1. Algebra Boole’a

1.4. Lista podstawowych własności dla 2-elementowej algebry Boole’a

(1) \(\qquad x+y=y+x, \quad x \cdot y=y \cdot x\) (przemienność sumy i iloczynu)
(2) \(\qquad x+(y+z)=(x+y)+z, \quad x \cdot(y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z\) (łączność sumy i iloczynu)
(3) \(\qquad x+x=x, \quad x \cdot x=x\) (idempotentność)
(4) \(\qquad x+(x \cdot y) =x, \quad x \cdot (x+y)=x\) (prawa pochłaniania)
(5) \(\qquad x \cdot (y+z)=(x \cdot y)+(x \cdot z)\) (rozdzielczość mnożenia względem dodawania)
  \(\qquad x+(y \cdot z)=(x+y) \cdot (x+z)\) (rozdzielczość dodawania względem mnożenia)
(6) \(\qquad x+0=x, \quad x \cdot 1=x\)  
(7) \(\qquad x+\overline{x}=1, \quad x \cdot \overline{x}=0\)  
(8) \(\qquad \overline{1}=0, \quad \overline{0}=1\)  
(9) \(\qquad \stackrel{=}{x}=x\) (prawo podwójnego przeczenia)
(10) \(\qquad \overline{(x+y)}=\overline{x} \cdot \overline{y}\)  
(11) \(\qquad \overline{(x \cdot y)}=\overline{x} + \overline{y}\)  

 

Równości (1)-(7) to aksjomaty algebry Boole’a. Wzory (10) i (11) są prawami de Morgana dla 2-elementowej algebry Boole'a.