Podręcznik

Jeżeli filtr jest stabilny, wówczas  możemy podstawić $z=e^{j2πfT}=e^{j2πf/fs}$  ( $f_s=\frac{1}{T}$  jest częstotliwością próbkowania) do wzoru na transmitancję (88) i otrzymać w ten sposób charakterystykę częstotliwościową filtru. 

Obliczanie charakterystyki częstotliwościowej jest w istocie obliczaniem widma DTFT odpowiedzi impulsowej, o czym była mowa w p. 6.5.
Charakterystyka częstotliwościowa mów nam o tym, w jaki sposób przetwarzane są w filtrze składowe sygnału wejściowego o różnych częstotliwościach. Jeżeli na wejście filtru podamy sygnał harmoniczny o częstotliwości $f_0:\  x_n=Acos{(}2\pi f_0nT+ϕ)$, to na wyjściu otrzymamy sygnał o tej samej częstotliwości, różniący się jedynie amplitudą i fazą. Wynika to z równania $Y\left(z\right)=H\left(z\right)X(z)$, które przechodzi w  $Y\left(e^{j2\pi f_0T}\right)=H\left(e^{j2\pi f_0T}\right)X\left(e^{j2\pi f_0T}\right)$ i dalej w  $Y_s\left(f\right)=H_s\left(f\right)\ X_s(f)$.  Charakterystyka częstotliwościowa dla częstotliwości f0 jest liczbą zespoloną: $H_s(f_0)=|H_s(f_0)|e^{j\psi(f_0)}$. Wynika stąd, że sygnał wyjściowy będzie miał amplitudę równą $A|H_s(f_0)|$ i fazę przesuniętą o $\psi(f_0)$ - rys.49 

Rysunek 49 Analiza stanu ustalonego

W ten sposób przeprowadziliśmy analizę stanu ustalonego w układzie pobudzonym sygnałem harmonicznym. Jeżeli sygnał wejściowy składa się z szeregu sygnałów harmonicznych o różnych częstotliwościach, wówczas analizę należy przeprowadzić dla wszystkich składowych (wynika to z liniowości układu). Należy jeszcze raz podkreślić, że taka analiza ma sens tylko dla stabilnych układów.  Układy niestabilne nie mają charakterystyki częstotliwościowej, gdyż sygnał wyjściowy dąży do wartości nieskończonej. 
Jeżeli interesują nas stany przejściowe w układzie pobudzonym sygnałem wejściowym o określonym początku (najczęściej jest to chwila n=0), wówczas obliczamy transformatę Zet sygnału wejściowego i mnożymy ją przez transmitancję filtru. Otrzymujemy Transformatę Zet sygnału wyjściowego: $Y\left(z\right)=H\left(z\right)X(z)$ i stosując transformatę odwrotna Zet otrzymujemy sygnał na wyjściu układu.

Znając położenia biegunów i zer transmitancji układu, można niekiedy określić, jaki przebieg ma charakterystyka częstotliwościowa.  Załóżmy, że układ ma 3 bieguny jak na rys. 50.  Bieguny (jak i zera) mogą być rzeczywiste (leżą na osi rzeczywistej) lub zespolone parami sprzężone. Wynika to z faktu, że są to pierwiastki wielomianów A(z) i B(z), których współczynniki są rzeczywiste. Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych mogą mieć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone parami sprzężone. 

Rysunek 50 Przykładowe położenie biegunów filtru

Charakterystyka  jest odczytywana na okręgu o promieniu jednostkowym (rys.41). Biegun znajdujący się w pobliżu okręgu wywołuje wzrost wartości charakterystyki (rezonans filtru). Z kolei zero wywołałoby zmniejszenie się charakterystyki (antyrezonans). Na rys. 51 pokazano wartość bezwzględną charakterystyki częstotliwościowej. Rezonans występuje na częstotliwości określonej kątem f (rys.50). 3-decybelowe pasmo rezonansu ma związek z odległością bieguna od okręgu.  Ponadto występuje „podbicie” charakterystyki na częstotliwości równej połowie częstotliwości próbkowania. Ma to związek z trzecim biegunem leżącym na osi rzeczywistej. 

Rysunek 51 Charakterystyka częstotliwościowa filtru z rys.50

Rozpatrzmy jeszcze przykład prostego filtru o transmitancji  $H\left(z\right)=1-z^{-1}=\frac{z-1}{z}$. Jest to filtr FIR (biegun w początku układu współrzędnych oznacza tylko opóźnienie). Jako FIR jest on stabilny. Jego odpowiedź impulsowa składa się z dwóch próbek: h_0=1 i h_1=-1.  Charakterystykę częstotliwościową otrzymamy przez podstawienie $z=e^{j2\pi fT}=e^{j2\pi f/f_s}$:  $H_s(f)=1-e^{-j2\pi fT}$ Jeśli interesuje nas częstotliwość f=0, ćwierć częstotliwości próbkowania f=1/(4T) czy połowa częstotliwości próbkowania f=1/(2T), to można podstawić odpowiednie wartości zmiennej z tab. 2. I tak, dla f=0 otrzymujemy $H_s\left(0\right)=0$,  a dla $f=1/(2T), H_s(\frac{1}{2T})=2$. 
Miejsce zerowe transmitancji to $z_1=1$. Leży ono na okręgu jednostkowym i sprawia że sygnały o określonej częstotliwości są całkowicie tłumione. Wartości  $z_1=1$ odpowiada częstotliwość zerowa. Tak więc próbki sygnału o wartości stałej (czyli ciągi tych samych próbek)  zostaną wytłumione. Z kolei spróbkowane sygnały o częstotliwości równej połowie częstotliwości próbkowania będą wzmocnione dwukrotnie -rys.52. Filtr jest górnoprzepustowy, spadek wzmocnienia dla częstotliwości większych od połowy częstotliwości próbkowania wynika jedynie z lustrzanego odbicia , którego przyczyną jest próbkowanie. 

Rysunek 52 Charakterystyka częstotliwościowa filtru 1-z^-1