Podręcznik

Modulacje wielowartościowe zapewniają lepsze wykorzystanie pasma kanału. Pasmo ogranicza liczbę symboli przesyłanych w ciągu sekundy (baud rate), natomiast z wartościowością związana jest liczba bitów zakodowanych w jednym symbolu ($\log_2{M}$ bitów na symbol w modulacji M-wartościowej). 
Jeżeli symbole $s_1\left(t\right),s_2\left(t\right),\ldots\ s_M\left(t\right)$ pojawiają się z jednakowym prawdopodobieństwem ($P_i=\frac{1}{M}$), wówczas obowiązuje zasada minimum odległości: poszukuje się symbolu najbliższego (w sensie odległości euklidesowej) odebranemu sygnałowi v(t). Dla M=4 – wartościowej modulacji i sygnałów reprezentowanych przez N=2 próbki pokazano to na rys. 42. Granice obszarów decyzyjnych przebiegają w równej odległości od najbliższych punktów reprezentujących niezaszumione symbole.

Rysunek 42 Zasada minimum odległości – modulacja 4-wartościowa

Zasada minimum odległości prowadzi również do innej równoważnej struktury odbiornika optymalnego – do korelatora. Przetwarzając sygnały ciągłe, wygodniej jest sformułować tę zasadę w następujący sposób:

Minimalizację  wyrażenia $\int_{0}^{T}{v^2\left(t\right)dt}-2\int_{0}^{T}{v\left(t\right)s_i\left(t\right)dt}+\int_{0}^{T}[s_i(t)]^2dt$ można zastąpić maksymalizacją wyrażenia o przeciwnym znaku. Po usunięciu pierwszej całki (nie zależy ona od symbolu) i podzieleniu przez 2 otrzymujemy regułę decyzyjną:

Jej implementacja jest identyczna jak dla modulacji binarnej – porównaj rys. 36 i rys.43.

Rysunek 43 Odbiornik optymalny w układzie korelatora

Powiększenie wartościowości prowadzi do szybszej transmisji, jednak czyni modulację bardziej wrażliwą na szumy w kanale. Można się o tym przekonać, wykonując ćwiczenie 5: transmisja cyfrowa – modulacje cyfrowe. 

Wartościowość modulacji może sięgać kilkudziesięciu (rys.30) a nawet kilkuset, szczególnie w przypadku modulacji QAM i AM-PM. Odbiornik z rys.43 musiałby wówczas zawierać wielką liczbę elementarnych układów korelujących. Dla sygnałów typu PSK, QAM, AM-PM, opisanych wzorem (32): $s_i\left(t\right)=A_i\cos{(2\pi f_0t+\varphi_i)}$ liczbę korelatorów można zredukować do dwóch. Taki odbiornik nazywa się odbiornikiem kwadraturowym (rys.44). Jest on równoważny układowi korelatora w tym sensie, że dla tych samych sygnałów wejściowych zwraca te same decyzje.  Odbiornik kwadraturowy oblicza korelacje sygnału wejściowego z ortogonalną parą sygnałów cos i (-sin).  Gdyby nie było szumu, to otrzymana para korelacji (x,y) stanowiłaby współrzędne punktu konstelacji, opisującego odebrany sygnał: $\left(x,y\right)=(A_i\cos{\varphi_i},A_i\sin{\varphi_i})$ – rys.28. Pokażmy, że $x=A_i\cos{\varphi_i}$ .

Rysunek 44 Odbiornik kwadraturowy

Na wejście podajemy i-ty symbol bez szumu:  $v(i)=A_icos{(}2\pi f_0t+φi)$. Po pomnożeniu przez  $\frac{2}{T}cos{(}2\pi f_0t)$ otrzymamy, stosując wzór  $\cos{\alpha\ \cos{\beta}}=\frac{1}{2}[\cos{\left(\alpha-\beta\right)+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}}]$ :

Całkując sygnał o wartości stałej :  $A_i/Tcos{(}\varphi_i)$, otrzymamy $A_icos{(}\varphi_i)$. Jeśli w przedziale czasu 0-T znajduje się całkowita liczba okresów sygnału $cos{(}4\pi f_0t)$ , wówczas całka z tego sygnału jest równa zeru. Ostatecznie otrzymujemy:

W podobny sposób można pokazać, że $y=A_i{sin\varphi}_i{\ }$. Gdy na wejście podamy symbol z szumem, otrzymamy parę korelacji x, y , czyli zmierzone z błędem współrzędne punktu konstelacji odebranego symbolu. Należy teraz obliczyć odległość euklidesową od punktu (x,y) do wszystkich punktów konstelacji stosowanej modulacji, wybrać najmniejszą odległość i podjąć decyzję. 
Na rys.45 pokazano wyniki pomiaru (x,y) dla 25000 symboli modulacji 16QAM. Przy silnym szumie(SNR=6 dB)  odbiornik optymalny nie działa prawidłowo – stopa błędów przekracza 0.1. 

Rysunek 45 Odbiór 25000 symboli 16QAM z wykorzystaniem odbiornika kwadraturowego

Stopa błędów odbiornika optymalnego modulacji wielowartościowej zależy od wartościowości modulacji (in większa wartościowość, tym trudniej wybrać właściwy symbol), konstelacji punktów i szumu. Konstelacja pokazana na rys 45 dość równomiernie wypełnia płaszczyznę, można jednak znaleźć lepszą (patrz ćwiczenie symulacyjne nr 5). Porównując modulacje, należy tez wziąć pod uwagę pasmo i efektywność widmową. Na rys.46 porównano szereg modulacji, notując efektywność widmową i SNR na wyjściu kanału przy ustalonej stopie błędów 0.0001.Obniżenie dopuszczalnej stopy błędów w niewielkim stopniu wpływa na wyniki. SNR wyrażono jako stosunek energii przypadającej na 1 bit do gęstości mocy szumu na wyjściu kanału (28).  Zbadano następujące modulacje:

• Modulacje amplitudy AM (zwane też ASK – Amplitude Shift Keying). Wszystkie punkty konstelacji leżą na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Dopuszcza się rozmieszczanie punktów po obu stronach początku układu. 
• Modulacje fazy (kluczowanie fazy - PSK – Phase Shift Keying). Wszystkie symbole mają tę samą amplitudę, punkty konstelacji leżą więc na okręgu. 
• QAM (Quadrature Amplitude Modulation)–rys.30.

Modulacje wielowartościowe oferują lepszą efektywność widmową, ale wymagają lepszego kanału (wyższe wartości SNR). QAM jest bardziej odporna na szumy w kanale niż ASK i PSK, dzięki wykorzystaniu różnych amplitud i faz swoich konstelacjach. Nie jest możliwe jednoczesne osiągnięcie wysokiej efektywności widmowej i odporności na szum w kanale. Na lewo od krzywej oznaczonej jako granica Shannona nie istnieje żadna modulacja. Jeśli stosunek energii na bit do gęstości mocy szumu jest niższy niż $\frac{1}{\sqrt2}$ (czyli -1.505 dB), wówczas transmisja z niską stopą błędów w ogóle nie jest możliwa. O granicznych parametrach transmisji będzie mowa w końcowej części tego modułu.

Rysunek 46 Porównanie modulacji cyfrowych