Podręcznik

Dla każdej pary symboli  $s_1\left(t\right),\ \ s_0(t)$  można zastosować odbiornik optymalny. Prawdopodobieństwo błędnego odbioru symbolu P_e (42) będzie tym mniejsze, im większa jest różnica sygnałów, której miarą jest energia E₁₀. Energię tę można zwiększyć przez zwiększenie amplitud obu symboli, wymagałoby to jednak zwiększenia mocy nadajnika. Moc nadajnika możemy obliczyć, dzieląc średnią energię symbolu transmisyjnego przez czas jego trwania:

Tę samą moc zmierzymy na wyjściu kanału, gdyż zakładamy że kanał nie tłumi sygnału (rys.33). Jeżeli $P_0=P_1=\frac{1}{2}$ , wówczas $S=\frac{1}{2T}(E_1+E_0)$.  Problemem jest taki dobór symboli  $s_1\left(t\right),\ \ s_0(t)$  aby osiągnąć maksimum E₁₀ przy danej mocy sygnału S.  Nietrudno wykazać, że taka para symboli powinna różnić się znakiem, sam kształt symbolu nie ma znaczenia:

Jest to bipolarny kod transmisyjny. Oba sygnały tego kodu mają jednakową energię $E_1=E_0=ST$. Sygnał różnicowy p(t) wynosi $p(t)=s_1(t)-s_0(t)=2s_1(t)$, a jego energia jest 4 razy większa niż E₁ (pamiętamy że energia jest całką z sygnału podniesionego do kwadratu):$E_{10}=4E_1=4ST$. Podstawiając E₁₀ do wzoru (42), otrzymuje się wzór na stopę błędów kodu bipolarnego: 

Stopa błędów maleje, gdy zwiększa się moc sygnału S i czas jego trwania T. W kodzie binarnym transmituje się 1/T symboli na sekundę i tyle samo bitów na sekundę. Oznacza to, że powolna transmisja jest bardziej odporna na szumy w kanale. Wzór (45) jest słuszny dla każdej pary sygnałów spełniających warunek (44): może to być para impulsów prostokątnych, ale także dwuwartościowa modulacja PSK (31).
Zajmijmy się teraz kodem unipolarnym, w którym jeden z symboli jest sygnałem równym zero:  $s_0\left(t\right)=0$.
Średnia moc sygnału wynosi  $S=\frac{E_1P_1+E_0P_0}{T}=\frac{E_1P_1}{T}=\frac{E_1}{2T}$  Sygnał różnicowy $p\left(t\right)=s_1\left(t\right)-s_0\left(t\right)=s_1\left(t\right)$, w związku z tym ) $E_{10}=E_1=2ST$. Podstawiając E₁₀ do wzoru (42), otrzymuje się wzór na stopę błędów kodu unipolarnego:

Porównując ze wzorem (45), zauważamy, że przy tej samej mocy nadajnika, szybkości transmisji i szumie w kanale, we wzorze (46) mamy mniejszy argument funkcji erfc, a więc większą wartość tej funkcji i większe prawdopodobieństwo błędnego odbioru symbolu. Reasumując, kod bipolarny jest bardziej odporny na szumy w kanale– rys,40.  Wzór (46) określa stopę błędów dla każdej modulacji binarnej, w której jeden z dwóch sygnałów jest równy zeru, np. modulacji OOK (rys.26).  

Rysunek 40 Stopa błędów kodu unipolarnego i bipolarnego

Pamiętamy, że porównywaliśmy kod unipolarny i bipolarny w warunkach, gdy oba sygnały były nadawane z jednakowym prawdopodobieństwem. Jedynie w tych warunkach obowiązuje zasada minimum odległości (37) i wzór (42) jest słuszny.  
Naruszenie tego warunku wydawałoby się korzystne w przypadku kodu unipolarnego. Jeżeli sygnał $s_0\left(t\right)=0$ pojawia się częściej niż $s_1\left(t\right)\neq0$, czyli $P_1$, wówczas średnia moc sygnału unipolarnego wynosi  $S=\frac{E_1P_1+E_0P_0}{T}=\frac{E_1P_1}{T}$.  Zmniejszając P₁, można zwiększać energię E₁, zachowując stałą moc nadajnika S. Większa energia to większa amplituda symbolu $s_1\left(t\right)$, co sprawia, że łatwiej ten symbol odróżnić od symbolu zerowego.  Można się zatem spodziewać zmniejszenia stopy błędów P_e. Czytelnik będzie się mógł o tym przekonać, wykonując ćwiczenie symulacyjne (Ćw.4 – transmisja cyfrowa – kody transmisyjne).
Dlaczego nie stosujemy w praktyce tego sposobu zwiększania odporności na szumy w kanale? Odpowiedź podsuwa teoria informacji – naruszając równowagę prawdopodobieństw P₁ i P₀, zmniejszamy ilość transmitowanej informacji. 
Ilość informacji przenoszona przez jeden sygnał jest odwrotnie proporcjonalna do prawdopodobieństwa nadania tego sygnału. Jest to intuicyjnie jasne: rzadko występujące zdarzenie, gdy już wystąpi, dostarcza nam dużej porcji informacji. Definiując ilość informacji używa się też logarytmu, gdyż przy zaistnieniu dwóch niezależnych zdarzeń, ich prawdopodobieństwa się mnoży, a ilości informacji dodaje. Przy podstawie logarytmu równej 2, wyrażamy ilość informacji w bitach.  I tak, sygnał  $s_0(t)$ przenosi ${log}_2{\frac{1}{P_0}}$ bitów, a sygnał $s_1(t)$ przenosi ${log}_2{\frac{1}{P_1}}$ bitów.  Średnia ilość informacji przenoszona przez jeden symbol jest nazywana entropią i wyraża się wzorem:

Biorąc pod uwagę, że $P_0+P_1=1$, otrzymujemy entropię jako funkcję P₁. Wykres tej funkcji (rys.40) został otrzymany przez C. Shannona w połowie XX w. Przesyłamy 1 bit informacji na symbol transmisyjny, gdy oba sygnały pojawiają się z jednakowym prawdopodobieństwem. Gdy naruszymy tę równowagę, zmniejszamy ilość transmitowanej informacji. 

Rysunek 41 Entropia w transmisji binarnej