Układy logiczne

Niech \(X\) będzie dowolnym, ustalonym, niepustym zbiorem, \(A=\{\varnothing,X\}\), a działania \(\cup, \cap, -\) zwykłymi działaniami teoriomnogościowymi sumy iloczynu i uzupełnienia zbioru a ponadto niech \(0 \stackrel{df}{=} \varnothing,\ 1 \stackrel{df}{=}X\). Tak zdefiniowana algebra jest, jak łatwo sprawdzić, dwuelementową algebrą Boole'a.

Niech \(A=\{0,1\}\). Rozważmy algebrę \((\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)\). Wprowadzamy w zbiorze \(\{0,1\}\) następujące działania: \("+", "\cdot", "\bar{}"\).

\("+"\) - nazywamy sumą logiczną (lub dysjunkcją)
\("\cdot"\) - nazywamy mnożeniem logicznym (lub koniunkcją)
\("\bar{}"\) - nazywamy negacją

Suma logiczna (dysjunkcja) \(+\), iloczyn logiczny \((\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)\) (koniunkcja) i negacja są zdefiniowane tabelkami:

\(\begin{array}{ c|c|c } + & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ c|c|c } \cdot & 0 & 1\\ \hline 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{ c|c|c } \bar{} & 0 & 1\\ \hline & 1 & 0 \end{array}\)

Łatwo można sprawdzić, że tak zdefiniowana algebra \((\{0,1\},+,\cdot,\bar{},0,1)\) jest algebrą Boole’a, tzn. spełnione są w niej wszystkie aksjomaty algebry Boole’a. Oczywiście jest to 2-elementowa algebra Boole’a. Mówiąc 2-elementowa algebra Boole’a, mamy z reguły na myśli ten konkretny przykład. Oczywiście wszystkie podane dotychczas ogólne własności algebry Boole’a pozostają prawdziwe jeśli pamiętamy o odpowiedniości

\("+"\) odpowiada \("\cup"\)
\("\cdot"\) odpowiada \("\cap"\)
\("\bar{}"\) odpowiada \("-"\)