Podręcznik: Rezonans szeregowy

2. Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

2.6. Rezonans szeregowy

W rezonansie szeregowym RLC zjawisko rezonansu wymaga, aby reaktancja wypadkowa obwodu była równa zeru (impedancja całkowita jest wówczas wartością rzeczywistą pomimo istnienia cewek i kondensatorów w obwodzie). W rezonansie równoległym warunek rezonansu wymaga, aby część urojona admitancji była równa zeru. Częstotliwość, przy której część urojona impedancji lub admitancji obwodu znika jest nazywana częstotliwością rezonansową.

Przyjmijmy do analizy obwód szeregowy R, L, C przedstawiony na rys. 2.6.

Rys. 2.6. Obwód rezonansowy szeregowy RLC

zasilany napięciem sinusoidalnie zmiennym o wartości skutecznej zespolonej U i pulsacji $\omega=2\pi f$ . Przy zastosowaniu metody symbolicznej w analizie tego obwodu można napisać następujące równanie napięciowe Kirchhoffa

$U=U_R+U_L+U_C=RI+jX_LI-jX_CI=I\left[R+j(X_L-X_C)\right]$

(2.29)

Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC, w którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. Osiągnie się to, jeśli część urojona powyższej zależności będzie równa zeru, czyli

$X_L=X_C$

Uwzględniając, że $X_L=\omega L$ oraz $X_C=1/\omega C$ z powyższego warunku otrzymuje się wzór określający pulsację rezonansową $\omega_r$ w postaci

$\omega_r=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

(2.30a)

Częstotliwość rezonansowa obwodu wynosi zatem

$f_r=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

(2.30b)

Równość reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej oznacza, że w stanie rezonansu napięcia na cewce i kondensatorze są równe co do modułu ale przeciwnie skierowane, czyli

$\left|U_L\right|=-\left|U_C\right|$

(2.31)

Zmiana częstotliwości zmienia oczywiście relację między napięciami na tych elementach reaktancyjnych (przeskalowanie wartości). Dla częstotliwości mniejszych niż rezonansowa napięcie na kondensatorze jest większe niż na cewce (przy mniejszej częstotliwości moduł impedancji kondensatora jest większy), a przy częstotliwościach większych niż rezonansowa napięcie na cewce większe niż na kondensatorze (moduł impedancji cewki rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości a moduł impedancji kondensatora maleje). Na rys. 2.7 przedstawiono wykresy wektorowe prądu i napięć w obwodzie szeregowym RLC dla częstotliwości mniejszych niż rezonansowa (rys. 2.7a), dla częstotliwości rezonansowej (rys. 2.7b) oraz dla częstotliwości większych niż rezonansowa (rys. 2.7c).


a)	b)	c)

Rys. 2.7. Wykresy wektorowe obwodu rezonansowego RLC: a) stan przed rezonansem,
b) stan rezonansu, c) stan po rezonansie

Z przesunięć kątowych między wektorami widoczne jest, że przed rezonansem obwód szeregowy RLC ma charakter pojemnościowy, w czasie rezonansu – rezystancyjny, a dla częstotliwości większych niż rezonansowa – indukcyjny.

Ważnym parametrem obwodu rezonansowego jest dobroć Q określana zwykle w punkcie rezonansowym (dla częstotliwości rezonansowej). W obwodzie szeregowym RLC dobrocią nazywamy stosunek wartości skutecznej napięcia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do wartości skutecznej napięcia na elemencie rezystancyjnym w czasie rezonansu. Stąd wartość dobroci może być wyrażona wzorem

$Q=\frac{\left|U_L\right|}{\left|U_R\right|}=\frac{\left|U_C\right|}{\left|U_R\right|}=\frac{\omega_rL}{R}=\frac{1}{\omega_rRC}$

(2.32)

Po uwzględnieniu wzoru na pulsację rezonansową, dobroć Q można wyrazić w jednoznacznej postaci uzależnionej wyłącznie od parametrów obwodu RLC

$Q=\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R}$

(2.33)

Wielkość występująca w liczniku nazywana jest rezystancją charakterystyczną r

$\rho=\sqrt{\frac{L}{C}}$

(2.34)

Rezystancja charakterystyczna obwodu rezonansowego szeregowego RLC jest uzależniona wyłącznie od wartości indukcyjności i pojemności.

Charakterystykami częstotliwościowymi obwodu rezonansowego nazywać będziemy zależność prądu i napięć od częstotliwości (pulsacji). Dla otrzymania charakterystyk częstotliwościowych z równania (2.29) wyznaczmy prąd I jako funkcję pulsacji

$I\left(\omega\right)=\frac{U}{R+j\omega L-j1/\omega C}$

(2.35)

Przepisując powyższą zależność zespoloną w postaci wykładniczej otrzymujemy wzór

$I\left(\omega\right)=\left|I(\omega)\right|e^{j\phi(\omega)}$

(2.36)

w którym $\left|I(\omega)\right|$ oznacza moduł prądu a $\phi(\omega)$ - fazę uzależnioną od częstotliwości napięcia zasilającego. Wielkości te opisane są następująco

$\left|I(\omega)\right|=\frac{\left|U\right|}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)^2}}$

(2.37)

$\left|I(\omega)\right|=\frac{\left|U\right|}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)^2}}$

(2.38)

Zależność modułu od częstotliwości (pulsacji) nazywamy charakterystyką amplitudową rezonansu a zależność fazy od częstotliwości (pulsacji) – charakterystyką fazową. Na rys2.8a przedstawiono charakterystykę modułu prądu a na rys. 2.8b – fazy prądu w funkcji pulsacji $\omega$ .

Rys. 2.8. Charakterystyki częstotliwościowe prądu w obwodzie rezonansowym:
a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa

Wartości elementów symulowanego obwodu były równe: L=1H, C=1F, R=1,8Ω . Dla punktu rezonansowego $\omega_r=1$ charakterystyka przyjmuje wartość maksymalną a faza wartość zerową.

Wraz ze zmianą prądu zmieniają się również napięcia na pozostałych elementach obwodu RLC. Dla wyznaczenia tych zależności można wykorzystać prawo Ohma, zgodnie z którym przy zastosowaniu podejścia symbolicznego otrzymuje się

dla indukcyjności

$U_L(\omega)=j\omega LI(\omega)$

(2.39)

dla pojemności

$U_C(\omega)=-j\frac{I(\omega)}{\omega C}$

(2.40)

Podstawiając do powyższych zależności wzór określający prąd można otrzymać wyrażenia na moduły i fazy napięcia na cewce i kondensatorze. Charakterystyki amplitudowe tych napięć są wyrażone w postaci

$\left|U_L(\omega)\right|=\frac{\left|U\right|\omega L}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)^2}}$

(2.41

$\left|U_C(\omega)\right|=\frac{\left|U\right|}{\omega C\sqrt{R^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)^2}}$

(2.42)

Na rys. 2.9 przedstawiono przykładowe charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze w obwodzie RLC o podanych wcześniej parametrach przy pulsacji rezonansowej równej jeden i dobroci obwodu Q=0,55 .

rys6_4

Rys. 2.9. Charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze

Jak widać dla częstotliwości rezonansowej obwodu napięcia na reaktancjach są sobie równe.

Charakterystyki fazowe napięć na cewce i kondensatorze, jak wynika ze wzorów (2.39) i (2.40) różnią się od charakterystyki fazowej prądu tylko o wartość π/2 i są przesunięte na osi pionowej bądź w dół bądź w górę. Łatwo pokazać, że są one określone następująco

charakterystyka fazowa napięcia cewki

$\phi_L(\omega)=\frac{\pi}{2}-arctg{\frac{\omega L-1/\omega C}{R}}$

(2.43)

charakterystyka fazowa napięcia kondensatora

$\phi_C(\omega)=-\frac{\pi}{2}-arctg{\frac{\omega L-1/\omega C}{R}}$

(2.44)

Kształt charakterystyk fazowych napięcia na cewce i kondensatorze jest identyczny z charakterystyką fazową prądu. Jedynym wyjątkiem jest przesunięcie tych charakterystyk w osi pionowej o wartość kąta równą $\pm90^o$ .

Ogromny wpływ na charakterystyki częstotliwościowe zarówno amplitudową jak i fazową wywiera dobroć obwodu. Im wyższa jest dobroć tym charakterystyka prądu w funkcji częstotliwości jest bardziej stroma. Zmniejszenie dobroci powoduje spłaszczenie charakterystyki prądu (gorsza selektywność obwodu rezonansowego).

rys6_5

Rys. 2.10. Ilustracja wpływu dobroci na charakterystykę amplitudową prądu

Rys. 2.10 przedstawia wpływ dobroci na charakterystykę amplitudową prądu przy stałej wartości amplitudy napięcia zasilającego i zmiennej rezystancji, regulującej dobroć obwodu. Im większa dobroć tym charakterystyka amplitudowa jest bardziej stroma.

Na rys. 2.11 zilustrowano wpływ dobroci na charakterystyki amplitudowe napięcia cewki i kondensatora dla tych samych wartości częstotliwości rezonansowej i dobroci jak na rys. 2.10.

rys6_6

Rys. 2.11. Charakterystyki amplitudowe napięcia na cewce i kondensatorze

Zaobserwować można pojawienie się maksimum w charakterystyce zarówno napięcia cewki jak i kondensatora. Łatwo można udowodnić, że punkt maksymalny obu charakterystyk pojawia się jedynie przy dobroci obwodu większej niż $\frac{1}{\sqrt2}$ . Dobroć $Q=\frac{1}{\sqrt2}$ odpowiada najbardziej płaskiemu kształtowi charakterystyk amplitudowych.

Załączony program „Rezonans napięć w obwodzie szeregowym RLC” pozwala obserwować zmiany wartości prądu i napięć na elementach RLC w obwodzie szeregowym zasilanych ze źródła napięciowego E. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno źródła napięciowego jak i parametrów poszczególnych elementów obwodu . Program automatycznie tworzy wykresy prądu i napięć na elementach dla podanych wartości elementów. Jednocześnie pokazuje aktualną wartość dobroci i częstotliwości rezonansowej odpowiadających zadanym wartościom parametrów.