3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.10. Odwracalność transformaty Fouriera (materiał dodatkowy)

Podstawową właściwością transformaty Fouriera jest jej odwracalność, z widma można otrzymać dokładną kopię sygnału w dziedzinie czasu: x(t)=F-1 F[x(t)].  Aby uzasadnić tę właściwość zapiszmy w jednym wzorze transformację prostą i odwrotną.

F^{-1} F[x(t)]=\int ^{\infty }_{-\infty } X(f)e^{j2πft} df=\int ^{\infty }_{-\infty } [\int ^{\infty }_{-\infty } x(τ)e^{-j2πfτ} dτ]e^{j2πft} df=\\=\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}}e^{j2\pi ft}df}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}{x(\tau)\int_{-\infty}^{\infty}{e^{j2\pi f(t-\tau)}df}}d\tau

  

Otrzymaliśmy całkę splotową: sygnał x(t) splata się z sygnałem  v(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{j2\pi ft}df}:

F^{-1} F[x(t)]=\int ^{\infty }_{-\infty } x(τ)v(t-τ)dτ=x(t)\ *\ v(t)

  

Gdyby sygnał v(t) był impulsem Diraca (v(t)=\delta(t)), wówczas (na podstawie wzoru 31) wynikiem splatania byłby sygnał x(t) i odwracalność byłaby udowodniona:

F^{-1}F[x(t)]=x(t)*δ(t)=x(t)

  

Wystarczy zatem wykazać, że \delta\left(t\right)=v\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{j2\pi ft}df}. Funkcja e^{j2\pi ft} nie jest całkowalna w przedziale nieskończonym, ale można ją pomnożyć przez e^{-a|f|},\ a>0, scałkować a potem przejść ze współczynnikiem a do zera. Po scałkowaniu otrzymujemy

\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a|f|+j2\pi ft}df}=\int_{-\infty}^{0}{e^{af+j2\pi ft}df}+\int_{0}^{\infty}{e^{-af+j2\pi ft}df}=\frac{2a}{a^2+4\pi^2t^2}

  

Gdy a\rightarrow0, wówczas otrzymana funkcja dąży do zera dla każdego t\neq0.  Jej wartość dla t=0 nie jest określona, natomiast całka \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{2a}{a^2+4\pi^2t^2}dt}=1. Funkcja v(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{j2\pi ft}df} przedstawia zatem impuls Diraca i odwracalność transformacji Fouriera jest wykazana.