5. Stan nieustalony w obwodzie RLC przy załączeniu napięcia stałego

5.1. Równanie operatorowe obwodu

Rozpatrzmy załączenie napięcia stałego E do gałęzi szeregowej RLC przedstawionej na rys. 5.1. 

Rys. 5.1. Załączenie napięcia stałego do obwodu szeregowego RLC

Wobec zerowych warunków początkowych (brak wymuszenia w obwodzie przed przełączeniem) mamy \(u_C (0^-)=0\), \(i_L (0^-)=0\). 
Stan ustalony w obwodzie przy wymuszeniu stałym nie wymaga specjalnych obliczeń, gdyż wobec przerwy, jaką reprezentuje kondensator, prąd w obwodzie nie płynie \((i_Lu (t)=0)\) a napięcie na kondensatorze jest równe napięciu zasilającemu \(u_Cu (t)=E\). 


Rys. 5.2 Schemat operatorowy obwodu RLC w stanie nieustalonym

Schemat operatorowy obwodu w stanie nieustalonym przedstawiony jest na rys. 5.2. Warunki początkowe napięcia kondensatora i prądu cewki określają równania

\(u_C(0^+)=u_C(0^-)=0\) (5.1)
\(i_L(0^+)=i_L(0^-)=0\) (5.2)

Z prawa napięciowego Kirchhoffa zastosowanego do obwodu wynika następująca postać operatorowa prądu cewki

\(I(s)=\frac{E/s}{sL+R+1/sC}=\frac{E/L}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}\) (5.3)

Dla wyznaczenia transformaty odwrotnej należy obliczyć pierwiastki mianownika transmitancji, czyli 

\(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0\) (5.4)

W wyniku rozwiązania tego równania otrzymuje się dwa pierwiastki (bieguny układu)

\(s_1=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}\) (5.5)
\(s_2=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2-\frac{1}{LC}}\) (5.6)

Z postaci wzoru opisującego bieguny wynika, że w zależności od znaku funkcji podpierwiastkowej możliwe są 3 przypadki rozwiązania.

  • Przypadek aperiodyczny dla \(R>2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są rzeczywiste i ujemne. Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest aperiodyczny (nieokresowy) zanikający do zera w sposób wykładniczy.
  • Przypadek aperiodyczny krytyczny występujący dla \(R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są rzeczywiste i równe sobie. Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest również aperiodyczny, podobnie jak w przypadku pierwszym, ale czas dochodzenia do wartości ustalonych (z określona tolerancją) jest najkrótszy z możliwych.
  • Przypadek oscylacyjny (periodyczny) występujący dla \(R<2\sqrt{\frac{L}{C}}\). Przy spełnieniu tego warunku oba bieguny są zespolone (zespolony i sprzężony z nim). Charakter zmian prądu w obwodzie w stanie przejściowym jest sinusoidalny tłumiony, o oscylacjach zanikających do zera.

Rezystancja \(R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\) nazywana jest rezystancją krytyczną i oznaczana w postaci \(R_{kr}\).