Układy logiczne

Fakt: Każda skończona algebra Boole’a $(A, \cup, \cap, -, 0, 1)$ ma $2^n$ elementów, tzn. istnieje takie $n \in N$, że $card(A)=2^n$

W każdej algebrze Boole’a oprócz wymienionych wyżej 14 aksjomatów prawdziwe są równości

$-1=0, \quad-0=1$
$-(-x)=x$
$-(x \cup y)= -x \cap -y$
$-(x \cap y)= -x \cup -y$

Ostatnie dwie równości noszą nazwę praw de Morgana

Homomorfizm i izomorfizm algebr Boole’a nie różnią się od tych pojęć dla przypadku dowolnej algebry abstrakcyjnej. Homomorfizm dwóch algebr Boole’a $(A_1, \cup, \cap, -, 0, 1)$ i $(A_2, \cup, \cap, -, 0, 1)$ to odwzorowanie $h:A_1 \rightarrow A_2$ zachowujące działania algebry Boole’a tzn. takie, że dla każdego $a, b \in A_1$ mamy

$h(a \cup b)=h(a) \cup h(b), \quad h(a\cap b)=h(a)\cap h(b)$
$h(-a)=-h(a), \hspace{4em} h(0)=0, \quad h(1)=1$

Izomorfizm to homomorfizm różnowartościowy i „na”.