Podręcznik

Sygnał losowy można rozumieć jako proces, w którym wartość chwilowa w danym momencie czasu nie jest z góry określona, lecz opisana w sposób probabilistyczny. Aby to formalnie ująć, każdą próbkę sygnału w chwili $t$ traktujemy jako zmienną losową.

Zmienna losowa to wielkość, która przyjmuje wartości liczbowe w sposób losowy (stochastyczny), ale z góry określonym prawdopodobieństwem. Jeżeli zamiast jednej zmiennej losowej rozpatrujemy rodzinę zmiennych losowych uporządkowanych w czasie, otrzymujemy proces losowy $X(t)$. Każda chwila czasu $t=t_0$ odpowiada wówczas innej zmiennej losowej $X(t_0)$, a ich zbiór opisuje cały sygnał losowy. W praktyce proces losowy można traktować jako zbiór wielu możliwych realizacji przebiegu sygnału, z których każda jest jedną realizacją tego procesu. Taki opis umożliwia przejście od analizy chwilowych wartości sygnału do badania jego własności statystycznych, uśrednionych w czasie lub po realizacjach.

Klasycznym przykładem sygnałów o charakterze losowym są sygnały biomedyczne, takie jak EEG (elektroencefalograficzne) oraz EMG (elektromiograficzne). EEG rejestruje bioelektryczną aktywność mózgu przy pomocy elektrod umieszczonych na powierzchni skóry głowy. Charakteryzuje się bardzo niską amplitudą i dużą zmiennością, oraz charakterystycznymi rytmami częstotliwościowymi, związanymi z określonymi stanami pracy mózgu (np. rytmy alfa, beta, theta). Z kolei EMG odzwierciedla aktywność elektryczną mięśni szkieletowych, powstającą w wyniku sumowania potencjałów czynnościowych włókien mięśniowych. Jest to sygnał o wyższych amplitudach niż EEG, a jego przebieg zależy od rodzaju i siły skurczu mięśnia. Oba sygnały traktuje się jako procesy losowe, gdyż ich przebieg chwilowy jest trudny do przewidzenia, natomiast możliwe jest badanie ich statystycznych własności.

Opisem probabilistycznym zmiennej losowej $X(t_0)$ w chwili $t=t_0$ jest m.in. dystrybuanta (CDF, ang. Cumulative Distribution Function), którą definiuje się jako:

czyli prawdopodobieństwo, że w chwili $t_0$ amplituda sygnału nie przekroczy wartości $x$.

Dystrybuanta opisuje, jak rozkładają się wartości amplitud sygnału losowego w danym momencie czasu. Dzięki temu można np. wyznaczać progi detekcji sygnału, badać rozkład amplitud w sygnałach biomedycznych czy porównywać różne stany organizmu (np. sen vs. czuwanie w EEG) w kategoriach zmian rozkładów prawdopodobieństwa.

Dystrybuanta daje pełny opis rozkładu wartości sygnału w wersji skumulowanej – informuje o łącznym prawdopodobieństwie wystąpienia wszystkich wartości mniejszych od wartości $x$. W praktyce, wygodniej jest analizować nie tyle wartości skumulowane, co dokładne prawdopodobieństwo pojawienia się amplitud w pobliżu danej wartości. Tę rolę spełnia funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF, ang. Probability Density Function):

czyli pochodna dystrybuanty. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa pozwala wskazać, które amplitudy sygnału występują najczęściej, a które są rzadkie, co ma kluczowe znaczenie w analizie różnych procesów losowych.