Podręcznik

W kanale transmisyjnym występuje wiele czynników utrudniających odbiór: szum termiczny, ograniczone pasmo, tłumienie, zaniki, zakłócenia impulsowe, zniekształcenia nieliniowe. Załóżmy, że występuje jedynie szum pochodzenia termicznego o gęstości mocy h W/Hz (dwustronnie h/2 W/Hz). Kod transmisyjny jest binarny, a pasmo kanału równe pasmu sygnału zmodulowanego (rys.33). Wówczas można przyjąć, że symbole transmisyjne pojawiają się na wyjściu kanału w swym pierwotnym kształcie: $s_0^\prime=s_0,\quad s_1^\prime=s_1$. Moc szumu na wyjściu kanału jest równa N=hB. Zakładamy również, że zapewniona jest synchronizacja elementowa, tzn. znane są momenty rozpoczęcia i zakończenia kolejnych symboli. 

Rysunek 33 Uproszczony model kanału transmisyjnego

Zaszumiony sygnał v(t), pojawiający się na wyjściu kanału, powinien być zmierzony w taki sposób, aby wynik pomiaru zawierał całą informację o odebranym symbolu i szumie Ze względu na ograniczone pasmo (B), właściwą metodą pomiarową jest próbkowanie w częstotliwością 2B. W czasie trwania jednego symbolu zgromadzimy w ten sposób N=2BT próbek – rys.34.

Rysunek 34 Pomiar odebranego symbolu metodą próbkowania

Mając wynik pomiaru, czyli wektor  $\mathbf{v}=[v_1,\ v_2,\ldots,v_N]t$,  (t – transpozycja), należy teraz opracować algorytm decyzyjny, który każdemu możliwemu wektorowi v przypisywałby decyzję: 0 lub 1. Oznacza to, że N-wymiarową przestrzeń należy podzielić na dwa zbiory decyzyjne: V₀ i V₁.  Na rys.35 pokazano podział przestrzeni 2-wymiarowej.  Punkty $s_0^\prime,\ s_1^\prime$ to wyniki pomiaru symboli bez szumu, a $p_0(v),\ p_1(v)$ to gęstości prawdopodobieństwa otrzymania wyniku pomiaru równego v przy nadaniu s₀ i s₁ Oznaczmy jeszcze przez P₀ i P₁ prawdopodobieństwa nadania obu symboli (oczywiście P₀+P₁=1).

Rysunek 35 Algorytm decyzyjny w przestrzeni 2-wymiarowej

Błąd wystąpi w dwóch przypadkach: podjęcia decyzji 1 gdy nadano 0 i podjęcia decyzji 0 gdy nadano 1. Prawdopodobieństwo błędnego odbioru wynosi:

Prawdopodobieństwa warunkowe są równe $P\left(1\middle|0\right)=\int_{V_1}^{\ }{p_0\left(v\right)dv}$,   $P\left(0\middle|1\right)=\int_{V_0}^{\ }{p_1\left(v\right)dv}$. 

Ze względu na fakt, że $\int_{V_0}p_1(v)dv+\int_{V_1}p_1(v)dv=1$ , to ostatnie można przepisać w postaci $\int_{V_0}p_1(v)dv=1-\int_{V_1}p_1(v)dv$. Ostatecznie (34) można zapisać następująco:

Minimalizując Pe, mamy wpływ jedynie na podział przestrzeni obserwacji sygnału na dwa zbiory decyzyjne, możemy jedynie zdefiniować V₁. Optymalna reguła decyzyjna polega na zakwalifikowaniu do V₁ wszystkich obserwacji v, dla których funkcja podcałkowa jest ujemna. Całka we wzorze (35) przyjmie wówczas wartość ujemną o jak największej wartości bezwzględnej.  Reasumując, optymalna reguła decyzyjna jest następująca:

Najczęściej oba symbole pojawiają się z tym samym prawdopodobieństwem: $P_0=P_1=\frac{1}{2}$. Wówczas na decyzję ma wpływ jedynie wartość gęstości prawdopodobieństwa: gdy $p_1\left(v\right)>p_0\left(v\right)$ podejmujemy decyzję „1” i odwrotnie.
Należy zauważyć, że kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa $p_1\left(v\right)$ i $p_0\left(v\right)$ jest identyczny, gdyż zależy jedynie od szumu (jest to dwuwymiarowa zmienna o rozkładzie gaussowskim).  Warunek $p_1\left(v\right)>p_0\left(v\right)$ będzie spełniony w punkcie v, który leży bliżej centralnego punktu $s_1^\prime$ niż punktu $s_0^\prime$. Zamiast obliczać wartości $p_1\left(v\right)$ i $p_0\left(v\right)$, można porównywać odległości $||v-s_0^\prime||,\quad||v-s_1^\prime||$. Chodzi o odległości euklidesowe $||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^{N}x_i^2}$, gdyż gaussowska gęstość prawdopodobieństwa jest stała w punktach jednakowo odległych od punktu centralnego (rys.35). Ostatecznie optymalna reguła decyzyjna w przypadku gdy  $P_0=P_1=\frac{1}{2}$ jest następująca:

Oczywiście można też porównywać kwadraty odległości. Zasada minimum odległości opisana wzorem (37) jest łatwa w stosowaniu i intuicyjnie prosta, trzeba jednak pamiętać o warunku $P_0=P_1=\frac{1}{2}$ .