Podręcznik: Pola fali płaskiej

1. Wprowadzenie

1.10. Pola fali płaskiej

Fala wypromieniowana przez antenę nadawczą rozchodzi się we wszystkich kierunkach, choć oczywiście pewne kierunki są uprzywilejowane, o czym mówi charakterystyka anteny. Z punktu widzenia anteny odbiorczej oddalonej odpowiednio daleko, o wiele kilometrów, fala dochodząca do niej jest falą płaską. Wartości chwilowe wektorów pól elektrycznego i magnetycznego tej fali są takie same w każdym punkcie płaszczyzny prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Na podstawie równania falowego możemy znaleźć matematyczny opis takiej fali.
Rozważamy przypadek, w którym składowe pola są harmonicznymi funkcjami czasu. Wykorzystujemy równania Helmholtza w postaci (1-37). Możemy je zapisać w kartezjańskim układzie współrzędnych w formie (1-39):

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial z^2}-\gamma^{2}\mathbf{E}=0$

$\frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial z^2}-\gamma^{2}\mathbf{H}=0$

(1-39)

Pierwsze równanie musi być spełnione dla każdej ze składowych E_x, E_y i E_z pola elektrycznego, a drugie dla analogicznych składowych pola magnetycznego.
Stwierdzamy, nie wdając się w matematyczne uzasadnienia, że dla fali płaskiej natężenie pola elektrycznego E i magnetycznego H są wektorami poprzecznymi E_T i H_T do kierunku propagacji, i mówimy, że fala płaska jest falą poprzeczną czyli typu TEM (ang. Transverse Electro- Magnetic).
Przyjmijmy, że fala rozchodzi się wzdłuż osi z. Wektory E_T i H_T leżą w płaszczyźnie xy i są niezależne od współrzędnych x i y, co oznacza

$\frac{\partial \mathbf{E}_{T}}{\partial x}=\frac{\partial \mathbf{E}_{T}}{\partial y}=0;\, \, \, \frac{\partial \mathbf{H}_{T}}{\partial x}=\frac{\partial \mathbf{H}_{T}}{\partial y}=0;$

(1-40)

Pamiętajmy, że dla omawianego przypadku

$\mathbf{E}_{T}=\mathbf{i}_{x}E_{x}+\mathbf{i}_{y}E_{y};\, \, \, \mathbf{H}_{T}=\mathbf{i}_{x}H_{x}+\mathbf{i}_{y}H_{y};$

(1-41)

Równania (1-39) upraszczają się do

$\frac{\partial^2 \mathbf{E}_T}{\partial z^2}-\gamma^{2}\mathbf{E}_T=0;$

$\frac{\partial^2 \mathbf{H}_T}{\partial z^2}-\gamma^{2}\mathbf{H}_T=0;$

(1-42)

Rozwiązania równań (1-42) mają prostą dwuczłonową postać (1-43):

$\mathbf{E}_T(z)=\mathbf{E}^{+}_{T0} e^{-\gamma z}+\mathbf{E}^{-}_{T0} e^{\gamma z};$

$\mathbf{H}_T(z)=\mathbf{H}^{+}_{T0} e^{-\gamma z}+\mathbf{H}^{-}_{T0} e^{\gamma z};$

(1-43)

Obecność dwóch członów w rozwiązaniach, to dwie fale rozchodzące się wzdłuż osi z:
• fala postępująca propagowana zgodnie z kierunkiem osi z o czym informuje czynnik e-γz;
• fala powracająca rozchodzi się w kierunku przeciwnym do osi z co opisuje eγz.
Przyjmijmy, że mamy tylko falę postępującą. Gdy znamy jeden z wektorów fali płaskiej, pola elektrycznego albo pola magnetycznego, to drugi możemy wyznaczyć posługując się zależnościami:

$\mathbf{E}_T=Z_{f}\mathbf{H}_T \times \mathbf{i}_z;$

$\mathbf{H}_T=\frac{1}{Z_{f}}\mathbf{i}_z \times \mathbf{E}_T;$

(1-44)

Współczynnik występujący w pierwszym z równań (1-44) zdefiniowany jako stosunek wartości wzajemnie prostopadłych (prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali) składowych pola elektrycznego i magnetycznego nazywamy impedancją falową

$Z_{f}=\frac{E_{T}}{H_{T}}=\frac{E_{x}}{H_{y}}=-\frac{E_{y}}{H_{x}}$

(1-45)

Dla fali płaskiej impedancja falowa jest dana zależnością

$Z_{f}=\sqrt{\frac{j\omega \mu }{\sigma +j\omega \varepsilon }};$

(1-46)

Równocześnie wielkość zespolona zdefiniowana wzorem

$Z_{w}=\sqrt{\frac{j\omega \mu }{\sigma +j\omega \varepsilon }};$

(1-47)

ma wymiar impedancji, zależy od parametrów ośrodka oraz pulsacji i nazywa się impedancją właściwą ośrodka. Dla ośrodka bezstratnego impedancja właściwa jest rzeczywista, zależy tylko od parametrów ośrodka i dla próżni równa jest

$Z_{w0}=\sqrt{\frac{\mu_0 }{\varepsilon }_0}= 120\pi \, \, [\Omega ]$

(1-48)

Jak wynika z równości (1-46) oraz (1-47), w przypadku fali typu TEM w nieograniczonej przestrzeni impedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka. Cecha ta nie jest własnością wszystkich fal elektromagnetycznych, a jedynie fal typu TEM.

Rys.1.5. Składowe pola elektrycznego i magnetycznego fali płaskiej w ośrodku bezstratnym.

Ze zależności (1-44) wynika, że wektory natężenia pól elektrycznego i magnetycznego są do siebie prostopadłe oraz, że trójka wektorów ET, HT, iz jest prawoskrętna. Własność tę mają na ogół tylko fale w ośrodkach nieograniczonych i izotropowych.
Gdy położenie osi x zostanie tak dobrane, by pole elektryczne miało tylko składową ET=Ex, to wtedy pole magnetyczne ma jedynie składową HT=Hy (zgodnie z równaniami (1-44)). Przykład pól elektrycznego i magnetycznego takiej fali płaskiej ilustruje rys.1.5.