2. Sygnały i ich charakterystyki

2.4. Operacja splotu i jej zastosowanie do opisu układów liniowych

Istotną klasą systemów w przetwarzaniu sygnałów są systemy liniowe i niezmiennicze w czasie (LTI, ang. Linear Time-Invariant). Systemy LTI to takie, które spełniają dwa podstawowe warunki:

1. liniowość, na którą składa się jednorodność i addytywność:

  • jeżeli sygnał wejściowy \( x(t) \) systemu jest skalowany za pomocą stałego czynnika \( a \), wówczas sygnał wyjściowy \( y(t) \) również jest skalowany przez ten czynnik:

    \( H(x(t)) = y(t)\quad\Rightarrow\quad H(a x(t)) = a\cdot y(t) \)

  • jeżeli sygnał wejściowy systemu jest sumą sygnałów \( x_1(t) \) i \( x_2(t) \), to aby ten system był addytywny, jego sygnał wyjściowy musi być sumą poszczególnych sygnałów wyjściowych:

    \( \begin{cases} H(x_1(t)) = y_1(t) \\ H(x_2(t)) = y_2(t) \end{cases}\quad\Rightarrow\quad H(x_1(t)+x_2(t)) = H(x_1(t)) + H(x_2(t)) = y_1(t) + y_2(t) \)

2. niezmienniczość w czasie:

  • przesunięcie sygnału \( x(t) \) o \( t_0 \) powoduje tylko przesunięcie wyjścia \( y(t) \) o \( t_0 \), bez zmiany kształtu:

    \( H(x(t)) = y(t)\quad\Rightarrow\quad H(x(t - t_0)) = y(t - t_0) \)

Powyższe warunki składają się na zasadę superpozycji, którą można analogicznie wyprowadzić dla systemów dyskretnych.

Jeżeli system jest liniowy i niezależny od czasu, to kluczowe staje się pojęcie odpowiedzi impulsowej (ang. Impulse Response). Jest to odpowiedź systemu na pobudzenie w formie impulsu jednostkowego, nazywanego również deltą Diraca (dystrybucja delta) \( \delta(t) \):

\( \delta(t) = \begin{cases} \infty, & \text{gdy } t = 0 \\ 0, & \text{gdy } t \ne 0 \end{cases}\quad \text{oraz} \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1 \)

Delta Diraca nie jest funkcją w klasycznym sensie, ale idealizowanym impulsem o nieskończonej amplitudzie i zerowej szerokości – używamy jej przybliżenia. Najczęściej do wizualizacji używa się wąskiego i wysokiego impulsu, np. prostokątnego (rys. 2.4) lub funkcji Gaussa (rys. 2.5).

Rys. 2.4. Sekwencja przybliżeń delty Diraca przy użyciu coraz wyższych i węższych impulsów prostokątnych

Rys. 2.5. Sekwencja przybliżeń delty Diraca przy użyciu coraz wyższych i węższych krzywych Gaussa

W przypadku sygnałów dyskretnych mamy do czynienia z deltą Kroneckera \( \delta[n] \):

\( \delta[n] = \begin{cases} 1, & \text{gdy } n = 0 \\ 0, & \text{gdy } n \ne 0 \end{cases} \)

której graficzne przedstawienie zostało pokazane na rys. 2.6. Sygnał ten jest podstawą koncepcji odpowiedzi impulsowej oraz splotu dyskretnego.

Rys. 2.6. Wykres delty Kroneckera

Odpowiedź impulsową oznaczamy \( h(t) \) lub \( h[n] \), odpowiednio dla sygnałów ciągłych i dyskretnych. Jeżeli znamy odpowiedź impulsową systemu LTI, to odpowiedź systemu na pobudzenie dowolnym sygnałem możemy obliczyć jako splot tego sygnału z odpowiedzią impulsową.

Splot (ang. Convolution) jest jednym z fundamentalnych pojęć teorii sygnałów. Jest to operacja matematyczna, która oblicza odpowiedź systemu liniowego na dowolny sygnał wejściowy, nakładając odpowiedź impulsową przesuniętą w czasie.

Splot dla:

  • sygnałów ciągłych:
\( \displaystyle y(t) = x(t)\ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau \)
  • sygnałów dyskretnych:
\( y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k] \)

gdzie \( x \) jest sygnałem wejściowym, \( h \) jest odpowiedzią impulsową systemu oraz \( y \) jest sygnałem wyjściowym, będącym wynikiem splotu. Nakładając odpowiedź impulsową \( h \) na każdą próbkę sygnału \( x \), przesuwając ją w czasie (ciągłym lub dyskretnym) i sumując wpływ wszystkich tych przesunięć, otrzymujemy wynik operacji splotu. Kluczowa jest kolejność wykonywania działań:

1. odwróć w czasie drugi z sygnałów ze względu na \( \tau \) lub \( k \):

\( h(\tau) \rightarrow h(-\tau)\quad\text{lub}\quad h[k] \rightarrow h[-k] \)

2. przesuń go w czasie o czas \( t \) lub o \( n \) próbek:

\( h(-\tau) \rightarrow h(t-\tau)\quad\text{lub}\quad h[-k] \rightarrow h[n-k] \)

3. wymnóż pierwszy sygnał ze zmodyfikowanym drugim:

\( x(\tau)\,h(t-\tau)\quad\text{lub}\quad x[k]\,h[n-k] \)

4. scałkuj wynik mnożenia lub zsumuj wszystkie iloczyny próbek.

Należy zwrócić uwagę na to, że sygnał \( h \) jest odwracany w czasie, zanim będzie przesuwany i mnożony.

Znajomość pojęcia splotu pozwala na zrozumienie podstawowych właściwości impulsu Diraca:

  • splot z \( \delta(t) \) – impuls Diraca jest elementem identycznościowym operacji splotu:

    \( x(t)\ast \delta(t) = x(t) \)

  • splot z przesuniętą deltą \( \delta(t - t_0) \) przesuwa sygnał w czasie o \( t_0 \):

    \( x(t)\ast \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \)

Zatem, skoro impuls jednostkowy jest sygnałem, który podany na wejście dowolnego liniowego i niezmienniczego w czasie układu powoduje wygenerowanie odpowiedzi równej odpowiedzi impulsowej tego układu:

\( \delta(t)\ast h(t) = h(t) \)

to odpowiedź takiego systemu na dowolny sygnał wejściowy \( x(t) \) jest jego splotem ze znaną odpowiedzią impulsową \( h(t) \):

\( y(t) = x(t)\ast h(t) \)

W przypadku sygnałów dyskretnych opis systemów LTI za pomocą splotu jest analogiczny:

\( y[n] = x[n]\ast h[n] \)
Do zilustrowania operacji splotu weźmiemy dwa proste sygnały dyskretne:
\( x[n] = [1,2,3], \quad h[n] = [1,0,-1] \)

Oznacza to, że:

\( \begin{align*} x[0] &= 1,\quad x[1] = 2,\quad x[2] = 3 \\ h[0] &= 1,\quad h[1] = 0,\quad h[2] = -1 \end{align*} \)

Ponieważ \( x[k] \) i \( h[k] \) mają tylko 3 niezerowe próbki, splot będzie miał długość:

\( N = 3 + 3 - 1 = 5 \)
Korzystając z definicji splotu dyskretnego:
\( y[n] = x[n]\ast h[n] = \sum_{k} x[k]\cdot h[n-k] \)

otrzymamy kolejne wartości sygnału \( y[n] \). Kolejne kroki zostały przedstawione w tabeli:

Poniżej przedstawiono wykresy sygnałów i ich splotu: