Podręcznik: Modulacja kąta i jej podstawowe parametry

1. Analogowa modulacja amplitudy

1.7. Modulacja kąta i jej podstawowe parametry

Modulacja częstotliwości (FM – Frequency Modulation) i modulacja fazy (PM = Phase Modulation) należą do tzw. modulacji kąta. Kopia sygnału modulującego jest transmitowana w fazie lub w częstotliwości sygnału zmodulowanego, natomiast nie jest możliwe jej odzyskanie z amplitudy tego sygnału. Na rys.13 pokazano modulator kątowy i naszkicowano możliwy sygnał wyjściowy modulatora. Rysunek ma charakter poglądowy.

Rysunek 13 Modulacja kąta

Sygnał modulujący m(t) może wpływać na fazę chwilową Q(t) bezpośrednio lub przez całkę. W tym pierwszym przypadku mówimy o modulacji fazy

$\mathrm{\Theta}(t)=2\pi\ f_0t+D_pm(t)$

(10)

W tym drugim przypadku mamy do czynienia z modulacją częstotliwości:

$\mathrm{\Theta}(t)=2\pi\ f_0t+D_f\int_{t0}^tm(λ)dλ$

(11)

Współczynniki D_p i D_f możemy traktować jako wzmocnienie toru akustycznego w nadajniku, można też je wykorzystać jako amplitudę sygnału modulującego (wówczas przyjmujemy, że m(t) ma największą wartość równą 1).
Częstotliwość chwilowa sygnału to szybkość zmian fazy tego sygnału

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{∂}{∂t}Θ(t)$

(12)

We wzorze dzielimy pochodną fazy przez 2p, aby uzyskać częstotliwość w Hz, w przeciwnym wypadku mielibyśmy prędkość kątową w radianach ma sekundę. Różniczkując wzory (10) i (11), otrzymujemy wzory na częstotliwość chwilową sygnału PM i FM.

$PM:\qquad f(t)=f_0+\frac{D_p}{2\pi}\frac{∂}{∂t}m(t)$	(13)
$FM:\qquad f(t)=f_0+\frac{D_f}{2\pi}m(t)$	(14)

Sygnał modulujący wpływa więc bezpośrednio na częstotliwość chwilową w modulacji FM.
Dla harmonicznego sygnału modulującego określa się parametry sygnału zmodulowanego, takie jak indeks modulacji i dewiacja częstotliwości Weźmy sygnał harmoniczny o amplitudzie równej 1 i częstotliwości $fm:\ m\left(t\right)=\cos{(2\pi f_mt)}$ . Jeśli chcemy zmienić amplitudę tego sygnału, to możemy wykorzystać współczynniki wzmocnienia D_p i D_f. Po podstawieniu do wzoru (10), otrzymujemy fazę chwilową sygnału PM:

$\mathrm{\Theta}(t)=2\pi\ f_0t+D_pcos(2πf_mt)$

(15)

Największa wartość odchyłki fazy chwilowej sygnału zmodulowanego od fazy fali nośnej nosi nazwę indeksu modulacji i jest oznaczana przez b. W modulacji fazy, indeks modulacji wynosi $\beta=D_p$ , czyli zależy od amplitudy sygnału modulującego. Podstawiając $m\left(t\right)=\cos{(2\pi f_mt)}$ do (13), otrzymujemy wzór na częstotliwość chwilową sygnału PM:

$f(t)=f_0+\frac{D_p}{2\pi}2πf_m(-sin(2πf_mt))=f_0-D_pf_msin(2πf_mt)$

(16)

Największa wartość odchyłki częstotliwości chwilowej sygnału zmodulowanego od częstotliwości fali nośnej nosi nazwę dewiacji częstotliwości. Dewiacja częstotliwości określa w pierwszym przybliżeniu pasmo częstotliwości zajęte przez sygnał zmodulowany. Dla modulacji PM wynosi ona $\mathrm{\Delta F}=D_pf_m$ i zależy zarówno od amplitudy jak i częstotliwości sygnału modulującego. Ponadto słuszna jest zależność:

$\beta=\frac{\mathrm{\Delta F}}{f_m}$

(17)

Obliczmy teraz indeks modulacji i dewiację częstotliwości dla modulacji FM. Faza chwilowa wyraża się wzorem (11), co po podstawieniu sygnału harmonicznego wynosi

$\mathrm{\Theta}(t)=2\pi f_0t+D_f\int_0^tcos(2πf_mλ)dλ=2πf_0t+\frac{D_f}{2πf_m} sin(2πf_mt)$

(18)

Największa odchyłka fazy, czyli indeks modulacji wynosi więc $\beta=\frac{D_f}{2\pi f_m}$ . Z kolei dewiację częstotliwości otrzymujemy ze wzoru (14), co po podstawieniu sygnału harmonicznego wynosi

$f(t)=f_0+\frac{D_f}{2\pi}cos(2πf_mt)$

(19)

Dewiacja częstotliwości zależy od amplitudy sygnału modulującegoi nie zależy od częstotliwości: $\mathrm{\Delta F}=\frac{D_f}{2\pi}$ . Nie oznacza to, że częstotliwość sygnału modulującego nie wpływa w ogóle na pasmo częstotliwości sygnału FM. Wpływ ten istnieje, ale jest znacznie mniejszy niż w przypadku modulacji PM. M.in. z tego względu analogowa modulacja częstotliwości jest bardziej popularna niż analogowa modulacja fazy. W radiofonii komercyjnej na falach ultrakrótkich (częstotliwości rzędu 100 MHz) wykorzystuje się modulację FM. Z tego względu w dalszej części podręcznika zajmiemy się modulacją FM.
Zauważmy, że dla modulacji FM również spełniona jest zależność (17): $\beta=\frac{\mathrm{\Delta F}}{f_m}$ .