2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.2. Metoda symboliczna analizy obwodów RLC przy zastosowaniu liczb zespolonych

Analiza obwodów zawierających elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudności związane z wystąpieniem w opisie cewki i kondensatora równań różniczkowych. Trudności te łatwo jest pokonać w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda liczb zespolonych, zwana również metodą symboliczną, sprowadzająca wszystkie operacje różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na liczbach zespolonych.

Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, że rozważany jest obwód szeregowy RLC (rys. 2.2) zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego  \(u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi)\).

 

Rys. 2.2. Połączenie szeregowe elementów RLC

 

Z prawa napięciowego Kirchhoffa wynika następujący związek między napięciami elementów tego obwodu

\(u(t)=u_R+u_L+u_C\) (2.5)

 

Biorąc pod uwagę podstawowe zależności definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora

\(u_R=Ri\)

\( u_C=1/C\int i d t\)

\( u_L=L\frac{di}{dt} \)

otrzymuje się

\(U_msin{(}\omega t+\psi)=Ri+\frac{1}{C}\int i d t+L\frac{di}{dt}\) (2.6)

 

Jest to równanie różniczkowo-całkowe opisujące zależności między wartościami chwilowymi prądu i napięcia wymuszającego w obwodzie. Pełne rozwiązanie tego równania sprowadza się do wyznaczenia dwu składowych prądu, stanowiących odpowiedź obwodu w stanie ustalonym i stanie przejściowym:

  1. składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszającego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości); jest to stan który zostanie osiągnięty przez obwód po czasie teoretycznie nieskończenie długim.
  2. składowej przejściowej odpowiadającej różnicy między rozwiązaniem rzeczywistym równania różniczkowego a składową ustaloną.

W praktyce składowa przejściowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zaniknięciu składowej przejściowej nazywamy stanem ustalonym obwodu.

Składową ustaloną odpowiedzi obwodu można otrzymać nie rozwiązując równania różniczkowego opisującego ten obwód a korzystając jedynie z metody liczb zespolonych (metody symbolicznej). Istotnym elementem tej metody jest zastąpienie przebiegów czasowych ich reprezentacją zespoloną. Przyjmijmy, że prąd \(i(t)=I_msin{(}\omega t+\Psi_i)\)i \(u(t)=U_msin{(}\omega t+\Psi_u)\)napięcie  zastąpione zostały przez wektory wirujące w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) określone w postaci

\((t)=U_me^{j{\psi_u}}e^{j\omega t}\) (2.7)
\(I(t)=I_me^{j\psi_i}e^{j\omega t}\) (2.8)

 

Po zastąpieniu wartości czasowych prądu i napięcia w równaniu (2.6) poprzez ich reprezentację w postaci wektorów wirujących otrzymuje się

\(U(t)=RI(t)+L\frac{dI(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int{I(t)dt}\) (2.9)

 

Po wykonaniu operacji różniczkowania i całkowania  oraz pominięciu czynnika \(e^{j\omega t}\)  występującego we wszystkich składnikach wzoru równanie powyższe przyjmuje postać

\(\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}=R\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}+j\omega L\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}+\frac{1}{j\omega C}\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}\) (2.10)

 

Oznaczmy przez \(U=\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}\)wartość skuteczną zespoloną napięcia, a przez \(I=\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}\) wartość skuteczną zespoloną prądu. Wtedy równanie (2.10) można zapisać w postaci obowiązującej dla wartości skutecznych zespolonych

\(U=RI+j\omega LI+\frac{1}{j\omega C}I\) (2.11)

Składnik

\(U_R=RI\) (2.12)

 

odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielkość

\(U_L=j\omega LI\) (2.13)

 

reprezentuje wartość skuteczną zespoloną napięcia na cewce, a składnik

\(U_C=\frac{1}{j\omega C}I\) (2.14)

 

odpowiada wartości skutecznej zespolonej napięcia na kondensatorze. Wszystkie napięcia i prąd w obwodzie są wartościami zespolonymi.

Analizując postać równania (2.11) można zauważyć prostą analogię do równania opisującego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w postaci pojęcia impedancji zespolonej wiążącej wartości skuteczne prądu i napięcia na elementach R, L, C w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równań na podstawie prawa Ohma można napisać następujące przyporządkowania:

  • Dla rezystora
\(Z_R=R\) (2.15)

 

impedancja ZR jest równa rezystancji tego rezystora.

  • Dla cewki
\(Z_L=j\omega L\) (2.16)

 

impedancja ZL jest liczbą zespoloną (urojoną) zależną liniowo od częstotliwości.

  • Dla kondensatora

                                             

\(Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}\) (2.17)

 

impedancja ZC jest także zespolona i odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości.

Wartość \(X_L=\omega L\)  nosi nazwę reaktancji indukcyjnej a wartość \(X_C=\frac{1}{\omega C}\)  reaktancji pojemnościowej. W związku z powyższym można napisać \(Z_L=jX_L\), \(Z_C=-jX_C\) .

Wprowadzając oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie \(Z=Z_R+Z_L+Z_C\)  zależność prądowo-napięciową w obwodzie szeregowym RLC można zapisać w postaci, znanej jako prawo Ohma dla wartości symbolicznych

\(U=ZI\) (2.18)

 

lub

\(I=\frac{U}{Z}=\left|I\right|e^{j\psi_i}\) (2.19)

 

gdzie moduł prądu

\(\left|I\right|=\frac{\left|U\right|}{\left|Z\right|}=\frac{\left|U\right|}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}}\) (2.20)

 

natomiast kąt fazowy prądu

\(\psi_i=\psi_u-\mathrm{arctg}\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}\) (2.21a)

 

Faza początkowa wektora napięcia wymuszającego jest tu oznaczona przez \(\psi_u\) , a faza początkowa wektora prądu – przez \(\psi_i\) . Różnica faz nazywana jest przesunięciem fazowym prądu względem napięcia i oznaczana literą \(\phi\) , przy czym

\(\phi=\psi_u-\psi_i=arctg{\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}}\) (2.21b)

 

Kąt przesunięcia fazowego \(\phi\)  odgrywa ogromną rolę w elektrotechnice, zwłaszcza w zagadnieniach mocy. Kąt przesunięcia fazowego jest uważany za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym.

Zauważmy, że wartościom skutecznym zespolonym prądu oraz napięcia można przyporządkować funkcję czasu. Biorąc pod uwagę, że przejście z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) odbywa się według schematu

\(u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi_u)\rightarrow\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}\) (2.22)

 

powrót z wartości zespolonej do postaci czasowej polega na pomnożeniu modułu wartości skutecznej przez \(\sqrt2\) i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji \(sin{(}\omega t+\psi_u)\). Stąd przykładowo, jeśli wynik zespolony prądu dany jest w postaci \(=10e^{j5{0^\circ}}\) , to odpowiadający mu przebieg czasowy ma postać \(i(t)=10\sqrt2sin{(}\omega t+50^\circ)\). Istnieje również ścisła analogia między konduktancją (odwrotność rezystancji) a odwrotnością impedancji.

Analogicznie do pojęcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza się pojęcie admitancji zespolonej dla obwodu RLC. Admitancja jest definiowana jako odwrotność impedancji. Oznaczana jest najczęściej literą Y, przy czym

Y = 1/Z (2.23)

 

Admitancja kondensatora jest równa \(Y_C=j\omega C\) , cewki \(Y_L=\frac{1}{j\omega L}=-j\frac{1}{\omega L}\) , natomiast admitancja rezystora jest równa jego konduktancji YR=G=1/R. Podobnie odwrotność reaktancji X nosi specjalną nazwę susceptancji. Wartość susceptancji dla kondensatora jest równa \(B_C=\omega C\), natomiast dla cewki \(B_L=1/\omega L\) .