Podręcznik

Zasadę optymalnego odbioru w transmisji binarnej (wzór 37) można przepisać w taki sposób, aby odnosiła się do sygnałów ciągłych:

Pierwszy wiersz (38) można przepisać w następującej postaci:

$\int_{0}^{T}{v^2(t)dt-2}\int_{0}^{T}{v(t)s_1(t)dt+\int_{0}^{T}{s_1^2(t)dt\ $

a następnie uprościć i podzielić stronami przez (-2):

Wzór (39) przedstawia zasadę działania odbiornika optymalnego w układzie korelatora – rys.36. 

Rysunek 36 Odbiornik optymalny kodu binarnego w układzie korelatora

Istotnie, całka $\int_{0}^{T}{v(t)s_1(t)dt}$ przedstawia korelację sygnału odebranego z jednym z symboli.  Z kolei $E_1=\int_{0}^{T}{s_1^2(t)dt\ }$ jest energią symbolu.
Wzór (39) można przepisać w nieco inny sposób:

Jeśli korelacja sygnału odebranego v(t) z sygnałem różnicowym $p(t)=s_1(t)-s_0(t)$ przekracza próg decyzyjny $\frac{1}{2}E_1-\frac{1}{2}E_0$ , wówczas podejmujemy decyzję, że odebrany sygnał jest zaszumionym sygnałem $s_1(t)$. W przeciwnym wypadku uznajemy ten sygnał za $s_0(t)$. Schemat zmodyfikowanego korelatora pokazano na rys.37. Korelację oznaczono przez y. 

Rysunek 37 Korelator z progiem decyzyjnym

Przy okazji warto zapoznać się z popularnym w teorii sygnałów pojęciem filtru dopasowanego. Układ obliczania korelacji (mnożenie i całkowanie na rys.37) można zastąpić filtrem dopasowanym do sygnału p(t). 
Z wyjścia filtru pobieramy próbkę pod koniec szczeliny czasowej przeznaczonej na odbiór symbolu – rys.38. Jest ona równa korelacji y z rys.37, co wynika z następujących przekształceń.

Rysunek 38 Odbiornik optymalny z filtrem dopasowanym

Odpowiedź impulsowa filtru wynosi h(t) = p(T-t). Sygnał wyjściowy filtru jest splotem sygnału wejściowego z odpowiedzią impulsową:

$y(t)=v(t)\ast h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{v(\tau)h(t-\tau)d\tau}=\int_{-\infty}^{\infty}{v(\tau)p(T-t+\tau)d\tau}$

Próbka sygnału y(t) pobrana w momencie t=T wynosi

Kończy to dowód, że obliczanie korelacji można zastąpić filtracją dopasowaną.
Odbiornik przetwarzający próbki sygnałów (wzór 37), jak i odbiorniki przetwarzające sygnały ciągłe: wzór 38, rys. 26, rys.37, rys.38, realizują tę samą zasadę minimum odległości i są sobie równoważne. W szczególności oferują tę samą stopę błędów. Wynosi ona 

gdzie $E_{10}=\int_{0}^{T}{p^2(t)dt}$ jest energią sygnału różnicy $p(t)=s_1(t)-s_0(t)$, h jest gęstością mocy szumu na wyjściu kanału, a $erfc{(}x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_{x}^{\infty}{exp{(}-u^2)du}$ jest tzw. komplementarną funkcją błędu. Jest ona silnie malejąca (rys.39), dlatego dążymy do jak największej wartości E₁₀. Jest to oczywiste, gdyż energia E₁₀ jest miarą różnicy między symbolami, która powinna być jak największa, jeśli mamy te sygnały rozpoznać w obecności szumu.  Pamiętajmy poza tym, że wzór (42) obowiązuje dla transmisji binarnej przy założeniu, że oba symbole pojawiają się z jednakowym prawdopodobieństwem.

Rysunek 39 Komplementarna funkcja błędu