Podręcznik

Rezystor, zwany również opornikiem należy do klasy elementów pasywnych rozpraszających energię. W teorii obwodów rezystor uważa się za element idealny i przypisuje mu tylko jedną cechę (parametr), zwaną rezystancją lub oporem. W dalszej części rozważać będziemy wyłącznie rezystor liniowy. Rezystancję (oporność) oznaczać będziemy literą R a jej odwrotność jest nazywana konduktancją i oznaczana literą G, przy czym R = 1/G. Symbol graficzny rezystora liniowego przedstawiony jest na rys. 1.1.

Rys. 1.1. Symbol graficzny rezystora liniowego

Opis matematyczny rezystora wynika z prawa Ohma, zgodnie z którym

Rezystancja rezystora liniowego przyjmuje określoną wartość (najczęściej stałą). Jednostką rezystancji jest om (W) a konduktancji siemens (S).

W realizacji praktycznej opornik jest wykonywany często z drutu metalowego o długości l, polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właściwej r. Rezystancja takiego opornika jest wprost proporcjonalna do l i r a odwrotnie proporcjonalna do S, stąd R = r l/S.

Cewka zwana również induktorem należy również do klasy elementów pasywnych. Ma zdolność gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej przypisuje się tylko jedną właściwość, zwaną indukcyjnością własną (w skrócie indukcyjnością) L. W przypadku cewki liniowej indukcyjność definiuje się w postaci stosunku strumienia Y skojarzonego z cewką do prądu płynącego przez nią, to znaczy

Strumień skojarzony Y cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów cewki, to jest $\Psi=z\varphi$   (φ - strumień skojarzony z jednym zwojem cewki, z – liczba zwojów). Jednostką strumienia jest weber (Wb), przy czym Wb=Vs,  a indukcyjności henr (H), przy czym 1H = 1Ws. Napięcie cewki wyrażone jest jako pochodna strumienia względem czasu

W przypadku cewki liniowej o indukcyjności L niezależnej od czasu, dla której strumień jest iloczynem prądu i indukcyjności L, $\Psi=Li_L$ , relacja napięciowo-prądowa upraszcza się do postaci

Na rys. 1.2 przedstawiono symbol graficzny cewki liniowej o indukcyjności L.

Rys. 1.2. Symbol graficzny cewki liniowej

Zauważmy, że przy stałej wartości prądu cewki i stałej wartości indukcyjności L napięcie na niej jest równe zeru, gdyż pochodna wartości stałej względem czasu jest równa zeru. Stąd cewka w stanie ustalonym obwodu przy prądzie stałym zachowuje się jak zwarcie (napięcie między końcówkami elementu równe zeru).

Kondensator jest elementem pasywnym, w którym istnieje możliwość gromadzenia energii w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje się tylko jedną właściwość zwaną pojemnością C. W przypadku kondensatora liniowego pojemność C jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w kondensatorze do napięcia między okładzinami tego kondensatora

W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C), przy czym kulomb = As, a pojemności farad (F), przy czym 1 F = 1 C/V. Zależność wiążąca napięcie i prąd kondensatora dana jest w postaci równania różniczkowego

Symbol graficzny kondensatora przedstawiony jest na rys. 1.3.

Rys. 1.3. Symbol graficzny kondensatora

Podobnie jak w przypadku cewki, jeśli napięcie na zaciskach kondensatora jest stałe, jego prąd jest równy zeru (pochodna wartości stałej względem czasu jest zerem). Kondensator zachowuje się wtedy jak przerwa (pomimo istnienia napięcia prąd nie płynie).

Źródło niezależne prądu bądź napięcia, zwane w skrócie źródłem prądu i źródłem napięcia, jest elementem aktywnym, generującym energię elektryczną, powstającą zwykle z zamiany innego rodzaju energii, na przykład z energii mechanicznej, słonecznej, jądrowej itp. W teorii obwodów rozważać będziemy źródła idealne należące do klasy źródeł napięciowych bądź prądowych. Symbol idealnego niezależnego źródła napięcia przedstawiony jest na rys. 1.4a, natomiast źródła prądu na rys. 1.4.b.

Rys. 1.4. Symbole graficzne niezależnego źródła a) napięcia, b) prądu

Niezależne źródła prądu i napięcia mają następujące właściwości.

• Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięcia nie zależy od prądu przepływającego przez to źródło, a zatem nie zależy od jego obciążenia.
• Przy stałym napięciu u panującym na zaciskach oraz prądzie i wynikającym z obciążenia, rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięciowego, definiowana jest w postaci zależności różniczkowej $R_w=\frac{du}{di}=0$ . Stąd idealne źródło napięcia charakteryzuje się rezystancją wewnętrzna równą zeru (zwarcie z punktu widzenia rezystancyjnego).
• Prąd idealnego źródła prądu nie zależy od obciążenia tego źródła, a więc od napięcia panującego na jego zaciskach.
• Przy stałym prądzie płynącym przez idealne źródło prądowe i dowolnym (bliżej nieokreślonym) napięciu panującym na jego zaciskach rezystancja wewnętrzna idealnego źródła prądowego jest równa nieskończoności. Stąd idealne źródło prądowe z punktu widzenia rezystancyjnego reprezentuje sobą przerwę.

Rys. 1.5 przedstawia charakterystyki prądowo-napięciowe obu rodzajów idealnych źródeł niezależnych: napięcia (rys. 1.5a) i prądu (rys. 1.5b).

Rys. 1.5. Charakterystyki prądowo-napięciowe idealnych źródeł niesterowanych:
a) źródło napięcia, b) źródło prądu

Dla źródła napięciowego charakterystyka jest równoległa do osi prądowej (wartość napięcia u stała), a dla źródła prądowego równoległa do osi napięciowej (wartość prądu i stała). Tak podane charakterystyki odnoszą się do źródeł stałych. W przypadku źródeł sinusoidalnych idealność jest rozumiana jako stałość parametrów źródła (amplituda, faza początkowa oraz częstotliwość niezależne od obciążenia).

Przykładami źródła napięcia stałego jest akumulator, źródła napięcia zmiennego - generator synchroniczny, źródła prądowego - elektroniczny zasilacz prądowy o stabilizowanym, niezależnym od obciążenia prądzie.

W odróżnieniu od źródeł niezależnych, których prąd lub napięcie (bądź parametry charakteryzujące je, np. amplituda i częstotliwość) były stałe, ustalone na etapie wytworzenia, wielkości te dla źródeł sterowanych z definicji zależą od wielkości sterujących, którymi mogą być prąd lub napięcie dowolnego innego elementu w obwodzie.

• Źródło sterowane jest więc elementem czterozaciskowym i charakteryzuje się tym, że napięcie lub prąd na jego zaciskach wyjściowych są proporcjonalne do napięcia lub prądu związanego z drugą parą zacisków sterujących. Wyróżnić można cztery rodzaje źródeł sterowanych: źródło napięcia sterowane napięciem, źródło napięcia sterowane prądem, źródło prądu sterowane napięciem i  źródło prądu sterowane prądem.

Równania źródeł sterowanych

• źródło napięcia sterowane napięciem 

$u_2=au_1$

• źródło napięcia sterowane prądem

$u_2=ri_1$

• źródło prądu sterowane napięciem

$i_2=gu_1$

• źródło prądu sterowane prądem

$i_2=bi_1$

W równaniach tych wielkości oznaczone wskaźnikiem 2 oznaczają wielkości wyjściowe, a wskaźnikiem 1 – wielkości sterujące.

Schematy graficzne wszystkich wymienionych tu rodzajów źródeł sterowanych prądu i napięcia przedstawione są na rys. 1.6.

Rys. 1.6. Schematy graficzne źródeł sterowanych

Wielkości r, g oraz a i b stanowią współczynniki proporcjonalności między wielkością sterująca i sterowaną tych źródeł. Przyjmują one najczęściej wartości rzeczywiste, choć w różnego rodzaju modelach mogą być również opisane funkcją zespoloną. Należy nadmienić, że źródła sterowane stanowią bardzo popularne modele wielu elementów elektrycznych i elektronicznych, takich jak transformatory idealne, maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe, wzmacniacze operacyjne napięciowe i prądowe, itp.

Suma prądów w każdym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru

Sumowanie dotyczy wszystkich prądów, które dopływają lub odpływają z danego oczka, przy czym wszystkie prądy wpływające do węzła brane są z jednakowym znakiem a wszystkie prądy wypływające z węzła ze znakiem przeciwnym (nie jest istotne czy znak plus dotyczy prądów wpływających czy wypływających). Sposób tworzenia równania prądowego Kirchhoffa zilustrujemy dla jednego węzła obwodu przedstawionego na rys. 1.7.

Rys. 1.7. Przykład węzła obwodu elektrycznego

Prawo Kirchhoffa dla tego węzła z uwzględnieniem kierunków prądów w węźle zapiszemy w postaci

$i_1+i_2+i_3-i_4-i_5=0$

Można je również zapisać jako bilans prądów dopływających i odpływających od węzła w postaci

$i_1+i_2+i_3=i_4+i_5$

Dla każdego obwodu można napisać dokładnie n-1 niezależnych równań prądowych, gdzie n oznacza całkowitą liczbę węzłów a (n-1) liczbę węzłów niezależnych. Bilans prądów w pozostałym n-tym węźle obwodu wynika z równań prądowych napisanych dla n-1 węzłów (jest to węzeł zależny zwany węzłem odniesienia). Wybór węzła odniesienia jest całkowicie dowolny.

Suma napięć w każdym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru

Sumowanie dotyczy napięć gałęziowych występujących w danym oczku zorientowanych względem dowolnie przyjętego kierunku odniesienia. Napięcie gałęziowe zgodne z tym kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równań wynikających z prawa napięciowego Kirchhoffa pokażemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napięć gałęziowych

Uwzględniając kierunki napięć gałęziowych równanie napięciowe Kirchhoffa dla tego oczka przyjmie postać

$u_1+u_2+u_3-u_4-e=0$

Można je również zapisać jako bilans napięć źródłowych i odbiornikowych w postaci

$e=u_1+u_2+u_3-u_4$

Dla każdego obwodu można napisać tyle równań oczkowych ile oczek wyodrębnimy w tym obwodzie, przy czym część równań oczkowych będzie równaniami zależnymi (wynikającymi z liniowej kombinacji innych równań). Minimalna liczba równań oczkowych branych pod uwagę w analizie jest więc równa liczbie oczek niezależnych.

W połączeniu szeregowym elementów koniec jednego elementu jest bezpośrednio połączony z początkiem następnego. Rys. 1.11 przedstawia schemat ogólny połączenia szeregowego rezystorów.

Rys. 1.11. Połączenie szeregowe elementów

Prąd każdego elementu obwodu jest jednakowy i równy i, natomiast napięcie na zaciskach zewnętrznych obwodu jest równe sumie napięć poszczególnych elementów tworzących połączenie. Napięciowe równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.11 przyjmuje więc postać

Przy oznaczeniu sumy rezystancji przez R

otrzymuje się uproszczenie N rezystorów połączonych szeregowo do jednego rezystora zastępczego o rezystancji R opisanej wzorem (1.10). Rezystancja zastępcza (wypadkowa) połączenia szeregowego rezystorów jest równa sumie rezystancji poszczególnych elementów tworzących to połączenie.

W połączeniu równoległym początki wszystkich elementów, podobnie jak również ich końce są ze sobą bezpośrednio połączone, jak to pokazano dla elementów rezystancyjnych na rys. 1.12.

Rys. 1.12. Połączenie równoległe elementów

Z połączenia tego wynika, że napięcie na wszystkich elementach jest jednakowe a prąd wypadkowy i jest równy sumie prądów wszystkich elementów obwodu. Prądowe prawo Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.12 można więc zapisać w postaci

przy czym G_i (i = 1, 2, ..., N) stanowią konduktancje rezystorów, G_i=1/R_i. Przy oznaczeniu sumy konduktancji przez G, gdzie

otrzymuje się uproszczenie N rezystorów połączonych równolegle do jednego rezystora zastępczego o konduktancji G opisanej wzorem (1.12). W połączeniu równoległym rezystorów konduktancja zastępcza (wypadkowa) jest równa sumie konduktancji poszczególnych rezystorów tworzących to połączenie. Rezystancję zastępczą dla N równolegle połączonych rezystorów obliczyć można jako odwrotność konduktancji zastępczej G, R=1/G.

Szczególnie prosty jest wzór na rezystancję zastępczą dla 2 rezystorów połączonych równolegle. W tym przypadku $G=G_1+G_2$. Uwzględniając, że $G=1/R$ po prostych przekształceniach otrzymuje się

$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

Należy jednak podkreślić, że przy trzech (i więcej) elementach połączonych równoległe wygodniejsze jest operowanie na konduktancjach a przejście na rezystancję zastępczą wykonuje się w ostatnim kroku po ustaleniu wartości sumy konduktancji.

Operowanie uproszczonym schematem wynikającym z połączenia szeregowego i równoległego elementów jest najwygodniejszym sposobem redukcji obwodu. W przypadku gdy nie ma elementów połączonych szeregowo lub równolegle możliwe jest dalsze uproszczenie obwodu przez zastosowanie przekształcenia gwiazda-trójką lub trójkąt-gwiazda. Przyjęte oznaczenia elementów rezystancyjnych trójkąta i gwiazdy są przedstawione na rys. 1.13.

Rys. 1.13. Połączenie a) trójkątne i b) gwiazdowe elementów

Transfiguracja trójkąta na gwiazdę lub gwiazdy na trójkąt polega na przyporządkowaniu danej konfiguracji elementów konfiguracji zastępczej, równoważnej jej z punktu widzenia zacisków zewnętrznych (te same prądy przy tych samych napięciach międzyzaciskowych). Dla uzyskania niezmienionych prądów zewnętrznych obwodu gwiazdy i trójkąta rezystancje między parami tych samych zacisków gwiazdy i trójkąta powinny być takie same. Zostało udowodnione, że warunki powyższe są automatycznie spełnione, jeśli przy zamianie gwiazdy na trójkąt spełnione są następujące warunki na rezystancje

Podobnie przy zamianie trójkąta na gwiazdę rezystancje gwiazdy muszą spełniać warunki

Przekształcenia równoważne obwodu wykorzystujące reguły połączenia szeregowego, równoległego oraz przekształcenia gwiazda-trójkąt i trójkąt-gwiazda umożliwiają dalszą redukcję tego obwodu i po wykonaniu odpowiedniej liczby przekształceń pozwalają zawsze na sprowadzenie go do pojedynczego elementu zastępczego.

Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego)

Wielkości występujące w opisie mają następujące nazwy i oznaczenia:

• u(t)           - wartość chwilowa napięcia
• U_m            - wartość maksymalna (szczytowa) napięcia zwana również amplitudą
• $\psi$              - faza początkowa napięcia odpowiadająca chwili t=0
• $\omega t+\psi$      - kąt fazowy napięcia w chwili t
• f=1/T         - częstotliwość mierzona w hercach (Hz)
• T               - okres przebiegu sinusoidalnego (mierzony w sekundach)
• $\omega=2\pi f$   - pulsacja mierzona w radianach na sekundę.

W dalszych rozważaniach wartości chwilowe sygnałów oznaczać będziemy małą literą a wartości maksymalne, skuteczne i wielkości operatorowe dużą.

Rys. 2.1. Sygnał sinusoidalny

Rys. 2.1 przedstawia przebieg sygnału sinusoidalnego napięcia u(t) z oznaczeniami poszczególnych jego parametrów. Oś odciętych ma podwójne oznaczenie: czasu t oraz fazy (aktualny kąt fazowy (wt+ y)).

Przebiegi zmienne w czasie dobrze charakteryzuje wartość skuteczna. Dla przebiegu okresowego f(t) o okresie T jest ona definiowana w postaci

Łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu okresowego nie zależy od wybory fazy początkowej. W przypadku przebiegu sinusoidalnego napięcia u(t) =U_m sin(wt+ y) jest równa

a w przypadku prądu sinusoidalnego i(t) =I_m sin(wt+ y)

Dla sygnału sinusoidalnego wartość skuteczna jest więc $\sqrt2$  razy mniejsza niż jego wartość maksymalna. Należy zauważyć, że napięcie stałe u(t)=U jest szczególnym przypadkiem sygnału sinusoidalnego, dla którego częstotliwość jest równa zeru (f=0) a wartość chwilowa jest stała i równa u(t)=U_m sin(ψ )=U. Jest to ważna właściwość, gdyż dzięki temu metody analizy obwodów o wymuszeniu sinusoidalnym mogą mieć zastosowanie również do wymuszeń stałych przy założeniu f=0. Dla sygnału stałego wartość maksymalna i skuteczna są sobie równe i równają się danej wartości stałej.

Należy zauważyć, ze w elektrotechnice używa się również pojęcia wartości średniej sygnału, definiowanej jako uśredniona wartość sygnału za okres lub pół okresu funkcji okresowej, definiowana w postaci $\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}{f(t)dt}$. Wartość średnia całookresowa dla sygnału sinusoidalnego jest równa zeru. Wartość średnia półokresowa jest różna od zera i równa 0,637Um.

Analiza obwodów zawierających elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudności związane z wystąpieniem w opisie cewki i kondensatora równań różniczkowych. Trudności te łatwo jest pokonać w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda liczb zespolonych, zwana również metodą symboliczną, sprowadzająca wszystkie operacje różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na liczbach zespolonych.

Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, że rozważany jest obwód szeregowy RLC (rys. 2.2) zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego  $u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi)$.

Rys. 2.2. Połączenie szeregowe elementów RLC

Z prawa napięciowego Kirchhoffa wynika następujący związek między napięciami elementów tego obwodu

Biorąc pod uwagę podstawowe zależności definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora

$u_R=Ri$

$u_C=1/C\int i d t$

$u_L=L\frac{di}{dt}$

otrzymuje się

Jest to równanie różniczkowo-całkowe opisujące zależności między wartościami chwilowymi prądu i napięcia wymuszającego w obwodzie. Pełne rozwiązanie tego równania sprowadza się do wyznaczenia dwu składowych prądu, stanowiących odpowiedź obwodu w stanie ustalonym i stanie przejściowym:

1. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszającego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości); jest to stan który zostanie osiągnięty przez obwód po czasie teoretycznie nieskończenie długim.
2. składowej przejściowej odpowiadającej różnicy między rozwiązaniem rzeczywistym równania różniczkowego a składową ustaloną.

W praktyce składowa przejściowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zaniknięciu składowej przejściowej nazywamy stanem ustalonym obwodu.

Składową ustaloną odpowiedzi obwodu można otrzymać nie rozwiązując równania różniczkowego opisującego ten obwód a korzystając jedynie z metody liczb zespolonych (metody symbolicznej). Istotnym elementem tej metody jest zastąpienie przebiegów czasowych ich reprezentacją zespoloną. Przyjmijmy, że prąd $i(t)=I_msin{(}\omega t+\Psi_i)$i $u(t)=U_msin{(}\omega t+\Psi_u)$napięcie  zastąpione zostały przez wektory wirujące w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) określone w postaci

Po zastąpieniu wartości czasowych prądu i napięcia w równaniu (2.6) poprzez ich reprezentację w postaci wektorów wirujących otrzymuje się

Po wykonaniu operacji różniczkowania i całkowania  oraz pominięciu czynnika $e^{j\omega t}$  występującego we wszystkich składnikach wzoru równanie powyższe przyjmuje postać

Oznaczmy przez $U=\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}$wartość skuteczną zespoloną napięcia, a przez $I=\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}$ wartość skuteczną zespoloną prądu. Wtedy równanie (2.10) można zapisać w postaci obowiązującej dla wartości skutecznych zespolonych

Składnik

odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielkość

reprezentuje wartość skuteczną zespoloną napięcia na cewce, a składnik

odpowiada wartości skutecznej zespolonej napięcia na kondensatorze. Wszystkie napięcia i prąd w obwodzie są wartościami zespolonymi.

Analizując postać równania (2.11) można zauważyć prostą analogię do równania opisującego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w postaci pojęcia impedancji zespolonej wiążącej wartości skuteczne prądu i napięcia na elementach R, L, C w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równań na podstawie prawa Ohma można napisać następujące przyporządkowania:

• Dla rezystora

impedancja ZR jest równa rezystancji tego rezystora.

• Dla cewki

impedancja ZL jest liczbą zespoloną (urojoną) zależną liniowo od częstotliwości.

• Dla kondensatora

impedancja ZC jest także zespolona i odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości.

Wartość $X_L=\omega L$  nosi nazwę reaktancji indukcyjnej a wartość $X_C=\frac{1}{\omega C}$  reaktancji pojemnościowej. W związku z powyższym można napisać $Z_L=jX_L$, $Z_C=-jX_C$ .

Wprowadzając oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie $Z=Z_R+Z_L+Z_C$  zależność prądowo-napięciową w obwodzie szeregowym RLC można zapisać w postaci, znanej jako prawo Ohma dla wartości symbolicznych

lub

gdzie moduł prądu

natomiast kąt fazowy prądu

Faza początkowa wektora napięcia wymuszającego jest tu oznaczona przez $\psi_u$ , a faza początkowa wektora prądu – przez $\psi_i$ . Różnica faz nazywana jest przesunięciem fazowym prądu względem napięcia i oznaczana literą $\phi$ , przy czym

Kąt przesunięcia fazowego $\phi$  odgrywa ogromną rolę w elektrotechnice, zwłaszcza w zagadnieniach mocy. Kąt przesunięcia fazowego jest uważany za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym.

Zauważmy, że wartościom skutecznym zespolonym prądu oraz napięcia można przyporządkować funkcję czasu. Biorąc pod uwagę, że przejście z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) odbywa się według schematu

powrót z wartości zespolonej do postaci czasowej polega na pomnożeniu modułu wartości skutecznej przez $\sqrt2$ i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji $sin{(}\omega t+\psi_u)$. Stąd przykładowo, jeśli wynik zespolony prądu dany jest w postaci $=10e^{j5{0^\circ}}$ , to odpowiadający mu przebieg czasowy ma postać $i(t)=10\sqrt2sin{(}\omega t+50^\circ)$. Istnieje również ścisła analogia między konduktancją (odwrotność rezystancji) a odwrotnością impedancji.

Analogicznie do pojęcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza się pojęcie admitancji zespolonej dla obwodu RLC. Admitancja jest definiowana jako odwrotność impedancji. Oznaczana jest najczęściej literą Y, przy czym

Admitancja kondensatora jest równa $Y_C=j\omega C$ , cewki $Y_L=\frac{1}{j\omega L}=-j\frac{1}{\omega L}$ , natomiast admitancja rezystora jest równa jego konduktancji Y_R=G=1/R. Podobnie odwrotność reaktancji X nosi specjalną nazwę susceptancji. Wartość susceptancji dla kondensatora jest równa $B_C=\omega C$, natomiast dla cewki $B_L=1/\omega L$ .

Po zastąpieniu wartości rzeczywistych w metodzie symbolicznej przez wartości zespolone równania różniczkowe zostały zastąpione przez równania algebraiczne typu zespolonego. Nastąpiła zatem algebraizacja równań opisujących obwód. Wszystkie elementy RLC traktowane są w podobny sposób i reprezentowane przez swoje impedancje zespolone, interpretowane jako uogólnienie rezystancji. Dla obwodu reprezentowanego w postaci symbolicznej zespolonej obowiązują prawa Kirchhoffa, które mają identyczną postać jak dla obwodu rzeczywistego, z tą różnicą, że zamiast wielkości chwilowych używa się wielkości zespolonych.

Prawo prądowe Kirchhoffa

Suma algebraiczna prądów zespolonych w dowolnym węźle obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci

W równaniu tym wszystkie prądy dane są w postaci zespolonej.

Prawo napięciowe Kirchhoffa

Suma algebraiczna napięć zespolonych w każdym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru, co zapiszemy w postaci

W równaniu tym symbolem U oznaczono wszystkie napięcia w postaci zespolonej, zarówno na gałęziach pasywnych jak i źródłowych obwodu. Sposób sumowania (znak plus lub minus) zarówno prądów jak i napięć jest taki sam jak w przypadku operowania wartościami rzeczywistymi.

Podsumowując, metoda symboliczna analizy obwodu w stanie ustalonym składa się z następujących etapów.

• Przejście z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) dla źródeł prądu i napięcia

$u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi_u)\rightarrow\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}$

$i(t)=I_msin{(}\omega t+\psi_i)\rightarrow\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}$

• Zastosowanie reprezentacji elementów poprzez ich impedancje zespolone.
• Zastosowanie praw Kirchoffa dla wartości symbolicznych.
• Rozwiązanie układu równań algebraicznych zespolonych.
• Ewentualnie (w miarę potrzeb) przedstawienie rozwiązania w postaci czasowej (odwrotna operacja) do wykonanej w punkcie pierwszym).

W przypadku analizy obwodów RLC w stanie ustalonym ważnym pojęciem jest wykres wektorowy, zwany również wykresem wskazowym, przedstawiający w sposób graficzny zależności między poszczególnymi wektorami prądu i napięcia w obwodzie. Jak wiadomo każdej liczbie zespolonej można przyporządkować reprezentację geometryczną w postaci odpowiedniej zależności wektorowej przedstawionej na płaszczyźnie, w której oś pozioma odpowiada części rzeczywistej a oś pionowa części urojonej liczby zespolonej. Konstruując wykres należy pamiętać, że pomnożenie wektora przez operator j jest równoważne obrotowi tego wektora o kąt 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara gdyż operator j jest równy $e^{j90^\circ}$. Podobnie pomnożenie wektora przez operator -j jest równoważne jego obrotowi o kąt 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara gdyż operator -j jest równy $e^{-j90^\circ}$ . Pomnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą nie zmienia pozycji wektora w przestrzeni o ile jest to liczba dodatnia lub zmienia zwrot wektora o $180^o$  jeśli liczba ta jest ujemna.

Z zależności prądowo-napięciowych dla rezystora jest oczywiste, że

co wobec rzeczywistych, dodatnich wartości R oznacza, że napięcie na rezystorze jest w fazie z prądem tego rezystora. Dla cewki obowiązuje

co oznacza, że napięcie na cewce wyprzedza prąd o kąt $90^\circ$. Podobnie napięcie na kondensatorze opóźnia się względem swojego prądu o kąt $90^\circ$, gdyż

Na rys. 2.3 przedstawiono wykresy wektorowe dla rezystora, cewki i kondensatora z zaznaczeniem przesunięć kątowych między wektorami prądu i napięcia.

Rys. 2.3. Wykresy wektorowe dla a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora

Przedstawione powyżej zasady konstruowania przesunięć kątowych między wektorami prądu i napięcia umożliwiają podanie ogólnych zasad postępowania przy konstruowaniu wykresu wektorowego dla dowolnego połączenia elementów obwodu RLC.

Wykres wektorowy z definicji uwzględnia przede wszystkim przesunięcia kątowe między poszczególnymi wektorami. Relacje ilościowe (długości) poszczególnych wektorów są mniej istotne i zwykle uwzględniane w sposób jedynie przybliżony. Wykres rozpoczyna się zwykle od końca obwodu (gałęzi najdalej położonej od źródła). Jeśli gałąź jest połączeniem szeregowym elementów rozpoczynamy od prądu tej gałęzi, a w przypadku połączenia równoległego – od napięcia. Następnie rysuje się na wykresie na przemian napięcia i prądy kolejnych gałęzi, dochodząc w ten sposób do źródła. Budowę wykresu kończy się w momencie dojścia do prądu i napięcia źródłowego obwodu.

Sposób postępowania przy sporządzaniu wykresów wektorowych oraz określanie charakteru obwodu przedstawimy na załączonym filmie oraz na poniższym przykładzie.

Materiał wideo - Wykres wektorowy

W rezonansie szeregowym RLC zjawisko rezonansu wymaga, aby reaktancja wypadkowa obwodu była równa zeru (impedancja całkowita jest wówczas wartością rzeczywistą pomimo istnienia cewek i kondensatorów w obwodzie). W rezonansie równoległym warunek rezonansu wymaga, aby część urojona admitancji była równa zeru. Częstotliwość, przy której część urojona impedancji lub admitancji obwodu znika jest nazywana częstotliwością rezonansową.

Przyjmijmy do analizy obwód szeregowy R, L, C przedstawiony na rys. 2.6.

Rys. 2.6. Obwód rezonansowy szeregowy RLC

zasilany napięciem sinusoidalnie zmiennym o wartości skutecznej zespolonej U i pulsacji  $\omega=2\pi f$. Przy zastosowaniu metody symbolicznej w analizie tego obwodu można napisać następujące równanie napięciowe Kirchhoffa

Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. Osiągnie się to, jeśli część urojona powyższej zależności będzie równa zeru, czyli

$X_L=X_C$

Uwzględniając, że $X_L=\omega L$ oraz $X_C=1/\omega C$ z powyższego warunku otrzymuje się wzór określający pulsację rezonansową $\omega_r$ w postaci

Częstotliwość rezonansowa obwodu wynosi zatem

Równość reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej oznacza, że w stanie rezonansu napięcia na cewce i kondensatorze są równe co do modułu ale przeciwnie skierowane, czyli

Zmiana częstotliwości zmienia oczywiście relację między napięciami na tych elementach reaktancyjnych (przeskalowanie wartości). Dla częstotliwości mniejszych niż rezonansowa napięcie na kondensatorze jest większe niż na cewce (przy mniejszej częstotliwości moduł impedancji kondensatora jest większy), a przy częstotliwościach większych niż rezonansowa napięcie na cewce większe niż na kondensatorze (moduł impedancji cewki rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości a moduł impedancji kondensatora maleje). Na rys. 2.7 przedstawiono wykresy wektorowe prądu i napięć w obwodzie szeregowym RLC dla częstotliwości mniejszych niż rezonansowa (rys. 2.7a), dla częstotliwości rezonansowej (rys. 2.7b) oraz dla częstotliwości większych niż rezonansowa (rys. 2.7c).

a)	b)	c)

Rys. 2.7. Wykresy wektorowe obwodu rezonansowego RLC: a) stan przed rezonansem,
b) stan rezonansu, c) stan po rezonansie

Z przesunięć kątowych między wektorami widoczne jest, że przed rezonansem obwód szeregowy RLC ma charakter pojemnościowy, w czasie rezonansu – rezystancyjny, a dla częstotliwości większych niż rezonansowa – indukcyjny.

Ważnym parametrem obwodu rezonansowego jest dobroć Q określana zwykle w punkcie rezonansowym (dla częstotliwości rezonansowej). W obwodzie szeregowym RLC dobrocią nazywamy stosunek wartości skutecznej napięcia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do wartości skutecznej napięcia na elemencie rezystancyjnym w czasie rezonansu. Stąd wartość dobroci może być wyrażona wzorem

Po uwzględnieniu wzoru na pulsację rezonansową, dobroć Q można wyrazić w jednoznacznej postaci uzależnionej wyłącznie od parametrów obwodu RLC

Wielkość występująca w liczniku nazywana jest rezystancją charakterystyczną r

Rezystancja charakterystyczna obwodu rezonansowego szeregowego RLC jest uzależniona wyłącznie od wartości indukcyjności i pojemności.

Charakterystykami częstotliwościowymi obwodu rezonansowego nazywać będziemy zależność prądu i napięć od częstotliwości (pulsacji). Dla otrzymania charakterystyk częstotliwościowych z równania (2.29) wyznaczmy prąd I jako funkcję pulsacji

Przepisując powyższą zależność zespoloną w postaci wykładniczej otrzymujemy wzór

w którym $\left|I(\omega)\right|$ oznacza moduł prądu a $\phi(\omega)$ - fazę uzależnioną od częstotliwości napięcia zasilającego. Wielkości te opisane są następująco

Zależność modułu od częstotliwości (pulsacji) nazywamy charakterystyką amplitudową rezonansu a zależność fazy od częstotliwości (pulsacji) – charakterystyką fazową. Na rys2.8a przedstawiono charakterystykę modułu prądu a na rys. 2.8b – fazy prądu w funkcji pulsacji $\omega$ .

Rys. 2.8. Charakterystyki częstotliwościowe prądu w obwodzie rezonansowym:
a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa

Wartości elementów symulowanego obwodu były równe: L=1H, C=1F, R=1,8Ω . Dla punktu rezonansowego $\omega_r=1$ charakterystyka przyjmuje wartość maksymalną a faza wartość zerową.

Wraz ze zmianą prądu zmieniają się również napięcia na pozostałych elementach obwodu RLC. Dla wyznaczenia tych zależności można wykorzystać prawo Ohma, zgodnie z którym przy zastosowaniu podejścia symbolicznego otrzymuje się

• dla indukcyjności

• dla pojemności

Podstawiając do powyższych zależności wzór określający prąd można otrzymać wyrażenia na moduły i fazy napięcia na cewce i kondensatorze. Charakterystyki amplitudowe tych napięć są wyrażone w postaci

Na rys. 2.9 przedstawiono przykładowe charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze w obwodzie RLC o podanych wcześniej parametrach przy pulsacji rezonansowej równej jeden i dobroci obwodu Q=0,55 .

Rys. 2.9. Charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze

Jak widać dla częstotliwości rezonansowej obwodu napięcia na reaktancjach są sobie równe.

Charakterystyki fazowe napięć na cewce i kondensatorze, jak wynika ze wzorów (2.39) i (2.40) różnią się od charakterystyki fazowej prądu tylko o wartość π/2 i są przesunięte na osi pionowej bądź w dół bądź w górę. Łatwo pokazać, że są one określone następująco

• charakterystyka fazowa napięcia cewki

• charakterystyka fazowa napięcia kondensatora

Kształt charakterystyk fazowych napięcia na cewce i kondensatorze jest identyczny z charakterystyką fazową prądu. Jedynym wyjątkiem jest przesunięcie tych charakterystyk w osi pionowej o wartość kąta równą $\pm90^o$ .

Ogromny wpływ na charakterystyki częstotliwościowe zarówno amplitudową jak i fazową wywiera dobroć obwodu. Im wyższa jest dobroć tym charakterystyka prądu w funkcji częstotliwości jest bardziej stroma. Zmniejszenie dobroci powoduje spłaszczenie charakterystyki prądu (gorsza selektywność obwodu rezonansowego).

Rys. 2.10. Ilustracja wpływu dobroci na charakterystykę amplitudową prądu

Rys. 2.10 przedstawia wpływ dobroci na charakterystykę amplitudową prądu przy stałej wartości amplitudy napięcia zasilającego i zmiennej rezystancji, regulującej dobroć obwodu. Im większa dobroć tym charakterystyka amplitudowa jest bardziej stroma.

 Na rys. 2.11 zilustrowano wpływ dobroci na charakterystyki amplitudowe napięcia cewki i kondensatora dla tych samych wartości częstotliwości rezonansowej i dobroci jak na rys. 2.10.

Rys. 2.11. Charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze

Zaobserwować można pojawienie się maksimum w charakterystyce zarówno napięcia cewki jak i kondensatora. Łatwo można udowodnić, że punkt maksymalny obu charakterystyk pojawia się jedynie przy dobroci obwodu większej niż $\frac{1}{\sqrt2}$ . Dobroć $Q=\frac{1}{\sqrt2}$  odpowiada najbardziej płaskiemu kształtowi charakterystyk amplitudowych.

Rezonans prądów zwany również rezonansem równoległym może wystąpić w obwodzie zawierającym połączenie równoległe elementów RLC. Istnieje wiele struktur obwodów, w których może powstać rezonans prądów. Warunkiem jest pojawienie się równoległego połączenia cewki i kondensatora, przy czym zarówno cewka jak i kondensator może być w układzie połączeń z innymi elementami rezystancyjnymi.  Na rys. 2.12 przedstawiono przykładowy najprostszy obwód rezonansu równoległego RLC.

Rys. 2.12 Obwód rezonansowy równoległy RLC

Podobnie jak w przypadku obwodu szeregowego przyjmiemy wymuszenie sinusoidalne o zmiennej częstotliwości, ale tym razem założymy je w postaci źródła prądowego $i(t)=I_msin{(}\omega t)$ . Wykorzystując w opisie obwodu metodę symboliczną równanie prądowe Kirchhoffa dla tego obwodu przyjmie postać

Warunkiem rezonansu równoległego jest przyjęcie przez kąt fazowy między prądem I oraz napięciem U wartości równej zeru. Nastąpi to wtedy, gdy część urojona zależności (2.45) przyjmie wartość zerową, czyli gdy

Warunek powyższy będzie spełniony, gdy częstotliwość zasilania przyjmie wartość częstotliwości rezonansowej określonej zależnością

Jak widać częstotliwość rezonansowa w obwodzie równoległym z rys. 2.12 jest określona identycznym wzorem jak w obwodzie szeregowym RLC. W odróżnieniu od obwodu szeregowego w obwodzie równoległym dobrocią nazywamy stosunek prądu $I_L$ lub $I_C$ (są sobie równe w chwili rezonansu) do prądu $I_R$ w elemencie rezystancyjnym $I_R$

Po uwzględnieniu $G=1/R$  i wzoru (2.47) na częstotliwość rezonansową otrzymuje się relację określającą dobroć równoległego obwodu rezonansowego RLC o strukturze przedstawionej na rys. 2.12  w postaci

Tym razem dobroć obwodu jest wprost proporcjonalna do wartości rezystancji a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji charakterystycznej. Dobroć obwodu wzrasta więc ze wzrostem wartości rezystancji, odwrotnie niż to miało miejsce w obwodzie rezonansu szeregowego (przy większej rezystancji równoległej płynie przez nią mniejszy prąd upływnościowy).

Dobroć Q, podobnie jak w obwodzie rezonansu szeregowego, ma ogromny wpływ na charakterystyki częstotliwościowe obwodu RLC. Zauważmy, że z równania (2.45) można wyznaczyć napięcie na elementach R, L, C w postaci

w którym $\left|U(\omega)\right|$ oznacza moduł napięcia a $\phi(\omega)$ - fazę uzależnioną od częstotliwości prądu zasilającego. Wielkości te opisane są następującą funkcją

Na rys. 2.13 przedstawiono charakterystykę modułu napięcia (charakterystykę amplitudową)  i wykres fazy napięcia (charakterystykę fazową) w funkcji pulsacji ω  dla obwodu rezonansowego o ω_r=1 i dobroci Q=0,6.

Rys. 2.13 Charakterystyka amplitudowa (powyżej) i fazowa (ponizej) napięcia w obwodzie równoległym RLC

W punkcie rezonansowym (częstotliwość zasilania równa częstotliwości rezonansowej) charakterystyka amplitudowa przyjmuje wartość maksymalną a faza wartość zerową. Charakterystyki te są analogiczne do charakterystyk dla obwodu szeregowego przy uwzględnieniu formalnych zmian występujących we wzorach (prąd w obwodzie szeregowym odpowiada napięciu na połączeniu równoległym elementów). Zmiana kształtu charakterystyk częstotliwościowych obwodu równoległego na skutek zmian dobroci jest również identyczna jak miało to miejsce w obwodzie szeregowym RLC. Odpowiednikiem napięcia na elementach L i C w obwodzie szeregowym jest prąd tych elementów w obwodzie równoległym. Zachowanie się tych charakterystyk w funkcji pulsacji wynika z prawa Ohma dla cewki i kondensatora, to jest

oraz

Ograniczając się jedynie do charakterystyk amplitudowych można łatwo wykazać, że charakterystyki te opisują się następującymi wzorami

Na rys. 2.14 przedstawiono charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora w funkcji pulsacji dla dobroci $Q$ wynikające z relacji (2.55) i (2.56).

Rys. 2.14 Charakterystyki amplitudowe prądu cewki i kondensatora

Zmiana dobroci obwodu wpływa w zasadniczy sposób na przebieg tych charakterystyk. Można łatwo udowodnić, że dla dobroci $Q>\frac{1}{\sqrt2}$ pojawiają się punkty ekstremalne (maksima) w obu charakterystykach, podobnie jak przy rezonansie szeregowym, przy czym występuje przesunięcie tych maksimów względem punktu rezonansowego. Przesunięcie to maleje wraz ze zwiększaniem się dobroci. Przy dobroci $Q\le\frac{1}{\sqrt2}$ punkty ekstremalne w obu charakterystykach nie występują a przebieg charakterystyk amplitudowych staje się monotoniczny.

Rezonans równoległy podobnie jak szeregowy ma głównie zastosowanie w układach filtrów i generatorów, gdzie pełni rolę układu przepuszczającego lub wzmacniającego sygnały w określonym zakresie częstotliwości i tłumiącego w pozostałym zakresie.

Oznaczmy wartość chwilową napięcia i prądu gałęzi odpowiednio przez $u(t)=U_msin{(}\omega t)$ oraz $i(t)=I_msin{(}\omega t-\phi)$. Dla uproszczenie przyjęto fazę początkową napięcia równą zeru.

Moc chwilowa p(t), jako jedyna z mocy jest funkcją czasu i definiuje się ją w postaci iloczynu wartości chwilowych prądu $i(t)$ oraz napięcia $u(t)$ w obwodzie

Przy wymuszeniu sinusoidalnym moc chwilowa opisana jest wzorem

Moc czynną definiuje się jako wartość średnią za okres z mocy chwilowej, to jest

Podstawiając do powyższego wzoru funkcję określającą moc chwilową w obwodzie, po wykonaniu operacji całkowania otrzymuje się

Moc czynna w obwodzie o wymuszeniu sinusoidalnym jest więc wielkością stałą (niezależną od czasu) równą iloczynowi modułów wartości skutecznych napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego między wektorem napięcia i prądu. Współczynnik $cos{\phi}$ odgrywa ogromną rolę w praktyce i nosi specjalną nazwę współczynnika mocy. 

Moc czynna stanowi składową stałą mocy chwilowej. Jest ona nieujemna dla obwodu RLC a w granicznym przypadku przy $\phi=\pm\pi/2\mathrm{\ \ \ }\rightarrow\mathrm{\ \ \ }\mathrm{P}_L=P_C=0$ jest równa zeru. Moc czynna osiąga wartość największą $P=\left|U\right|\left|I\right|$gdy $\phi=0$, to znaczy gdy odbiornik ma charakter rezystancyjny, $cos{\phi}=1$. Wartość najmniejszą (P=0) moc osiąga w przypadku granicznym, gdy $\phi=\pm\pi/2$, to znaczy gdy odbiornikiem jest cewka idealna lub kondensator idealny dla których $cos{\phi}=0$. Oznacza to, że na elementach reaktancyjnych nie wydziela się moc czynna.

Z przytoczonych rozważań wynika, moc czynną wydzielaną w rezystorze można opisać następującymi wzorami

w których prąd I oraz napięcie U odpowiadają rezystorowi R. Jednostką mocy czynnej jest wat (W), przy czym 1W=1AV. W praktyce stosuje się również wielokrotności wata w postaci kilowata (1kW=1000W) lub megawata (1MW=106W) oraz wartości ułamkowe, np. miliwat (mW) lub mikrowat (μW). 

Do pomiaru mocy czynnej służy watomierz. Klasyczny watomierz jest przyrządem pomiarowym posiadającym cewkę prądową (o impedancji wewnętrznej bliskiej zeru) do pomiaru prądu gałęziowego obwodu i cewkę napięciową (o impedancji wewnętrznej bliskiej nieskończoności) do pomiaru napięcia między punktami obwodu, dla którego mierzymy moc czynną. Początki uzwojeń obu cewek oznaczać będziemy na schematach przy pomocy gwiazdek. Pozycja znaku gwiazdki przy cewce prądowej wskazuje kierunek prądu Iw watomierza przyjęty za dodatni (prąd płynie od gwiazdki do watomierza). W przypadku cewki napięciowej pozycja gwiazdki wskazuje przyjęty kierunek wyższego potencjału (napięcia Uw) obwodu. Wskazanie watomierza jest wówczas określone wzorem (3.4), które przy naszych oznaczeniach prądu i napięcia watomierza przyjmą postać $P=\left|U_w\right|\left|I_w\right|cos{\phi}$. Przyjmując założenie idealizujące, że impedancja cewki prądowej watomierza jest równa zeru a cewki napięciowej równa nieskończoności watomierz nie ma żadnego wpływu na rozpływy prądów i rozkłady napięć w badanym obwodzie elektrycznym.

W obwodach elektrycznych prądu sinusoidalnego definiuje się trzecią wielkość energetyczną będącą iloczynem napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi. Wielkość ta oznaczana jest literą Q i nazywana mocą bierną

Jednostką mocy biernej jest war (var) będący skrótem nazwy woltamper reaktywny.

W przypadku rezystora, dla którego przesunięcie fazowe jest równe zeru ($\phi=0\mathrm{\ \ \ }\rightarrow\mathrm{\ \ \ }\mathrm{Q}_R=0$) moc bierna jest zerowa Moc bierna może się więc wydzielać jedynie na elementach reaktancyjnych, gdyż tylko dla nich przesunięcie fazowe prądu i napięcia jest różne od zera. Przesunięcie fazowe prądu i napięcia na elementach reaktancyjnych (cewce i kondensatorze) przyjmuje wartość +90 dla cewki oraz -90 dla kondensatora, co oznacza, że sinus kąta jest odpowiednio równy równy +1 dla cewki (moc bierna cewki jest uważana za dodatnią) oraz –1 dla kondensatora (moc bierna kondensatora jest uważana za ujemną). Stąd przy uwzględnieniu znaku wzór na moc bierną elementów reaktancyjnych o reaktancji X może być przedstawiony w trzech równorzędnych postaciach

W ogólności kąt przesunięcia fazowego $\phi$ uważa się za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym (napięcie wyprzedza prąd) a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym (napięcie opóźnia się względem prądu). Moc bierna obwodów o charakterze indukcyjnym jest w sumie mocą indukcyjną, kojarzona z wartością dodatnią a moc bierna obwodów o charakterze pojemnościowym jest w sumie mocą pojemnościową i kojarzoną z wartością ujemną.

Czwartym rodzajem mocy wprowadzanym w obwodach elektrycznych jest tak zwana moc pozorna zespolona. Jest ona proporcjonalna do wartości skutecznych prądu i napięcia, i oznaczana literą S. Moc pozorna zespolona definiowana jest formalnie jako liczba zespolona w postaci iloczynu wartości skutecznej zespolonej napięcia U i wartości skutecznej sprzężonej prądu I

Tak zdefiniowana moc pozorna zespolona przedstawia sobą sumę mocy czynnej (część rzeczywista S) oraz mocy biernej (część urojona S), stąd

Biorąc pod uwagę, że operator j oznacza przesunięcie wektora o kąt $90^\circ$, ostatniej zależności na moc pozorną przyporządkować można wykres wektorowy mocy, tzw. trójkąt mocy przedstawiony na rys. 3.1. 

a)		b)

Rys. 3.1. Wykres wektorowy mocy dla obwodu a) o charakterze indukcyjnym, b) o charakterze pojemnościowym 

Zależność na moc pozorną zespoloną można przedstawić również w postaci wykładniczej $S=\left|S\right|e^{j\phi}$. W zależności tej  $\left|S\right|$ wyraża moduł mocy pozornej zespolonej, zwany również mocą pozorną która może być wyrażona w postaci iloczynu modułów wartości skutecznych prądu i napięcia

Z wykresu wektorowego obwodu przedstawionego na rys. 3.1 możliwe jest wyznaczenie współczynnika mocy. Mianowicie

Wartość współczynnika mocy wyznaczona z powyższej zależności jest identyczna z wartością wynikającą z relacji prądowo-napięciowych zachodzących dla wielkości bramowych (zewnętrznych) obwodu. Dla ułatwienia korzystania z pojęć mocy zestawiono poniżej najważniejsze postacie wzorów na moc czynną, bierną i pozorną w poszczególnych elementach obwodu

• Moc pozorna zespolona

• Moc czynna

• Moc bierna

Znak plus dotyczy mocy biernej cewki a minus kondensatora. W przypadku źródeł należy korzystać ze wzoru (3.12) na moc zespoloną pozorną S.

W obwodzie elektrycznym, jak w każdym układzie fizycznym obowiązuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu mocy.

Bilans mocy

Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez źródło (lub wiele źródeł występujących w obwodzie) oznaczymy przez S_g a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzieloną w elementach odbiornika przez S_o, to biorąc pod uwagę prawo zachowania energii obie moce muszą być sobie równe, to znaczy S_g=S_o. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych.

W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, że zwroty prądów i napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach źródłowych takie same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na elementach obwodu, zakładającą, że niezależnie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są przeciwne sobie, to zasadę bilansu mocy można sformułować w ten sposób, że suma mocy pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, S_g+S_o=0.

Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć mocy oraz zasady bilansowania się mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.2.

Rozpatrzmy kondensator o pojemności C zasilany ze źródła napięciowego u(t). Obliczymy energię dostarczoną do tego kondensatora w czasie od t₀ do t. Energia ta może być obliczona jako całka z mocy chwilowej

Uwzględniając wzór na moc chwilową i dokonując odpowiednich operacji całkowania otrzymujemy

Załóżmy, że czas t₀ jest taką chwilą, w której prąd cewki i(t) jest zerowy. W takim razie wzór na energię upraszcza się do postaci

Zasadniczą cechą cewki idealnej jest jej bezstratność, co oznacza, że energia dostarczona do niej pozostaje w niej zmagazynowana. Zatem cewka, przez która przepływa prąd stały I posiada energię równą

W odróżnieniu od kondensatora, w którym energia związana była z napięciem między okładkami (ładunkiem) energia cewki jest uzależniona od prądu (strumienia magnetycznego). Stąd przyjmuje się, że kondensator magazynuje energię w polu elektrycznym a cewka w polu magnetycznym.
 

Rzeczywiste źródło energii elektrycznej można przedstawić w postaci szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia E oraz impedancji wewnętrznej źródła Z_g jak to przedstawiono na rys. 3.4

Rys. 3.4. Model rzeczywistego źródła napięciowego generatora

Rozważmy elementarny obwód złożony z rzeczywistego źródła napięcia oraz impedancji odbiornika Z jak to przedstawiono na rys. 3.5.

Rys. 3.5. Rzeczywiste źródło napięcia obciążone impedancją Z

Przyjmijmy ogólny model impedancji wewnętrznej źródła w postaci (znak plus przy reaktancji oznacza indukcyjność, a znak minus pojemność)
 

Podobnie założymy, że impedancję odbiornika stanowi połączenie szeregowe rezystancji R oraz reaktancji ±X, to jest

Dopasowanie odbiornika do generatora rozumiemy jako dobór takiej impedancji odbiornika, przy której odbiornik pobierze ze źródła maksymalną moc czynną. Z analizy obwodu przedstawionego na rys. 3.5 wynika, że moc czynna P odbiornika jest określona zależnością

Przy ustalonej wartości rezystancji odbiornika wyrażenie powyższe osiąga maksimum dla 

Znak minus oznacza, że reaktancja odbiornika powinna mieć charakter odwrotny do reaktancji generatora. Przy indukcyjnym charakterze impedancji źródła, odbiornik powinien mieć charakter pojemnościowy a przy charakterze pojemnościowym generatora odbiornik powinien mieć charakter indukcyjny.
Po uwzględnieniu tej zależności wyrażenie na moc przyjmie uproszczoną postać

Wydzielenie maksymalnej mocy czynnej na rezystorze wymaga, aby pochodna funkcji mocy względem rezystancji R równała się zeru, czyli 

czyli

Równane powyższe jest spełnione dla wartości rezystancji obciążenia równej rezystancji źródła, czyli

Można łatwo sprawdzić, że przy takim warunku druga pochodna funkcji mocy względem rezystancji jest ujemna, co oznacza, że mamy do czynienia z maksimum mocy. Ostatecznie stwierdzamy, że warunkiem dopasowania odbiornika do generatora ze względu na moc czynną jest taki dobór odbiornika, aby jego impedancja była sprzężona do impedancji generatora, to znaczy $Z=Z_g^\ast$. Łatwo jest pokazać, że przy spełnieniu powyższego warunku na impedancji odbiornika wydzieli się maksymalna moc czynna $P_{max}$ równa

Biorąc pod uwagę, że w obwodzie istnieją dwie identyczne rezystancje (odbiornika i generatora), przez które przepływa identyczny prąd moc maksymalna odbiornika stanowi 50% całkowitej mocy wydzielanej przez źródło idealne.

Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym tylko w najprostszym przypadku połączenia szeregowego lub równoległego elementów jest zagadnieniem prostym, nie wymagającym rozwiązywania układu równań. W obwodach zawierających małą liczbę elementów wystarczy zwykle zastosowanie równań Kirchhoffa, które w połączeniu z równaniami symbolicznymi opisującymi elementy tworzą układ równań algebraicznych o małej liczbie zmiennych. Jego rozwiązanie jest stosunkowo łatwe, a w jego wyniku otrzymuje się wszystkie prądy i napięcia w obwodzie. W przypadku obwodów złożonych zawierających bardzo dużą liczbę elementów takie podejście (aczkolwiek możliwe) jest mało efektywne, gdyż wymaga rozwiązania ogromnego układu równań o współczynnikach zespolonych. Liczba tych równań jest równa liczbie elementów obwodu .

Wykład czwarty poświęcony będzie zaawansowanym metodom analizy złożonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniach sinusoidalnych. Podstawowym założeniem przy wymuszeniu sinusoidalnym jest przyjęcie opisu symbolicznego elementów obwodu, zgodnie z którym cewka opisana jest impedancją zespoloną $Z_L=j\omega L$ a kondensator impedancją $Z_C=-j\frac{1}{\omega C}$. Źródło sinusoidalne zastępuje się jego wartością skuteczną zespoloną, określaną według zasad podanych w wykładzie drugim.

Znanych jest wiele metod umożliwiających analizę dowolnie złożonych obwodów elektrycznych, spośród których omówimy metodę klasyczną opartą na prawach Kirchhoffa, zastosowaniu twierdzenia Thevenina i Nortona oraz metodę węzłową i oczkową. W przypadku wielu wymuszeń o różnych częstotliwościach niezbędne jest zastosowanie tak zwanej zasady superpozycji obowiązującej dla obwodów liniowych, wprowadzonej w końcowej fazie wykładu.
 

Jednym z ważniejszych twierdzeń w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala ono zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem szeregowym jednej impedancji zastępczej oraz źródła napięciowego. Oznacza to uproszczenie obwodu do jednego oczka, co umożliwia w bardzo prosty sposób wyznaczenie prądu lub napięcia jednej wybranej gałęzi obwodu.

Rys. 4.1 przedstawia sposób transformacji obwodu widzianego z zacisków AB zgodnie z twierdzeniem Thevenina 

Rys. 4.1 Ilustracja transformacjo obwodowej  twierdzenia Thevenina

Korzystając z twierdzenia Thevenina można w prosty sposób wyznaczyć prąd w dowolnej gałęzi obwodu. Rozważmy obwód liniowy z rys. 4.2 z wyszczególnioną gałęzią AB w której poszukiwany jest prąd I. Prawa strona rysunku przedstawia otrzymany obwód po jego transformacji zgodnie z twierdzeniem Thevenina. Obwód składa się z jednego oczka którego prąd jest poszukiwanym prądem I. 
 

Rys. 4.2. Transformacja obwodu zgodnie z twierdzeniem Thevenina

Źródło $U_{AB}$ występujące na rysunku reprezentuje źródło zastępcze obwodu liniowego, określone jako napięcie na zaciskach AB po odłączeniu impedancji Z. Impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu liniowego po odłączeniu impedancji Z i wyeliminowaniu wszystkich  źródeł niezależnych (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych). Poszukiwana wartość prądu płynącego przez impedancję Z może być określona  przy wykorzystaniu  prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu uproszczonego. Jego zastosowanie pozwala wyrazić prąd I w następującej postaci
 

Zastosowanie twierdzenia Thevenina w większości przypadków znakomicie upraszcza analizę obwodu. Jest szczególnie użyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczyć tylko jeden prąd w obwodzie, gdyż można dokonać tego bez konieczności rozwiązywania układu równań algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równań.

Twierdzenie Nortona pozwala zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem równoległym jednej impedancji zastępczej oraz idealnego źródła prądowego.

Rys. 4.6 przedstawia schemat transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona.

Rys. 4.6 Uproszczenie obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona

Twierdzenie Nortona, podobnie jak Thevenina pozwala obliczyć w prosty sposób prąd lub napięcie jednej wybranej gałęzi obwodu. Rozważmy obwód liniowy z rys. 4.7 z wyszczególnioną gałęzią AB w której poszukiwany jest prąd I. Po prawej stronie rysunku przedstawiono obwód po jego transformacji zgodnie z twierdzeniem Nortona. 

Rys. 4.7. Schemat transformacji obwodu według twierdzenia Nortona

 Prąd I oraz napięcie U występujące w gałęzi AB obwodu oryginalnego są równe odpowiednio prądowi I oraz napięciu U w tej samej gałęzi obwodu uproszczonego z prawej strony rysunku. Źródło prądowe $I_z$ reprezentuje źródło zastępcze równe prądowi zwarciowemu na zaciskach AB, natomiast impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu liniowego po wyłączeniu impedancji Z. Poszukiwane napięcie na impedancji Z oblicza się z prawa prądowego Kirchhoffa, $I_z-U\left(\frac{1}{Z}+\frac{1}{Z_{AB}}\right)=0$, które pozwala wyrazić napięcie U gałęzi w postaci

Znajomość napięcia U pozwala wyznaczyć na podstawie prawa Ohma prąd gałęzi korzystając z zależności $I=U/Z$. Podobnie jak metoda Thevenina, zastosowanie twierdzenia Nortona umożliwia obliczenie prądu i napięcia tylko jednej wyszczególnionej gałęzi obwodu. Zwykle z punktu widzenia obliczeniowego wygodniejsze jest użycie metody Thevenina.

Twierdzenia Thevenina i Nortona pozwalają wyznaczyć uproszczone schematy zastępcze tego samego układu elektrycznego z punktów AB obwodu oryginalnego. Oba schematy uproszczone stanowią więc obwody zastępcze równoważne sobie, co oznacza, że prąd i napięcie w gałęzi AB, która nie uległa zmianie w wyniku transformacji w obu obwodach są takie same. Oznacza to, że gałąź szeregowa zawierająca idealne źródło napięcia E i impedancję Z może być bez zmiany prądu w obwodzie zewnętrznym zastąpiona gałęzią równoległą zawierającą idealne źródło prądowe I oraz impedancję Z, jak to zilustrowano na rys. 4.8. 

Rys. 4.8. Równoważność obwodów zastępczych Thevenina i Nortona

Dla uzyskania jednakowych wartości napięcia U wzajemne relacje między wartościami źródła prądu i napięcia określa wzór
 

przy zamianie gałęzi szeregowej na równoległą oraz

przy zamianie gałęzi równoległej na szeregową. Impedancja Z w obu obwodach zastępczych pozostaje taka sama.

Metoda potencjałów węzłowych, zwana również metodą węzłową, jest jedną z najogólniejszych i najczęściej stosowanych metod, pozwalających wyznaczyć prądy wszystkich gałęzi występujących w obwodzie. Jako zmienne przyjmuje się w niej potencjały poszczególnych węzłów obwodu określane względem jednego arbitralnie wybranego węzła uznanego za węzeł odniesienia („masy”), którego potencjał przyjmuje się za równy zeru. Liczba równań w tej metodzie jest równa liczbie węzłów niezależnych a więc znacznie mniejsza niż w metodzie wykorzystującej bezpośrednio układ równań otrzymanych w wyniku zastosowania praw Kirchhoffa.

Metoda węzłowa wynika bezpośrednio z równań prądowych Kirchhoffa napisanych dla wszystkich węzłów niezależnych w obwodzie. Prąd każdej gałęzi obwodu jest wyrażany za pośrednictwem potencjałów węzłowych, czyli napięć węzłów mierzonych względem węzła odniesienia. Zostało wykazane, że każdy obwód liniowy RLC może być opisany równaniem macierzowym potencjałów węzłowych o postaci 
 

Rozwiązanie tego równania może być zapisane przy użyciu inwersji macierzy Y w postaci

Przy założeniu, że obwód ma N węzłów niezależnych macierz Y jest macierzą o wymiarach N\times N. Wektor V jest zbiorem niezależnych potencjałów węzłowych o wymiarze N a \mathbit{I}_{zr} jest wektorem prądów źródłowych stanowiących wymuszenie. Macierz węzłowa Y określona jest w postaci

a wektory V oraz \mathbit I_zr dane są jak następuje

Elementy $Y_{ii}$ położone na głównej diagonalnej macierzy Y nazywane są admitancjami własnymi węzła i-tego. W przypadku obwodów RLC bez źródeł sterowanych admitancja własna węzła i-tego jest równa sumie admitancji wszystkich gałęzi włączonych w i-tym węźle. Elementy $Y_{ij}$ położone poza główną diagonalną są admitancjami wzajemnymi między węzłem i-tym oraz j-tym. Admitancja wzajemna dwu węzłów jest równa admitancji łączącej te węzły wziętej ze znakiem minus. Admitancja wzajemna węzła i-tego oraz j-tego jest taka sama jak węzła j-tego oraz i-tego, tzn. $Y_{ij}=Y_{ji}$. Macierz admitancyjna Y dla obwodów RLC bez źródeł sterowanych jest więc macierzą symetryczną.

Elementy wektora wymuszeń prądowych ${I}_{zr}$ są równe sumie wszystkich prądów źródłowych wpływających do danego węzła, przy czym prąd źródłowy dopływający do węzła bierze się ze znakiem plus a prąd odpływający od węzła ze znakiem minus.

Podsumowując, analiza obwodów w stanie ustalonym metoda węzłową wymaga wykonania następujących etapów:

•     Opis obwodu równaniem macierzowym potencjałów węzłowych (zmienne poszukiwane: wektor potencjałów $V$)
•     Rozwiązanie układu równań ${YV}={I}_{zr}$
•     Określenie prądów gałęziowych z prawa napięciowego Kirchhoffa przy znanych potencjałach węzłowych: prąd gałęziowy jest równy iloczynowi admitancji elementu i napięcia na nim wyrażonego poprzez znane potencjały węzłowe.
• Należy podkreślić, że metoda potencjałów węzłowych dopuszcza istnienie w obwodzie jedynie źródeł wymuszających typu prądowego. Jeśli w obwodzie występują również źródła napięciowe należy je przekształcić w odpowiednie źródła prądowe wykorzystując do tego celu równoważność Thevenina – Nortona (patrz rys. 4.8). 

Sposób formułowania równań węzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu przedstawionego na rys. 4.9.

Należy podkreślić, że metoda potencjałów węzłowych wymaga rozwiązania układu N równań, gdzie N oznacza liczbę węzłów niezależnych. Zwykle liczba węzłów jest dużo mniejsza niż liczba gałęzi obwodu, stąd metoda potencjałów węzłowych jest znacznie prostsza niż metoda klasyczna wykorzystująca bezpośrednio prawa Kirchhoffa dla całego obwodu.

Reguły tworzenia opisu węzłowego przedstawione powyżej zakładały istnienie jedynie elementów pasywnych RLC oraz źródeł wymuszających typu prądowego. Przy takim założeniu są one bardzo proste i łatwe w stosowaniu. W przypadku wystąpienia źródeł sterowanych w obwodzie trudno jest podać jednoznaczną formułę ogólną pozwalającą określić bezpośrednio zarówno macierz admitancyjną jak i wektor wymuszeń prądowych. Tworząc opis admitancyjny w takim przypadku można w pierwszym kroku zaliczyć źródła sterowane do źródeł wymuszających i tworzyć opis admitancyjny identycznie jak dla obwodu pasywnego. W drugim kroku wszystkie źródła sterowane należy wyrazić poprzez potencjały węzłowe przerzucając elementy wymuszeń uzależnione od tych potencjałów na lewą stronę równań (do macierzy węzłowej). Macierz admitancyjna Y wynika z uporządkowania powstałego macierzowego układu równań. W efekcie powstaje standardowy opis admitancyjny obwodu, który nie musi już teraz spełniać warunku symetrii macierzy Y.

Należy zwrócić uwagę na uproszczenia wynikające z istnienia w obwodzie idealnego źródła napięcia. Źródło takie ustala potencjał określonego węzła (gdy jest włączone względem węzła odniesienia) lub uzależnia potencjał jednego węzła względem drugiego (gdy jest włączone między dwoma węzłami niezależnymi). W obu przypadkach prowadzi to do redukcji liczby równań opisujących obwód.

W metodzie prądów oczkowych, zwanej również metodą oczkową, wprowadza się prądy oczkowe jako zmienne, czyli prądy przypisane niezależnym oczkom występującym w obwodzie. Przykładowy wybór oczek niezależnych i oznaczenie prądów oczkowych obwodu przedstawiono na rys. 4.10 (należy zaznaczyć, że jest to jeden z możliwych wyborów oczek). 

Rys. 4.10. Przykład wyboru oczek niezależnych w obwodzie

Oznaczmy w ogólności wektor prądów oczkowych w postaci 
 

w której $I_{ok}$ oznacza prąd oczkowy k-tego oczka. Dla uzyskania opisu oczkowego wykorzystuje się prawo napięciowe Kirchhoffa napisane dla wszystkich oczek niezależnych obwodu. Następnie wyraża się wszystkie prądy gałęziowe poprzez prądy oczkowe (prąd gałęziowy jest równy sumie lub różnicy prądów oczkowych przeprowadzonych przez daną gałąź) i otrzymuje opis obwodu w postaci macierzowego układu równań oczkowych 

gdzie macierz oczkowa Z oraz wektor napięć wymuszających E przyjmują postać

Elementy Z_{ii} położone na głównej diagonalnej macierzy Z nazywamy impedancjami własnymi oczka i-tego. Przy założeniu, że wszystkie prądy oczkowe mają identyczny zwrot, dla obwodów RLC bez źródeł sterowanych impedancja własna oczka i-tego jest równa sumie impedancji wszystkich gałęzi występujących w oczku. Elementy $Z_{ij}$ położone poza główną diagonalną są impedancjami wzajemnymi między oczkiem i-tym oraz j-tym. Impedancja wzajemna dwu oczek przy identycznym zwrocie wszystkich prądów oczkowych jest równa impedancji wspólnej dla obu oczek wziętej ze znakiem minus. Impedancja wzajemna oczka i-tego oraz j-tego jest taka sama jak oczka j-tego oraz i-tego, tzn. $Z_{ij}=Z_{ji}$.

Macierz Z jest więc macierzą symetryczną.

Element k-ty wektora wymuszeń napięciowych E jest równy sumie wszystkich napięć źródłowych występujących w k-tym oczku. Przy założonej orientacji oczka napięcie źródłowe dodaje się ze znakiem plus jeśli jego zwrot jest identyczny z tą orientacją a ze znakiem minus jeśli ten zwrot jest przeciwny. Sposób tworzenia opisu oczkowego zilustrujemy na przykładzie obwodu z rys. 4.11.

Przy wystąpieniu źródeł sterowanych, podobnie jak w opisie węzłowym,  nie istnieje bezpośrednia formuła  pozwalająca na automatyczny opis macierzowy obwodu. W takim przypadku tworząc opis macierzą oczkową należy w pierwszym kroku zaliczyć źródła sterowane do źródeł wymuszających i stworzyć opis oczkowy identycznie jak dla obwodu pasywnego. W drugim kroku wszystkie źródła sterowane należy wyrazić poprzez prądy oczkowe przerzucając elementy wymuszeń uzależnione od tych prądów na lewą stronę równań (do macierzy oczkowej). Macierz impedancyjna Z wynika z uporządkowania powstałego macierzowego układu równań.