Podręcznik
3. Metoda operatorowa Laplace’a
3.10. Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a
Aby wyznaczyć funkcję czasu f(t) na podstawie danej transformaty należy dokonać odwrotnego przekształcenia Laplace’a. Zależność definicyjna określona wzorem (3.2) jest raczej bezużyteczna ze względu na konieczność całkowania złożonych zwykle funkcji, jak również na nieokreślone precyzyjnie granice całkowania (stała c w definicji nie jest dokładnie określona). Najczęściej korzysta się z pośrednich metod wyznaczania oryginału wynikających z własności samego przekształcenia. Niezależnie od metody zastosowanej do wyznaczenia oryginału, zakładać będziemy, że transformata Laplace’a zadana jest w postaci wymiernej, czyli ilorazu dwu wielomianów zmiennej zespolonej s o współczynnikach rzeczywistych.
|
|
(3.17) |
Dodatkowo przyjmiemy, że stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika. Jeśli warunek powyższy byłby niespełniony, należy podzielić licznik przez mianownik tak, aby wymusić spełnienie tego warunku. Sposób postępowania w takim przypadku zilustrujemy na przykładzie.
|
|
Dzieląc licznik przez mianownik według najwyższych potęg otrzymuje się rozwinięcie funkcji na sumę dwu składników potęgowych zmiennej s oraz funkcję wymierną spełniającą warunek, że stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika
|
|
Przy obliczaniu transformaty odwrotnej powyższej zależności tylko ostatni (złożony) składnik wymaga specjalnego postępowania. Składnik stały (-1) odpowiada funkcji impulsowej Diraca a funkcja 2s odpowiadać będzie wartości pochodnej funkcji Diraca pomnożonej przez dwa.
Istnieje wiele metod obliczania transformaty odwrotnej Laplace’a, wykorzystujących własności przekształcenia. Do najbardziej popularnych należą metoda residuów, rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste, metoda Heaviside’a oraz metoda bazująca na wykorzystaniu tablic transformat Laplace’a. Tutaj ograniczymy się do dwu najbardziej uniwersalnych metod: metody residuów oraz metody tablicowej wykorzystującej tablice transformat Laplace’a.