Podręcznik: Bilans mocy

3. Moce w obwodach RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

3.5. Bilans mocy

W obwodzie elektrycznym, jak w każdym układzie fizycznym obowiązuje prawo zachowania energii. W przypadku obwodów prawo to przekształca się w tak zwane prawo bilansu mocy.

Bilans mocy

Jeśli całkowitą moc pozorną zespoloną wytworzoną przez źródło (lub wiele źródeł występujących w obwodzie) oznaczymy przez S_g a sumaryczną moc pozorną zespoloną wydzieloną w elementach odbiornika przez S_o, to biorąc pod uwagę prawo zachowania energii obie moce muszą być sobie równe, to znaczy S_g=S_o. Jest to tak zwana zasada bilansu mocy w obwodach elektrycznych.

W tak sformułowanej zasadzie bilansu mocy przyjmuje się standardowo, że zwroty prądów i napięć w elementach odbiornikowych są przeciwne sobie a w elementach źródłowych takie same. Jeśli przyjmiemy ujednoliconą zasadę znakowania prądów i napięć na elementach obwodu, zakładającą, że niezależnie od rodzaju elementu zwroty prądu i napięcia na gałęzi są przeciwne sobie, to zasadę bilansu mocy można sformułować w ten sposób, że suma mocy pozornej zespolonej liczonej po wszystkich elementach w obwodzie elektrycznym jest równa zeru, S_g+S_o=0.

Dla zilustrowania wprowadzonych tu pojęć mocy oraz zasady bilansowania się mocy rozpatrzymy przykład obwodu przedstawionego na rys. 3.2.

Niech dany będzie obwód RLC o strukturze przedstawionej na rys. 3.2 zasilany z sinusoidalnego źródła napięcia $(t)=100\sqrt2sin{(}\omega t+45^\circ)$ V przy $\omega=1\frac{rad}{s}$ . Wartości elementów obwodu są następujące: R=1Ω , C=0,5F , L=1H .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.2. Schemat obwodu do przykładu 3.1

Należy wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów i napięć elementów oraz moce w obwodzie.

Rozwiązanie

Wartości zespolone impedancji i napięcia wymuszającego w obwodzie przy danych wartościach elementów są równe: $Z_L=j\omega L=j1$ , $Z_C=-j1/\omega C=-j2$ , $E=100e^{j45^o}$ . Impedancja zastępcza połączenia równoległego L i R równa się $Z_{RL}=\frac{RZ_L}{R+Z_L}=0.707e^{j45^o}$ . Impedancja zastępcza połączenia szeregowego C i $Z_{RL}$ jest równa $Z=Z_C+Z_{RL}=0,5+j0,5-j2=1,58e^{-j71,6^o}$ .

Zgodnie z prawem Ohma prąd I w obwodzie jest równy

$I_C=\frac{E}{Z}=\frac{100e^{j45^o}}{1,58e^{-j71,6^o}}=63,3e^{j116,6^o}$

Napięcia na poszczególnych elementach obwodu dane są w postaci

$U_C=Z_CI_C=126,6e^{j26,6^o}$

$U_{RL}=Z_{RL}I_C=44,72e^{j161,6^o}$

Prądy cewki i rezystora obliczone z prawa Ohma równają się

$I_L=\frac{U_{RL}}{Z_L}=44,72e^{j71,6^o}$
$I_R=\frac{U_{RL}}{R}=44,72e^{j161.6^o}$

Na rys. 3.3 przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.3. Wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie z rys. 3.2

Poszczególne rodzaje mocy wydzielonej w obwodzie równają się:

Moc pozorna zespolona wydawana przez źródło

$S=E\cdot{I_C}^\ast=(2000-j6000)V\cdot A$

Moc czynna rezystora

$P_R=\left|I_R\right|^2R=2000W$

Moc bierna cewki i kondensatora

$Q_L=Im{(}U_{RL}\cdot I_L^\ast)=2000var$
$Q_C=Im{(}U_C\cdot I_C^\ast)=-8000var$

Całkowita moc bierna wydzielona na cewce i kondensatorze równa się

$Q=Q_L+Q_C=-6000var$

Moc wydzielona na rezystorze oraz cewce i kondensatorze równa się dokładnie mocy dostarczonej przez źródło. Bilans mocy generowanej przez źródło i mocy wydzielonej w odbiorniku jest zatem równy zeru.

Załączony program „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód 1” pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C obwodu zasilanych ze źródła napięciowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej E_sk, pulsacji ω i fazie początkowej φ. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno parametrów źródła napięciowego jak i wartości poszczególnych elementów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięcia zasilającego oraz prądów i napięć poszczególnych elementów jak również mocy chwilowej. Warto zwrócić uwagę na fazy prądu cewki i kondensatora. Przy identycznym napięciu panującym na połączeniu równoległym tych elementów fazy tych prądów różnią się o 180^o. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie: X_L=X_C (rezonans równoległy i brak przepływu prądu w rezystorze, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), X_L=2X_C oraz X_C=2X_L. W ostatnich 2 przypadkach obwód zmienia swój charakter na pojemnościowy (przypadek X_L=2X_C) lub indukcyjny (przypadek X_C=2X_L). Zmiana charakteru jest uwidoczniona w postaci zmiany znaku mocy biernej wydawanej przez źródło S_E.

Załączony program „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód 2” przedstawia przypadek zasilania równoległego połączenia elementów R, L i C ze źródła prądowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej Isk, pulsacji ω i fazie początkowej φ. Pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C. Użytkownik może zmieniać wartości wszystkich parametrów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięc oraz prądów poszczególnych elementów. Warto zwrócić uwagę na fazy prądu cewki i kondensatora. Przy identycznym napięciu panującym na połączeniu równoległym tych elementów fazy tych prądów różnią się o 180^o. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie: X_L=X_C (rezonans równoległy i cały prąd źródła przepływa przez rezystor, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), X_L=2X_C oraz X_C=2X_L. W ostatnich 2 przypadkach obwód zmienia swój charakter na pojemnościowy (przypadek XX_L=2X_C) lub indukcyjny (przypadek X_C=2X_L). Zmiana charakteru jest uwidoczniona w postaci zmiany znaku mocy biernej wydawanej przez źródło S_I.

Załączony program „Rozpływ prądów w obwodzie AC – obwód rozgałęziony” pozwala obserwować wartości prądów, napięć i mocy pozornej zespolonej w poszczególnych elementach R, L, C obwodu rozgałęzionego zasilanych z 2 źródeł: napięciowego i prądowego typu sinusoidalnego o zadanej wartości skutecznej, tej samej pulsacji ω i zadanej fazie początkowej. Użytkownik może zmieniać wartości zarówno parametrów źródła napięciowego jak i wartości poszczególnych elementów. Program wyświetla przebiegi czasowe napięcia zasilającego oraz prądów i napięć poszczególnych elementów jak również mocy chwilowej. Każda zmiana wartości jakiegokolwiek elementu powoduje automatyczną zmianę wartości rozwiązań i wykresów czasowych. Zmieniają się wartości prądów i mocy poszczególnych elementów jak również bilans mocy. Intersujące są trzy przypadki wartości reaktancji zaznaczone w programie:X_L=X_C (rezonans równoległy i brak przepływu prądu w rezystorze, choć prądy cewki i kondensatora są różne od zera), X_L=2X_C oraz X_C=2X_L.