest równa zeru. Wartość średnia półokresowa jest różna od zera i równa 0,637Um.