Układy logiczne

Fakt: Każda skończona algebra Boole’a \((A, \cup, \cap, -, 0, 1)\) ma \(2^n\) elementów, tzn. istnieje takie \(n \in N\), że \(card(A)=2^n\)

W każdej algebrze Boole’a oprócz wymienionych wyżej 14 aksjomatów prawdziwe są równości

\(-1=0, \quad-0=1\)
\(-(-x)=x\)
\(-(x \cup y)= -x \cap -y\)
\(-(x \cap y)= -x \cup -y\)

Ostatnie dwie równości noszą nazwę praw de Morgana

Homomorfizm i izomorfizm algebr Boole’a nie różnią się od tych pojęć dla przypadku dowolnej algebry abstrakcyjnej. Homomorfizm dwóch algebr Boole’a \((A_1, \cup, \cap, -, 0, 1)\) i \((A_2, \cup, \cap, -, 0, 1)\) to odwzorowanie \(h:A_1 \rightarrow A_2\) zachowujące działania algebry Boole’a tzn. takie, że dla każdego \(a, b \in A_1\) mamy

\(h(a \cup b)=h(a) \cup h(b), \quad h(a\cap b)=h(a)\cap h(b)\)
\(h(-a)=-h(a), \hspace{4em} h(0)=0, \quad h(1)=1\)

Izomorfizm to homomorfizm różnowartościowy i „na”.