Zadania i pytania kontrolne

1. Posługując się rysunkiem znaleźć wszystkie rozwiązania następujących zadań:

a)  \(3x_1 + 2x_2 → \mathrm{max} x\)    p.o. \(–x_1 + 2x_2 ≤ 4, \,3x_1 + 2x_2 ≤ 14, \,x_1 – x_2 ≤ 3,\, –x_1 ≤ 0,\, –x_2 ≤ 0;\)

b) \(6x_1 + 6x_2 → \mathrm{max} x\)     p.o. \(x_1 + x_2 ≤ 10,\, -2x_1+x_2≤4, \,–x_1 ≤ 0, –x_2 ≤ 0;\)

c)  \(x_1 + 5x_2 → \mathrm{max} x\)    p.o. \(x_1 + 3x_2 ≤ 5,\, 2x_1 + x_2 = 4,\, –x_1 + 2x_2 ≤ –1,\, –x_1 ≤ 0, –x_2 ≤ 0.\)

2. W zadaniu PLin w postaci ogólnej

zmieniono funkcję celu na \(c^T x+k,\,k<0\). Jak ta zmiana wpłynie na rozwiązanie zadania z nową funkcją, a jak na optymalną wartość funkcji celu dla tego nowego zadania?

3. Czy w zadaniu PLin może wystąpić optimum lokalne, odpowiedź uzasadnić. 

4. Czy w zadaniu PLin może nie być ograniczeń, odpowiedź uzasadnić.

5. Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące zadanie PLin

\(-2x_1+7x_3-11x_4→\mathrm{max}_ x\)

"p.o."  \(-x_1-x_2+x_3+2x_4≥15\)

    \( -x_1+x_2+x_3+x_4≤-6\)

    \( x_i≥0,\,i=1,2,3.\)

6. Naszkicować w przestrzeni trójwymiarowej rysunek przedstawiający następujący zbiór dopuszczalny

\(D={x∈\mathbb{R}^3 |x_1+x_2+x_3=2∧x_1-x_2+x_3=2∧(∀i)x_i≥0}.\)

Pokazać, że wektor \(x = (1,\, 0, \,1)\) nie jest dopuszczalnym wektorem bazowym dla tego zbioru.

7. Proszę zapoznać się z możliwościami jakie daje darmowe oprogramowanie przedstawione na stronie AMPLa (A Modeling Language for Mathematical Programming)  https://ampl.com/ ; a następnie spróbować je wykorzystać, np. do znalezienia rozwiązania zadania 1. Modułu pierwszego. 

Interesujące informacje na temat programowania liniowego można znaleźć na stronie https://ibmdecisionoptimization.github.io/tutorials/html/Linear_Programming.html ;