Podręcznik: Metoda symboliczna analizy obwodów RLC przy zastosowaniu liczb zespolonych

2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.2. Metoda symboliczna analizy obwodów RLC przy zastosowaniu liczb zespolonych

Analiza obwodów zawierających elementy RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym napotyka na pewne trudności związane z wystąpieniem w opisie cewki i kondensatora równań różniczkowych. Trudności te łatwo jest pokonać w stanie ustalonym. Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią na wymuszenie sinusoidalne jest odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości choć o różnej amplitudzie i fazie początkowej. Dla stanu ustalonego obwodu wprowadzona zostanie metoda liczb zespolonych, zwana również metodą symboliczną, sprowadzająca wszystkie operacje różniczkowe i całkowe do działań algebraicznych na liczbach zespolonych.

Dla wprowadzenia tej metody przyjmijmy, że rozważany jest obwód szeregowy RLC (rys. 2.2) zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego $u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi)$ .

Rys. 2.2. Połączenie szeregowe elementów RLC

Z prawa napięciowego Kirchhoffa wynika następujący związek między napięciami elementów tego obwodu

$u(t)=u_R+u_L+u_C$

(2.5)

Biorąc pod uwagę podstawowe zależności definicyjne dla rezystora, cewki i kondensatora

$u_R=Ri$

$u_C=1/C\int i d t$

$u_L=L\frac{di}{dt}$

otrzymuje się

$U_msin{(}\omega t+\psi)=Ri+\frac{1}{C}\int i d t+L\frac{di}{dt}$

(2.6)

Jest to równanie różniczkowo-całkowe opisujące zależności między wartościami chwilowymi prądu i napięcia wymuszającego w obwodzie. Pełne rozwiązanie tego równania sprowadza się do wyznaczenia dwu składowych prądu, stanowiących odpowiedź obwodu w stanie ustalonym i stanie przejściowym:

składowej ustalonej, której charakter zmian w czasie jest taki sam jak sygnału wymuszającego (przy sinusoidalnym wymuszeniu odpowiedź również sinusoidalna o tej samej częstotliwości); jest to stan który zostanie osiągnięty przez obwód po czasie teoretycznie nieskończenie długim.
składowej przejściowej odpowiadającej różnicy między rozwiązaniem rzeczywistym równania różniczkowego a składową ustaloną.

W praktyce składowa przejściowa zanika zwykle szybko w czasie i pozostaje jedynie składowa ustalona. Stan po zaniknięciu składowej przejściowej nazywamy stanem ustalonym obwodu.

Składową ustaloną odpowiedzi obwodu można otrzymać nie rozwiązując równania różniczkowego opisującego ten obwód a korzystając jedynie z metody liczb zespolonych (metody symbolicznej). Istotnym elementem tej metody jest zastąpienie przebiegów czasowych ich reprezentacją zespoloną. Przyjmijmy, że prąd $i(t)=I_msin{(}\omega t+\Psi_i)$ i $u(t)=U_msin{(}\omega t+\Psi_u)$ napięcie zastąpione zostały przez wektory wirujące w czasie, odpowiednio I(t) oraz U(t) określone w postaci

$(t)=U_me^{j{\psi_u}}e^{j\omega t}$

(2.7)

$I(t)=I_me^{j\psi_i}e^{j\omega t}$

(2.8)

Po zastąpieniu wartości czasowych prądu i napięcia w równaniu (2.6) poprzez ich reprezentację w postaci wektorów wirujących otrzymuje się

$U(t)=RI(t)+L\frac{dI(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int{I(t)dt}$

(2.9)

Po wykonaniu operacji różniczkowania i całkowania oraz pominięciu czynnika $e^{j\omega t}$ występującego we wszystkich składnikach wzoru równanie powyższe przyjmuje postać

$\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}=R\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}+j\omega L\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}+\frac{1}{j\omega C}\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}$

(2.10)

Oznaczmy przez $U=\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}$ wartość skuteczną zespoloną napięcia, a przez $I=\frac{I_m}{\sqrt2}e^{j\psi_i}$ wartość skuteczną zespoloną prądu. Wtedy równanie (2.10) można zapisać w postaci obowiązującej dla wartości skutecznych zespolonych

$U=RI+j\omega LI+\frac{1}{j\omega C}I$

(2.11)

Składnik

$U_R=RI$

(2.12)

odpowiada napięciu skutecznemu zespolonemu na rezystorze. Wielkość

$U_L=j\omega LI$

(2.13)

reprezentuje wartość skuteczną zespoloną napięcia na cewce, a składnik

$U_C=\frac{1}{j\omega C}I$

(2.14)

odpowiada wartości skutecznej zespolonej napięcia na kondensatorze. Wszystkie napięcia i prąd w obwodzie są wartościami zespolonymi.

Analizując postać równania (2.11) można zauważyć prostą analogię do równania opisującego obwód rezystancyjny. W tym celu wprowadzimy uogólnienie rezystancji w postaci pojęcia impedancji zespolonej wiążącej wartości skuteczne prądu i napięcia na elementach R, L, C w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. Z ostatnich równań na podstawie prawa Ohma można napisać następujące przyporządkowania:

Dla rezystora

$Z_R=R$

(2.15)

impedancja ZR jest równa rezystancji tego rezystora.

Dla cewki

$Z_L=j\omega L$

(2.16)

impedancja ZL jest liczbą zespoloną (urojoną) zależną liniowo od częstotliwości.

Dla kondensatora

$Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$

(2.17)

impedancja ZC jest także zespolona i odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości.

Wartość $X_L=\omega L$ nosi nazwę reaktancji indukcyjnej a wartość $X_C=\frac{1}{\omega C}$ reaktancji pojemnościowej. W związku z powyższym można napisać $Z_L=jX_L$ , $Z_C=-jX_C$ .

Wprowadzając oznaczenie wypadkowej impedancji obwodu przez Z, gdzie $Z=Z_R+Z_L+Z_C$ zależność prądowo-napięciową w obwodzie szeregowym RLC można zapisać w postaci, znanej jako prawo Ohma dla wartości symbolicznych

$U=ZI$

(2.18)

lub

$I=\frac{U}{Z}=\left|I\right|e^{j\psi_i}$

(2.19)

gdzie moduł prądu

$\left|I\right|=\frac{\left|U\right|}{\left|Z\right|}=\frac{\left|U\right|}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}}$

(2.20)

natomiast kąt fazowy prądu

$\psi_i=\psi_u-\mathrm{arctg}\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}$

(2.21a)

Faza początkowa wektora napięcia wymuszającego jest tu oznaczona przez $\psi_u$ , a faza początkowa wektora prądu – przez $\psi_i$ . Różnica faz nazywana jest przesunięciem fazowym prądu względem napięcia i oznaczana literą $\phi$ , przy czym

$\phi=\psi_u-\psi_i=arctg{\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}}$

(2.21b)

Kąt przesunięcia fazowego $\phi$ odgrywa ogromną rolę w elektrotechnice, zwłaszcza w zagadnieniach mocy. Kąt przesunięcia fazowego jest uważany za dodatni dla obwodów o charakterze indukcyjnym a za ujemny dla obwodów o charakterze pojemnościowym.

Zauważmy, że wartościom skutecznym zespolonym prądu oraz napięcia można przyporządkować funkcję czasu. Biorąc pod uwagę, że przejście z przebiegu czasowego na opis zespolony (symboliczny) odbywa się według schematu

$u(t)=U_msin{(}\omega t+\psi_u)\rightarrow\frac{U_m}{\sqrt2}e^{j\psi_u}$

(2.22)

powrót z wartości zespolonej do postaci czasowej polega na pomnożeniu modułu wartości skutecznej przez $\sqrt2$ i uzupełnieniu wyniku przez dopisanie funkcji $sin{(}\omega t+\psi_u)$ . Stąd przykładowo, jeśli wynik zespolony prądu dany jest w postaci $=10e^{j5{0^\circ}}$ , to odpowiadający mu przebieg czasowy ma postać $i(t)=10\sqrt2sin{(}\omega t+50^\circ)$ . Istnieje również ścisła analogia między konduktancją (odwrotność rezystancji) a odwrotnością impedancji.

Analogicznie do pojęcia konduktancji w obwodzie rezystancyjnym wprowadza się pojęcie admitancji zespolonej dla obwodu RLC. Admitancja jest definiowana jako odwrotność impedancji. Oznaczana jest najczęściej literą Y, przy czym

Y = 1/Z

(2.23)

Admitancja kondensatora jest równa $Y_C=j\omega C$ , cewki $Y_L=\frac{1}{j\omega L}=-j\frac{1}{\omega L}$ , natomiast admitancja rezystora jest równa jego konduktancji Y_R=G=1/R. Podobnie odwrotność reaktancji X nosi specjalną nazwę susceptancji. Wartość susceptancji dla kondensatora jest równa $B_C=\omega C$ , natomiast dla cewki $B_L=1/\omega L$ .