Podręcznik: Rozkład na składowe symetryczne

4. Składowe symetryczne w układach trójfazowych

4.1. Rozkład na składowe symetryczne

W dotychczasowych rozważaniach układów trójfazowych ograniczyliśmy się do analizy układów o symetrycznym zasilaniu, czyli takich w których amplitudy wszystkich napięć fazowych są równe, a przesunięcia kątowe między poszczególnymi fazami 120^o. W rzeczywistych układach ze względu na niezerową impedancję przewodów zasilających przy różnych prądach fazowych powstają różnice w napięciach fazowych generatora zasilających linię. Oznacza to zróżnicowanie zarówno amplitud poszczególnych napięć jak i przesunięć fazowych w stosunku do 120^o. Stąd założenie symetrii napięć generatora w układach rzeczywistych nie musi być zawsze spełnione. Drugi aspekt niesymetrii dotyczy samych prądów i napięć na elementach odbiornika trójfazowego. Nawet przy symetrycznym zasilaniu ale założeniu niesymetrii odbiornika powstaje sytuacja, w której zarówno prądy jak i napięcia na gałęziach obwodu są niesymetryczne. Stąd powstaje potrzeba stworzenia metodyki analizy układów trójfazowych niesymetrycznych, zwłaszcza pod kątem stworzenia miar odkształcenia od symetrii. Takim narzędziem są składowe symetryczne.

Metoda składowych symetrycznych polega na tym, że stosując odpowiednie przekształcenia liniowe zastępuje się układ trzech wektorów trójfazowych niesymetrycznych przez równoważne mu trzy układy trzech wektorów symetrycznych. Niesymetryczne źródło zasilania trójfazowego zostaje zastąpione przez układ trzech źródeł trójfazowych, z których jedno jest o kolejności wirowania zgodnej (kolejność identyczna jak w układach rozważanych dotąd), drugie o kolejności przeciwnej i trzecie o kolejności zerowej (brak przesunięcia między wektorami fazowymi). Ilustracja takiego rozkładu jest przedstawiona na rys. 9.1

rys9_1

Rys. 4.1. Ilustracja metody rozkładu niesymetrycznego układu napięć trójfazowych na sumę trzech układów napięć trójfazowych symetrycznych

Układowi 3 napięć niesymetrycznych trójfazowych przyporządkować można równoważny układ trzech źródeł trójfazowych, reprezentujących składową zerową (brak przesunięcia między napięciami fazowymi), składową zgodną (napięcie fazy B opóźnia się względem fazy A a napięcie fazy C wyprzedza napięcie fazy A) oraz składową przeciwną (napięcie fazy B wyprzedza napięcie fazy A natomiast napięcie fazy C opóźnia się względem napięcia fazy A). Ilustracja takiego przekształcenia pokazana jest na rys. 9.2

rys9_2

Rys. 4.2. Przekształcenie równoważne generatora napięć niesymetrycznych na trzy generatory napięć symetrycznych

Symbolem a oznaczono wektor jednostkowy obrotu o kąt 120^o

$a=e^{j120^o}=-0,5+j\frac{\sqrt3}{2}$

(4.1)

Można łatwo pokazać, że słuszna jest następująca zależność

$1+a+a^2=0$

(4.2)

Równoważność obu układów napięć z rys. 9.2 wymaga, aby spełnione były następujące równości

$E_A=E_0+E_1+E_2$	(4.3)
$E_B=E_0+a^2E_1+aE_2$	(4.4)
$E_C=E_0+aE_1+a^2E_2$	(4.5)

gdzie E₀, E₁, E₂ oznaczają składowe kolejności odpowiednio zerowej, zgodnej i przeciwnej (faza A odpowiedniego układu). Zapis macierzowy powyższej zależności przyjmuje postać

$\left[\begin{matrix}E_A\\E_B\\E_C\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_0\\E_1\\E_2\\\end{matrix}\right]$

(4.6)

Z zależności tej na podstawie danych wartości rzeczywistych napięć fazowych E_A, E_B, E_C otrzymać można składowe symetryczne E₀, E₁, E₂. Dokonując odwrócenia macierzy w powyższej zależności otrzymuje się

$\left[\begin{matrix}E_0\\E_1\\E_2\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_A\\E_B\\E_C\\\end{matrix}\right]$

(4.7)

Identyczny rozkład na składowe symetryczne przypisać można niesymetrycznemu układowi prądów oraz impedancji przez prostą zamianę symbolu E na symbol prądu I oraz impedancji Z. W przypadku prądów rozkład na składowe symetryczne dany jest wzorem

$\left[\begin{matrix}I_0\\I_1\\I_2\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}I_A\\I_B\\I_C\\\end{matrix}\right]$

(4.8)

Zależność opisująca rozkład na składowe symetryczne impedancji jest z kolei następująca

$\left[\begin{matrix}Z_0\\Z_1\\Z_2\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}Z_A\\Z_B\\Z_C\\\end{matrix}\right]$

(4.9)

Identyczne zależności przyporządkować można wielkościom międzyfazowym. W tym przypadku wskaźniki fazowe A, B, C zastępuje się wskaźnikami międzyfazowymi odpowiednio AB, BC oraz CA. Przykładowo, w przypadku rozkładu napięć międzyfazowych na składowe symetryczne mamy

$\left[\begin{matrix}E_0\\E_1\\E_2\\\end{matrix}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E_{AB}\\E_{BC}\\E_{CA}\\\end{matrix}\right]$

(4.10)

Zależności opisujące rozkład na składowe symetryczne są identyczne dla napięć, prądów i impedancji międzyfazowych. Niezależnie od tego wynik uzyskany z takiego rozkładu różni się znacznie od siebie, szczególnie w przypadku występowania symetrii. Różnice pokażemy na przykładzie.

4.1

Dokonać rozkładu na składowe symetryczne układu trójfazowego symetrycznego napięć, gdzie $E_A=E$ , $E_B=Ee^{-j120^o}=a^2E$ , $E_C=Ee^{j120^o}=aE$ .

Rozwiązanie

Zgodnie z podanymi wcześniej wzorami rozkładu na składowe symetryczne otrzymuje się

$E_0=\frac{1}{3}\left(E_A+E_B+E_C\right)=\frac{1}{3}E\left(1+a+a^2\right)=0$

$E_1=\frac{1}{3}\left(E_A+aE_B+a^2E_C\right)=\frac{1}{3}E\left(1+a^3+a^3\right)=E$

$E_2=\frac{1}{3}\left(E_A+a^2E_B+aE_C\right)=\frac{1}{3}E\left(1+a^4+a^2\right)=\frac{1}{3}E\left(1+a+a^2\right)=0$

Rozkład na składowe symetryczne układu napięć symetrycznych prowadzi do spodziewanego wyniku. Istnieje jedynie składowa zgodna równa napięciu zasilającemu, pozostałe składowe są zerowe. Zerowanie się składowych zerowej i przeciwnej świadczy o symetrii układu trójfazowego. Taka sytuacja obowiązuje w przypadku zarówno napięć jak i prądów. Dotyczy to wielkości fazowych i międzyfazowych.

4.2

Dokonać rozkładu na składowe symetryczne układu trzech impedancji stanowiących obciążenie układu trójfazowego. Przyjmiemy symetrię obciążenia, to znaczy Z_A=Z, Z_B=Z, Z_C=Z.

Rozwiązanie

Stosując identyczne wzory opisujące rozkład impedancji na składowe symetryczne otrzymuje się

$Z_0=\frac{1}{3}\left(Z_A+Z_B+Z_C\right)=\frac{1}{3}Z\left(1+1+1\right)=Z$

$Z_1=\frac{1}{3}\left(Z_A+aZ_B+a^2Z_C\right)=\frac{1}{3}Z\left(1+a+a^2\right)=0$

$Z_2=\frac{1}{3}\left(Z_A+a^2Z_B+aZ_C\right)=\frac{1}{3}Z\left(1+a^2+a\right)=0$

Pomimo zastosowania identycznych wzorów wynik rozkładu na składowe symetryczne równych impedancji jest całkowicie różny od rozkładu napięć. Tym razem istnieje wyłącznie składowa zerowa impedancji. Pozostałe składowe symetryczne (zgodna i przeciwna) są równe zeru. Wynik ten jest zrozumiały biorąc pod uwagę, że układ identycznych impedancji stanowi z definicji składową zerową (brak przesunięć fazowych między impedancjami).