Podręcznik

Faza sygnału FM jest opisana wzorem (11), a jego przebieg czasowy wynosi

Gdy odchyłka fazy chwilowej $D_f\int_{t_0}^{t}{m(\lambda)d\lambda}$ jest duża, np. przekracza 1 radian, mówimy o szerokopasmowej modulacji częstotliwości: (wideband frequency modulation – WBFM).  Na rys.14 pokazano wyniki symulacji nadajnika FM. Sygnał modulujący jest sygnałem harmonicznym o amplitudzie m: $m(t)=m\ cos(2\pi f_mt)$. Można zaobserwować powiększanie się odchyłki częstotliwości chwilowej wraz ze wzrostem amplitudy sygnału, zgodnie ze wzorem (14): $\ f\left(t\right)=f_0+\frac{D_f}{2\pi}\ m(t)$

Rysunek 14 Sygnały FM dla  m(t)=m cos(2pf_mt)

W ogólnym przypadku obliczenie widma lub gęstości mocy sygnału WBFM nie jest sprawą prostą. Przybliżonego oszacowania gęstości mocy, a co za tym idzie, pasma sygnału FM można dokonać metodą aproksymacji quasi-statycznej. Przyjmuje się wówczas, że sygnał modulujący m(t) jest wolnozmiennym sygnałem przypadkowym o znanej gęstości prawdopodobieństwa wartości chwilowych (próbek) $p_m(x)$.

Rysunek 15 Aproksymacja quasi-statyczna: gęstość prawdopodobieństwa wartości chwilowych sygnału modulującego, gęstość prawdopodobieństwa wartości częstotliwości chwilowej i oszacowana gęstość mocy sygnału FM

Zgodnie ze wzorem (14) wartości chwilowej sygnału modulującego równej x, odpowiada częstotliwość chwilowa sygnału FM, równa $f=f_0+\frac{D_f}{2\pi}x$.  Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej f pokazano na rys.15.  Następnie przyjmujemy, że moc sygnału FM podąża za częstotliwością chwilową. Jest to przybliżenie, jednak tym dokładniejsze, im wolniej zmienia się częstotliwość chwilowa f (stąd nazwa aproksymacja quasi-statyczna). Przy tym założeniu gęstość mocy sygnału FM jest kopią gęstości prawdopodobieństwa częstotliwości chwilowej. Na rys.15 narysowano dwustronną gęstość mocy. 
Znając krańcowe wartości częstotliwości chwilowej, można oszacować pasmo sygnału FM. Wynosi ono 

Gdzie xmax jest amplitudą sygnału modulującego, a $∆F=\frac {D_f}{2π}x_{max}$ jest dewiacją częstotliwości, czyli największą jej odchyłką od częstotliwości fali nośnej.     

Dokładne obliczenie widma sygnału FM jest możliwe dla harmonicznego sygnału modulującego: $m(t)=cos(2\pi f_mt)$.  Wówczas przebieg czasowy sygnału FM o amplitudzie fali nośnej A=1, wynosi:

Wzór (22) przedstawia w istocie dwie modulacje AM – dwuwstęgowe z wytłumioną nośną. Sygnałami modulującymi są cos(bsin(2pf_mt)) i sin(bsin(2pf_mt)). Są to funkcje okresowe, ich okres wynosi 1/fm. Na rys.16-18 pokazano przebiegi tych sygnałów w obrębie jednego okresu dla wybranych wartości indeksu modulacji b. Gdy indeks modulacji b wynosi 1 zauważa się drugą harmoniczną sygnału cos(bsin(2pf_mt)) i pierwszą harmoniczną sygnału sin(bsin(2pf_mt)) – rys.16. Przy b=3 widać wyraźnie wpływ czwartej harmonicznej sygnału cos(bsin(2pf_mt)) i trzeciej harmonicznej sygnału sin(bsin(2pf_mt)) – rys.17. Przy b=10 oba sygnały mają liczne składowe -odpowiednio parzyste i nieparzyste harmoniczne – rys.18.

   Rysunek 16 Sygnały cos[bsin(2pt)] (po lewej) i sin[bsin(2pt))] (po prawej), b=1

Rysunek 17 Sygnały cos[bsin(2pt)] (po lewej) i sin[bsin(2pt))] (po prawej), b=3

Rysunek 18 Sygnały cos[bsin(2pt)] (po lewej) i sin[bsin(2pt))] (po prawej), b=10

Amplitudy składowych harmonicznych omawianych sygnałów opisane są funkcjami Bessela, których argumentem jest indeks modulacji b. Położenie prążków widma obu sygnałów pokazano na rys.19, a na rys.20 – położenie prążków widma sygnału FM, dla harmonicznego sygnału modulującego o częstotliwości f_m. Modulacja amplitudy opisana wzorem (22) przesuwa widmo sygnału modulującego w prawo i w lewo o częstotliwość sygnału modulującego.  Jeśli amplituda fali mośnej wynosi 1, wówczas amplituda składowych widmowych zmniejsza się dwukrotnie  (Rys.3). Na rys.20 pokazano prawostronną część widma, nie opisano również fazy składowych harmonicznych.

Rysunek 19 Położenie prążków widmowych sygnału cos(bsin(2pf_mt)) (u góry) i sygnału sin(bsin(2pf_mt))  (u dołu)

Rysunek 20 Położenie prążków widmowych sygnału FM dla harmonicznego sygnału modulującego

Z wykresów funkcji Bessela (rys.21) wynika, że dla małych wartości indeksu modulacji x=b, tylko nieliczne z nich osiągają wartości na tyle różne od zera, żeby można było mówić o ich wpływie na widmo i pasmo sygnału. I tak, dla wartości b bliskich zeru, widmo składa się z fali nośnej (amplituda J₀) i dwóch prążków bocznych (amplituda J₁). Jest to tzw. Wąskopasmowa modulacja częstotliwości. 

Rysunek 21 Rodzina funkcji Bessela argumentu x

Zwiększenie indeksu modulacji o 1 powoduje “oderwanie się” kolejnej funkcji Bessela od wartości bliskich zeru i pojawienie się dwóch prążków w widmie sygnału FM, co skutkuje poszerzeniem pasma o podwojoną częstotliwość sygnału modulującego. Ta obserwacja stoi u podstaw tzw. prawa Carsona. Prawo Carsona określa szerokość pasma, w którym zawarte jest 98% mocy sygnału FM:

W komercyjnej radiofonii FM obowiązuje norma ustalająca wartość dewiacji częstotliwości równą DF=75kHz. Pasmo sygnału modulującego wynosi  f_M=53 kHz  (jest nim sygnał stereofoniczny, rys.7). Obliczamy stąd pasmo B=256 kHz dla transmisji stereofonicznej w pasmie UKF
Jeżeli częstotliwość sygnału modulującego jest niewielka, wówczas pasmo jest równe podwojonej dewiacji częstotliwości, co już otrzymaliśmy metodą aproksymacji quasi-stacjonarnej (wzór 21).