3. Moce w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

3.5. Bilans mocy

W obwodzie elektrycznym, jak w każdym układzie fizycznym obowiązuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu mocy.

Bilans mocy

Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez źródło (lub wiele źródeł występujących w obwodzie) oznaczymy przez Sg a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzieloną w elementach odbiornika przez So, to biorąc pod uwagę prawo zachowania energii obie moce muszą być sobie równe, to znaczy Sg=So. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych.

W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, że zwroty prądów i napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach źródłowych takie same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na elementach obwodu, zakładającą, że niezależnie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są przeciwne sobie, to zasadę bilansu mocy można sformułować w ten sposób, że suma mocy pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, Sg+So=0.

Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć mocy oraz zasady bilansowania się mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.2.

 

Niech dany będzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na rys. 3.2 zasilany z sinusoidalnego źródła napięcia \((t)=100\sqrt2sin{(}\omega t+45^\circ)\)  V przy \(\omega=1\frac{rad}{s}\) . Wartości elementów obwodu są następujące: R=1Ω , C=0,5F , L=1H .



Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.2. Schemat obwodu do przykładu 3.1

 

Należy wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów i napięć elementów oraz moce w obwodzie.

Rozwiązanie

Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w obwodzie przy danych wartościach elementów są równe:\(Z_L=j\omega L=j1\), \(Z_C=-j1/\omega C=-j2\) , \(E=100e^{j45^o}\). Impedancja zastępcza połączenia równoległego L i R równa się \(Z_{RL}=\frac{RZ_L}{R+Z_L}=0.707e^{j45^o}\) . Impedancja zastępcza połączenia szeregowego C i \(Z_{RL}\)  jest równa \(Z=Z_C+Z_{RL}=0,5+j0,5-j2=1,58e^{-j71,6^o}\).

Zgodnie z prawem Ohma prąd I w obwodzie jest równy

\(I_C=\frac{E}{Z}=\frac{100e^{j45^o}}{1,58e^{-j71,6^o}}=63,3e^{j116,6^o}\)

Napięcia na poszczególnych elementach obwodu dane są w postaci

\(U_C=Z_CI_C=126,6e^{j26,6^o}\)

\(U_{RL}=Z_{RL}I_C=44,72e^{j161,6^o}\)

Prądy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma równają się


\(I_L=\frac{U_{RL}}{Z_L}=44,72e^{j71,6^o}\)
\(I_R=\frac{U_{RL}}{R}=44,72e^{j161.6^o}\)
 

Na rys. 3.3 przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.3. Wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie z rys. 3.2

Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równają się:

  • Moc pozorna zespolona wydawana przez źródło

\(S=E\cdot{I_C}^\ast=(2000-j6000)V\cdot A\)

  • Moc czynna rezystora

\(P_R=\left|I_R\right|^2R=2000W\)

  • Moc bierna cewki i kondensatora

\(Q_L=Im{(}U_{RL}\cdot I_L^\ast)=2000var\)
\(Q_C=Im{(}U_C\cdot I_C^\ast)=-8000var\)

Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa się

\(Q=Q_L+Q_C=-6000var\)

Moc wydzielona na rezystorze oraz cewce i kondensatorze równa się dokładnie mocy dostarczonej przez źródło. Bilans mocy generowanej przez źródło i mocy wydzielonej w odbiorniku jest zatem równy zeru.

 

Załączony program   „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód 1”  pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C obwodu zasilanych ze źródła napięciowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej Esk, pulsacji ω i fazie początkowej φ. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno parametrów źródła napięciowego jak i wartości poszczególnych elementów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięcia zasilającego oraz prądów i napięć poszczególnych elementów jak również mocy chwilowej. Warto zwrócić uwagę na fazy prądu cewki i kondensatora. Przy identycznym napięciu panującym na połączeniu równoległym tych elementów fazy tych prądów różnią się o 180o. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie: XL=XC (rezonans równoległy i brak przepływu prądu w rezystorze, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), XL=2XC oraz XC=2XL. W ostatnich 2 przypadkach obwód zmienia swój charakter na pojemnościowy (przypadek XL=2XC) lub indukcyjny (przypadek XC=2XL). Zmiana charakteru jest uwidoczniona w postaci zmiany znaku mocy biernej wydawanej przez źródło SE.

 

Załączony program   „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód 2” przedstawia przypadek zasilania równoległego połączenia elementów R, L i C ze źródła prądowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej Isk, pulsacji ω i fazie początkowej φ. Pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C. Użytkownik może zmieniać wartości wszystkich parametrów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięc oraz prądów poszczególnych elementów. Warto zwrócić uwagę na fazy prądu cewki i kondensatora. Przy identycznym napięciu panującym na połączeniu równoległym tych elementów fazy tych prądów różnią się o 180o. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie: XL=XC (rezonans równoległy i cały prąd źródła przepływa przez rezystor, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), XL=2XC oraz XC=2XL. W ostatnich 2 przypadkach obwód zmienia swój charakter na pojemnościowy (przypadek XXL=2XC) lub indukcyjny (przypadek XC=2XL). Zmiana charakteru jest uwidoczniona w postaci zmiany znaku mocy biernej wydawanej przez źródło SI.

 

Załączony program   „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód rozgałęziony” pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C obwodu rozgałęzionego zasilanych z 2 źródeł: napięciowego i prądowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej, tej samej pulsacji ω i zadanej fazie początkowej. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno parametrów źródła napięciowego jak i wartości poszczególnych elementów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięcia zasilającego oraz prądów i napięć poszczególnych elementów jak również mocy chwilowej. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie:XL=XC (rezonans równoległy i brak przepływu prądu w rezystorze, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), XL=2XC oraz XC=2XL.