Układy logiczne

Niech $X$ będzie dowolnym, ustalonym, niepustym zbiorem, $A=\{\varnothing,X\}$, a działania $\cup, \cap, -$ zwykłymi działaniami teoriomnogościowymi sumy iloczynu i uzupełnienia zbioru a ponadto niech $0 \stackrel{df}{=} \varnothing,\ 1 \stackrel{df}{=}X$. Tak zdefiniowana algebra jest, jak łatwo sprawdzić, dwuelementową algebrą Boole'a.

Niech $A=\{0,1\}$. Rozważmy algebrę $(\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)$. Wprowadzamy w zbiorze $\{0,1\}$ następujące działania: $"+", "\cdot", "\bar{}"$.

$"+"$ - nazywamy sumą logiczną (lub dysjunkcją)
$"\cdot"$ - nazywamy mnożeniem logicznym (lub koniunkcją)
$"\bar{}"$ - nazywamy negacją

Suma logiczna (dysjunkcja) $+$, iloczyn logiczny $(\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)$ (koniunkcja) i negacja są zdefiniowane tabelkami:

$\begin{array}{ c|c|c } + & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ c|c|c } \cdot & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ c|c|c } \bar{} & 0 & 1\\ \hline & 1 & 0 \end{array}$

Łatwo można sprawdzić, że tak zdefiniowana algebra $(\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)$ jest algebrą Boole’a, tzn. spełnione są w niej wszystkie aksjomaty algebry Boole’a. Oczywiście jest to 2-elementowa algebra Boole’a. Mówiąc 2-elementowa algebra Boole’a, mamy z reguły na myśli ten konkretny przykład. Oczywiście wszystkie podane dotychczas ogólne własności algebry Boole’a pozostają prawdziwe jeśli pamiętamy o odpowiedniości

$"+"$ odpowiada $"\cup"$
$"\cdot"$ odpowiada $"\cap"$
$"\bar{}"$ odpowiada $"-"$