Podręcznik: Kwantyzator równomierny

2. Kwantyzacja skalarna i kodery PCM

2.3. Kwantyzator równomierny

Popularne przetworniki analogowo-cyfrowe wykorzystują najczęściej kwantyzację równomierną. W kwantyzatorze równomiernym odległości sąsiednich poziomów są równe (rys.4). W przypadku sygnałów audio są one symetrycznie rozmieszczone od wartości (-z) do (+z). Jest to zakres pracy kwantyzatora, próbki większe od z lub mniejsze od (-z) są zaokrąglane do poziomów krańcowych (y₁ lub y_L ), najczęściej z dużym błędem wynikającym z przesterowania.

Rysunek 4 Poziomy kwantyzacji kwantyzatora równomiernego

Jeżeli nie występuje przesterowanie, wówczas błąd kwantyzacji nie przekracza połowy odległości sąsiednich poziomów: $|e|\le\frac{\mathrm{\Delta}}{2}$ . Przyjmując równomierny rozkład wartości błędu w przedziale - $\frac{\mathrm{\Delta}}{2}$ (rys.5), można obliczyć moc błędu kwantyzacji:

$\sigma_e^2=\int_{-\infty}^{\infty}{p_e\left(e\right)\ e^2de}=\int_{-\mathrm{\Delta}/2}^{\mathrm{\Delta}/2}{\frac{1}{\mathrm{\Delta}}e^2de}=\frac{2}{\mathrm{\Delta}}\int_{0}^{\mathrm{\Delta}/2}{e^2de}=\frac{2}{\mathrm{\Delta}}\left[\frac{1}{3}e^3\right]_0^{\mathrm{\Delta}/2}=\frac{2}{\mathrm{\Delta}}\left(\frac{1}{3}\frac{\mathrm{\Delta}^3}{8}\right)=\frac{1}{12}\mathrm{\Delta}^2$

(9)

Rysunek 5 Gęstość prawdopodobieństwa wartości błędu kwantyzacji w kwantyzatorze równomiernym

Podstawiając $\mathrm{\Delta}=2z/(L-1)\approx2z/L$ obliczymy SNRq kwantyzatora równomiernego w decybelach:

${SNR}_q[dB]=10log_{10}\frac{σ_x^2}{σ_e^2}=10log_{10}(σ_x^2)-10log_{10}(\frac1{12}Δ^2)=\\=\sigma_x^2[dB]-10log_{10}(\frac{4z^2}{12L^2})=σ_x^2[dB]-20log_{10}(z)+20log_{10}(L)+4.77$

(10)

Ze wzoru (10) wynika, że SNR podąża za mocą sygnału. Ponieważ moc szumu kwantyzacji nie zależy od mocy sygnału (zależy jedynie od wartości $\mathrm{\Delta}$ ), wobec tego ${SNR}_q=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2}$ jest proporcjonalne do $\sigma_x^2$ . Należy jednak pamiętać, że wzór (10) opisuje działanie kwantyzatora równomiernego bez przesterowania. Gdy pojawi się przesterowanie, błąd kwantyzacji szybko rośnie i SNR spada (rys.6).

Rysunek 6 SNR w funkcji mocy sygnału dla kwantyzatora równomiernego

Jakość sygnału (reprezentowana przez SNR) oczywiście rośnie gdy rośnie liczba poziomów kwantyzacji. Podstawiając $L=2^b$ , gdzie b to liczba bitów przeznaczona na zakodowanie jednej próbki, do wzoru (10) otrzymuje się:

${SNR}_q[dB]=σ_x^2[dB]-20log_{10}(z)+20log_{10}(2^b)+4.77=\\=\sigma_x^2[dB]-20log_{10}(z)+20blog_{10}(2)+4.77=\\=\sigma_x^2[dB]-20log_{10}(z)+6.02b+4.77$

(11)

Zwiększenie przepływności binarnej o 1 bit na próbkę pociąga za sobą wzrost SNR o około 6 dB. Nazwijmy to zasadą „6 dB na bit”. Aby ja zrozumieć, nie trzeba formalnych obliczeń: Dodanie jednego bitu prowadzi do dwukrotnego zwiększenia liczby poziomów kwantyzacji. Odległości miedzy nimi zmniejszą się dwukrotnie, a więc dwukrotnie zmaleją wartości błędu kwantyzacji. Dwukrotne zmniejszenie amplitudy to czterokrotne zmniejszenie mocy szumu kwantyzacji. SNR wzrośnie więc 4-krotnie. Ponieważ $10{log}_{10}{(}4)\approx6$ , to mamy przyrost SNR o 6 dB. Zaznaczono to na rys.6, porównując SNR dla przetwornika 7-bitowego (128 poziomów kwantyzacji) i 8-bitowego (256 poziomów).
Największą wadą kwantyzatora równomiernego jest szybki spadek SNR dla sygnałów o małej amplitudzie. W telefonii oznacza to niską jakość sygnałów cichych lub wytłumionych w łączach analogowych doprowadzających sygnał do przetwornika analogowo-cyfrowego.
W przypadku gdy dysponujemy większą przepływnością binarną, spadek jakości nie będzie zauważalny, gdyż wystąpi dla sygnałów o bardzo niskiej amplitudzie, wręcz niesłyszalnych. Jest to przypadek CD-Audio, gdzie b=16 bitów na próbkę i przy pełnym wysterowaniu kwantyzatora można spodziewać się SNR o wartości ponad 90 dB.