2. Charakterystyki częstotliwościowe układów

2.10. Charakterystyki częstotliwościowe filtru górnoprzepustowego

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję TGP(s) otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru górnoprzepustowego w postaci

\(T_{GP}(s=j\omega)=\frac{-A_{GP}\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+j\frac{\omega\omega_0}{Q}}\) (2.28)

 

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są wzorami

 

  • charakterystyka amplitudowa
\(\left|T_{GP}(j\omega)\right|=\frac{A_{GP}\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\left(\frac{\omega\omega_0}{Q}\right)^2}}\) (2.29)

                                             

  • charakterystyka fazowa
\(\varphi(j\omega)=180^o-arctg{\frac{\omega\omega_0}{Q(\omega_0^2-\omega^2)}}\) (2.30)

 

Na rys. 2.11a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.11b charakterystyki fazowe filtru górnoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci: \(Q>1/\sqrt2\) oraz \(Q\le1/\sqrt2\).

 

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.11 Charakterystyki częstotliwościowe filtru górnoprzepustowego o pulsacji środkowej ω0 = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

 

 

 Dla dobroci \(Q_1>1/\sqrt2\) charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiąga maksimum dla pulsacji

\(\omega_m=\omega_0\frac{1}{\sqrt{1-1/2Q^2}}\) (2.31)

 

Dla dobroci \(Q_1\le1/\sqrt2\) przebieg charakterystyki amplitudowej staje się monotoniczny i maksimum funkcji nie występuje. Przy \(Q_1=1/\sqrt2\) charakterystyka jest maksymalnie płaska.

Pulsacja ωm (jeśli jest określona) jest różna od pulsacji środkowej ω0. Jak z charakterystyk częstotliwościowych widać pulsacja środkowa odpowiada wartości przy której przesunięcie fazowe układu jest równe 90 stopni. Może być więc łatwo wyznaczona z charakterystyki fazowej. Dobroć układu można z kolei prosto wyznaczyć wykorzystując postać charakterystyki amplitudowej. Obliczając ją dla dwu wartości częstotliwości: częstotliwości maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej otrzymuje się

\(Q=\frac{\left|T_{GP}(j\omega_0)\right|}{\left|T_{GP}(\infty)\right|}\) (2.32)

 

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk częstotliwościowych polega więc na określeniu wartości charakterystyki amplitudowej dla dwu częstotliwości: maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej a następnie podstawieniu do powyższego wzoru.

 

Załączony program „Filtry bikwadratowe” pozwala obserwować charakterystyki częstotliwościowe trzech rodzajów filtrów: dolnoprzepustowego, górnoprzepustowego i środkowoprzepustowego dla zadanych przez użytkownika parametrów: pulsacji środkowej, dobroci oraz wzmocnienia w paśmie. Wyświetlane są charakterystyki: amplitudowa oraz fazowa dla każdego wybranego rodzaju filtru. Jednocześnie wyświetlana jest postać transmitancji operatorowej filtru o zadanych przez użytkownika parametrach.
Aplikacja interaktywna - Filtry bikwadratowe