3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.6. Splot i autokorelacja

Widmo splotu dwóch sygnałów jest iloczynem ich widm:

\(x(t)\ast\ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\left(\tau\right)\ y\left(t-\tau\right)\ d\tau=}\int_{-\infty}^{\infty}{y\left(\tau\right)\ x(t-\tau)d\tau}\)

\(F[x(t)\ast\ y(t)]=F[x(t)]F[y(t)]=X(f)Y(f)\)

 (24)

Dowód opiera się na podstawieniu \(e^{-j2\pi f\tau}\dot\ e^{j2\pi f\tau}=1\).

\(F[x(t)\ast \ y(t)]=F\left[\int ^{\infty }_{-\infty } x( τ) y(t-τ)dτ\right] =\int ^{\infty }_{-\infty }\int ^{\infty }_{-\infty } x( τ) y(t-τ)dτ e^{-j2πft} dt=\)

\(=\int_{-\infty}^{\infty}{x\left(\tau\right)\ e^{-j2\pi f\tau}d\tau}\int_{-\infty}^{\infty}{y\left(t-\tau\right)\ e^{-j2\pi f(t-\tau)}d(t-\tau)}=X\left(f\right)\ Y(f)\)

  

Podobnie można pokazać, że transformata odwrotna splotu widm jest iloczynem sygnałów

\(F^{-1}[X(f)\ast\ Y(f)]=F^{-1}[X(f)]F^{-1}[Y(f)]=x(t)y(t)\)

 

 (25)

Z tego wynika, ze transformata Fouriera iloczynu sygnałów jest splotem ich widm:

\(F\left[x(t)y(t)\right]=X(f)\ast Y(f)\)

 (26)

Z kolei funkcja autokorelacji przechodzi w widmo amplitudowe podniesione do kwadratu:

\(R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\left(t\right)\ x(t-\tau)dt}\)

\(F[R_x(\tau)]=X(f)X*(f)=|X(f)|^2\)

 (27)

Jest to twierdzenie Wienera-Chinczina.