Podręcznik: Modulacja amplitudy – dwuwstęgowa z wytłumioną falą nośną (AM – DSB-SC double sideband suppressed carrier)

1. Analogowa modulacja amplitudy

1.3. Modulacja amplitudy – dwuwstęgowa z wytłumioną falą nośną (AM – DSB-SC double sideband suppressed carrier)

Schemat modulatora AM DSB-SC zawiera układ mnożenia sygnału modulującego m(t) (może to być sygnał mowy lub muzyki) przez sygnał fali nośnej (wzór 2 i rys.2).

$s(t)=m(t)cos(2πf0t)$

(2)

Rysunek 2 Schemat modulatora DSB-SC i przebieg sygnału zmodulowanego

Na tym samym rysunku pokazano sygnał DSB-SC w dziedzinie czasu. Zmniejszono częstotliwość sygnału fali nośnej żeby pokazać zmianę fazy w momencie przejścia sygnału modulującego przez zero.
Załóżmy,że znamy widmo (transformatę Fouriera) sygnału modulującego: $M(f)=F[m(t)]$ . Wówczas widmo sygnału zmodulowanego wyraża się wzorem:

$S(f)=F[m(t)cos{(}2\pi\ f_0t)]=F[m(t)]*F[cos(2πf0t)]=\\ \quad=M(f)\ast\frac{1}{2}[δ(f-f0)+δ(f+f0)]=12M(f-f0)+12M(f+f0)$

(3)

Wyprowadzając wzór, wzięto pod uwagę, że transformata Fouriera iloczynu jest splotem widm, a splot z impulsem Diraca jest przesunięciem funkcji w miejsce położenia impulsu. Widma sygnałów na wejściu i wyjściu modulatora DSB-SC pokazano na Rys.3. W widmie sygnału zmodulowanego nie widać prążków widma fali nośnej, dlatego mówimy o wytłumionej fali nośnej.

Rysunek 3 Widmo sygnału modulującego i zmodulowanego w systemie DSB-SC

Pasmo częstotliwości zajęte przez sygnał zmodulowany jest dwukrotnie szersze niż pasmo sygnału modulującego. Współczynnik poszerzenia pasma $\frac{B}{f_M}$ ma wartość 2.
Energie sygnału modulującego i zmodulowanego wyrażają się wzorami (4) i (5):

$E_M=\int ^{f_{M}}_{-f_{M}}\|M(f)\|^2df$	(4)
$E_S=\int{\|S(f)\|^2}df=\frac14E_M+\frac14E_M=\frac12E_M$	(5)

Wzór (5) jest słuszny gdy amplituda sygnału fali nośnej równa się 1. Ogólnie, energia podąża za kwadratem amplitudy i prawą stronę równania (5) należy pomnożyć przez kwadrat amplitudy sygnału fali nośnej. Pamiętajmy też o ogólnym założeniu, że obliczamy energie i moce, jakie wydzielają się w oporniku o oporności 1W, gdy napięcie i prąd mają identyczną wartość. Projektując konkretne układy nadajników, musimy przeskalować wartości energii i mocy.
Wzór (5) można również zastosować do mocy sygnałów (uwzględniając powyższe założenia). Po modulacji moc sygnału maleje zatem do połowy: $S=\frac{1}{2}P$ , gdzie P jest mocą sygnału modulującego.
Na Rys.2 można zaobserwować, że tzw. obwiednia sygnału DSB-SC (można ją otrzymać za pomocą detektora szczytowego, rys.9) nie jest kopią sygnału modulującego m(t), tylko jego wartości bezwzględnej. Taki detektor nie nadaje się do odbioru sygnału DSB-SC. Należy użyć innego układu, zwanego detektorem synchronicznym (Rys.4).

Rysunek 4 Odbiornik z detektorem synchronicznym

Sygnał użyteczny na wejściu odbiornika jest sygnałem DSB-SC: $s(t)=m(t)cos(2πf0t)$ . Ten sam sygnał pojawi się na wyjściu filtru pasmowego. Uwzględniając zależność ${cos}^2{\alpha}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos{(}2\alpha)$ , otrzymamy sygnał na wyjściu detektora synchronicznego: $m(t)cos2(2πf0t)=m(t)[12+12cos(4πf0t)]$ . Sygnał o wysokiej częstotliwości zostanie zatrzymany w filtrze dolnopasmowym, w związku z czym na wyjściu odbiornika otrzymamy sygnał użyteczny

$s_0(t)=\frac12m(t)$

(6)

o mocy $S_0=\frac{1}{4}P$ . Dwukrotne zmniejszenie amplitudy oznacza czterokrotne zmniejszenie mocy. Na rys. 5 pokazano wyniki symulacji: przebiegi czasowe i widma sygnałów w odbiorniku z detektorem synchronicznym.

Rysunek 5 Sygnały w odbiorniku synchronicznym DSB-SC

Z modulacją DSB-SC stykamy się niemal codziennie, gdy słuchamy analogowego radia FM. Sygnał stereofoniczny dociera do nas dzięki modulacji częstotliwości, ale modulację amplitudy DSB-SC wykorzystuje się do połączenia sygnałów kanału lewego L(t) i prawego R(t) w jeden sygnał stereofoniczny modulujący nadajnik FM. Analogowy sygnał stereofoniczny otrzymuje się w następujący sposób:

$m(t)=[L(t)+R(t)]+[L(t)-R(t)]cos(2πf_0t)+a\ cos(2π\frac{f_0}{2}t)$

(7)

Sygnał L(t)+R(t) wstawia się w paśmie podstawowym, natomiast L(t)-R(t) moduluje w systemie DSB-SC się z wykorzystaniem fali nośnej o niewielkiej częstotliwości f₀=38 kHz. Ponadto transmituje się sygnał harmoniczny o częstotliwości 38:2=19 kHz, zwany sygnałem pilota. Sygnał stereofoniczny (bez pilota) pokazano na Rys. 6.

Rysunek 6 Analogowy sygnał stereofoniczny

Ze wzoru (7) wynika, że sygnały L(t) i R(t) można rozdzielić, dokonując próbkowania sygnału stereofonicznego w odpowiednich momentach. Potrzebne są dwa układy próbkujące, jeden pobiera próbkę gdy fala nośna osiąga szczytową wartość równą 1, a drugi, gdy osiąga ona wartość równa -1. Momenty próbkowania określa się na podstawie analizy sygnału pilota.
Widmo (kompleksowego) sygnału stereofonicznego pokazano na rys.7. Pasmo częstotliwości zajęte przez sygnały L(t) i R(t) wynosi 15 kHz.Pasmo kompleksowego sygnału stereofonicznego wynosi 38+15=53 kHz.

Rysunek 7 Widmo analogowego sygnału stereofonicznego