3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.8. Impuls Diraca

Impuls Diraca (zwany deltą Diraca) posłużył nam do wyznaczania odpowiedzi impulsowej filtru (Rys.13). Przybliżaliśmy go impulsem prostokątnym o jednostkowym iloczynie czas trwania razy amplituda, lecz może on mieć dowolny kształt, pod warunkiem zachowania jednostkowej wartości całki \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)dt=1} przy czasie trwania dążącym do zera (Rys.16)

Rysunek 16 Impuls Diraca w dziedzinie czasu

Splot sygnału x(t) z impulsem Diraca nie zmienia tego sygnału:

x(t)\ast\delta(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau}=\int_{t-\varepsilon}^{t+\varepsilon}{x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau}=x(t)\int_{t-\varepsilon}^{t+\varepsilon}{\delta(t-\tau)d\tau}=x(t) (31)

Splot z przesuniętym impulsem przesuwa sygnał do momentu, w którym ten impuls wystąpił:

x(t)\ast\delta(t-t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)d\tau}=\int_{t-t_0-\varepsilon}^{t-t_0+\varepsilon}{x(\tau)\delta(t-t_0-\tau)d\tau}=x(t-t_0) (32)

Transformata Fouriera impulsu Diraca jest funkcją częstotliwości o stałej wartości 

F\left[\delta(t)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt}=\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}{\delta(t)e^{-j2\pi ft}dt}=1 (33)

Oznacza to, że impuls zawiera składowe o wszystkich częstotliwościach i żadna z nich nie jest uprzywilejowana. Z twierdzenia o przesunięciu (20) wynika wzór na transformatę Fouriera przesuniętego impulsu Diraca:

F\left[\delta(t-t_0)\right]=e^{-j2\pi f t_0} (34)