Podręcznik

W praktyce analizy i przetwarzania sygnałów bardzo często spotykamy się nie tylko z sygnałami deterministycznymi, ale również z sygnałami losowymi. Są to takie sygnały, których wartości chwilowe nie są ściśle przewidywalne, lecz można je opisać w sposób probabilistyczny. Pojęcie sygnału losowego rozszerza się do procesu losowego, który stanowi zbiór wszystkich możliwych realizacji danego sygnału i opisuje jego zachowanie w sensie statystycznym. Ponieważ pojedyncza realizacja może wyglądać zupełnie przypadkowo, analiza procesów losowych opiera się na ich charakterystykach statystycznych, takich jak wartość średnia, wariancja czy funkcja autokorelacji.

Szczególne znaczenie w analizie praktycznej mają procesy stacjonarne w sensie szerokim (WSS). Charakteryzują się one tym, że wartość średnia nie zależy od czasu, a funkcja autokorelacji jest funkcją wyłącznie przesunięcia czasowego, a nie absolutnego czasu. Dzięki temu możliwe jest przejście do opisu w dziedzinie częstotliwości. W przypadku sygnałów losowych zamiast klasycznego widma amplitudowego wprowadza się gęstość widmową mocy (PSD), która określa, jak energia lub moc procesu rozkłada się w funkcji częstotliwości. Zgodnie z twierdzeniem Wienera–Chinczyna, gęstość widmowa mocy jest transformatą Fouriera funkcji autokorelacji.

Taki opis jest szczególnie ważny w zastosowaniach praktycznych, ponieważ wiele rzeczywistych sygnałów – takich jak szumy w układach elektronicznych, sygnały biomedyczne (np. EEG), czy zakłócenia w kanałach telekomunikacyjnych – ma charakter losowy. Analiza w ujęciu statystycznym pozwala wówczas lepiej zrozumieć własności sygnału, szacować stosunek sygnału do szumu, projektować odpowiednie filtry oraz oceniać właściwości układów i kanałów transmisyjnych.

W niniejszym rozdziale przedstawione zostaną podstawowe zagadnienia związane z analizą częstotliwościową sygnałów losowych. Omówione zostaną pojęcia procesów losowych, stacjonarności i ergodyczności, a także metody estymacji podstawowych parametrów procesów losowych. Szczególną uwagę poświęcono gęstości widmowej mocy jako kluczowemu narzędziu opisu własności częstotliwościowych sygnałów losowych. Dla lepszego zrozumienia omawianych zagadnień zaprezentowane zostaną liczne przykłady i implementacje w języku Python.