3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.1. Widmo sygnału

Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy widmowej, czyli wyszukiwania w sygnale składowych o różnych częstotliwościach. Transformatę Fouriera można interpretować jako korelację analizowanego sygnału x(t) z zespoloną funkcją e^{-j2\pi ft}, zawierającą sygnały harmoniczne (cosinus i sinus) o częstotliwości f:  e^{-j2\pi ft}=\cos{\left(2\pi ft\right)}-jsin\left(2\pi ft\right).

  (12)

Zespolone widmo X(f) jest funkcję częstotliwości, którą można wyrazić w hercach (Hz) lub jako pulsację (częstość kątową \omega=2\pi f) w radianach na sekundę. W tym drugim przypadku transformata Fouriera wyraża się wzorem 

\widetilde{X}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-j\omega t}dt}=X(\frac{\omega}{2\pi}) (13)

Dla niemal wszystkich spotykanych w praktyce sygnałów transformata Fouriera jest odwracalna (będzie jeszcze o tym mowa na końcu tego podrozdziału). W dziedzinę czasu przeprowadza nas odwrotna Transformata Fouriera:

  (14)

Podstawiając f={\frac{\omega}{2\pi}} otrzymuje sie równoważny wzór na transformatę odwrotną:

x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{X(\frac{\omega}{2\pi})e^{j\omega t}d\frac{\omega}{2\pi}}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\widetilde{X}(\omega)e^{j\omega t}d\omega} (15)

W dalszej części podręcznika będziemy stosować wzory (12) i (14) ze względu na symetrię i prostotę. Zauważmy, że widmo jest określone również dla częstotliwości ujemnych, co jest niezbędne do obliczenia transformaty odwrotnej. Zapisując widmo we współrzędnych biegunowych:

X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-j2\pi ft}dt}=|X(f)|e^{j\phi(f)} (16)

otrzymujemy widmo amplitudowe i fazowe.  Widmo amplitudowe jest parzystą funkcją częstotliwości 

|X(-f)|=|X(f)| (17)

a widmo fazowe – funkcją nieparzystą :

\phi(-f)=-\phi(f) (18)

Obliczmy widmo symetrycznego impulsu prostokątnego o czasie trwania t (Rys.14).

Rysunek 14 Symetryczny impuls prostokątny

X( f) =F[ x( t)] =\int ^{τ/2}_{-τ/2} e^{-j2πft} dt=\frac{1}{-j2πf} e^{-j2πft} \mid ^{τ/2}_{-τ/2} =\\=\frac{1}{-j2πf}[ e^{-jπfτ} -e^{jπfτ} =\frac{1}{\pi f}\left[\frac{e^{+j\pi f\tau}-e^{-j\pi f\tau}}{2j}\right]=\frac{sin{(}\pi f\tau)}{\pi f}=\tau\frac{sin{(}\pi f\tau)}{\pi f\tau} (19)

Ze względu na symetrię, widmo przyjmuje wartości rzeczywiste (część urojona jest równa zeru):

Rysunek 15 Widmo impulsu prostokątnego