1. Algebra Boole’a

1.4. Lista podstawowych własności dla 2-elementowej algebry Boole’a

(1) \qquad x+y=y+x, \quad x \cdot y=y \cdot x (przemienność sumy i iloczynu)
(2) \qquad x+(y+z)=(x+y)+z, \quad x \cdot(y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z (łączność sumy i iloczynu)
(3) \qquad x+x=x, \quad x \cdot x=x (idempotentność)
(4) \qquad x+(x \cdot y) =x, \quad x \cdot (x+y)=x (prawa pochłaniania)
(5) \qquad x \cdot (y+z)=(x \cdot y)+(x \cdot z) (rozdzielczość mnożenia względem dodawania)
  \qquad x+(y \cdot z)=(x+y) \cdot (x+z) (rozdzielczość dodawania względem mnożenia)
(6) \qquad x+0=x, \quad x \cdot 1=x  
(7) \qquad x+\overline{x}=1, \quad x \cdot \overline{x}=0  
(8) \qquad \overline{1}=0, \quad \overline{0}=1  
(9) \qquad \stackrel{=}{x}=x (prawo podwójnego przeczenia)
(10) \qquad \overline{(x+y)}=\overline{x} \cdot \overline{y}  
(11) \qquad \overline{(x \cdot y)}=\overline{x} + \overline{y}  

 

Równości (1)-(7) to aksjomaty algebry Boole’a. Wzory (10) i (11) są prawami de Morgana dla 2-elementowej algebry Boole'a.