Podręcznik

Prawdziwe informacji o składzie widmowym analizowanego sygnału dostarcza nam jedynie transformata Fouriera (wzór 12). Analiza wspomagana komputerowo wymaga próbkowania, co daje efekt w postaci powtarzających się kopii widmowych, w tym „lustrzanego odbicia” widma od częstotliwości próbkowania.  Jeśli sygnał ma skończone pasmo, to z problemem tym można sobie łatwo poradzić: próbkujemy (zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu) z częstotliwością większą niż podwojone pasmo i odczytujemy widmo DTFT w zakresie od 0 do połowy częstotliwości próbkowania (wzór 44).  Widmo to zawiera tę samą informację co widmo fourierowskie obliczone metodą całkowania (wzór 12). 
Poważniejszy problem powstaje w przypadku sygnałów o długim (lub nieograniczonym) czasie trwania. Wówczas do analizy bierzemy jedynie L próbek (wzór 51). Oznacza to, że sygnał mnożymy przez okno prostokątne o czasie trwania \(\tau=LT\), gdzie T jest okresem próbkowania.  Ta operacja zniekształca widmo, gdyż mnożenie w dziedzinie czasu oznacza splatanie w dziedzinie częstotliwości (wzór 26). Widmo obliczone na podstawie L próbek sygnału jest więc „rozmyte” skutkiem splatania z widmem okna. 
Jako przykład weźmy sygnał kosinusoidalny o częstotliwości f₀. Jego widmo (wzór 37) pokazano na rys.39. Okno prostokątne o czasie trwania t pokazano na rys. 14 a jego widmo na rys.15. Splot widma sygnału kosinusoidalnego  (X(f)) z widmem okna (W(f)) składa się z przesuniętych kopii widma okna, gdyż splot funkcji z impulsem Diraca jest przesunięciem funkcji w miejsce położenia impulsu (wzór 32) – patrz rys.39.  Widmo sygnału harmonicznego zostało więc rozproszone w paśmie o szerokości listka głównego funkcji \(\frac{\sin{\pi f\tau}}{\pi f\tau}\), pojawiły się też odległe składowe, związane z listkami bocznymi tej funkcji. Można je zmniejszyć kosztem poszerzenia listka głównego, stosując okna o kształcie nieprostokątnym, np. okno Hamminga. Rozproszenie widma można zmniejszyć poprzez zwiększenie czasu trwania okna (t), czyli liczby próbek (L). Istotnie, szerokość listka głównego widma okna prostokątnego wynosi \(\frac{2}{\tau}=\frac{2}{LT}=\frac{2f_s}{L} \).
Jeżeli uwzględnimy efekt próbkowania, otrzymamy widmo L próbek sygnału kosinusoidalnego jak na rys. 40. Jest to widmo DTFT, widmo DFT otrzymamy, pobierając L próbek w zakresie od 0 do częstotliwości próbkowania. Widmo DCT zawiera L współczynników reprezentujących składowe o częstotliwościach od 0 do połowy częstotliwości próbkowania. Jego kształt będzie jednak zależał od fazy początkowej sygnału harmonicznego w oknie.

Rysunek 39 Widmo sygnału kosinusoidalnego i widmo wycinka tego sygnału

Rysunek 40 Widmo wycinka spróbkowanego sygnału kosinusoidalnego