Podręcznik: Parametry fali płaskiej

1. Wprowadzenie

1.11. Parametry fali płaskiej

Dla fali rozchodzącej się w ośrodku izotropowym o parametrach ε, μ, σ zgodnie z kierunkiem osi z mającej tylko składową E_x, której wartość jest równa liczbie rzeczywistej E₀ w płaszczyźnie z = 0, pola zapiszemy w dziedzinie zespolone następująco

$E_{x}(z)=E_{0}e^{-\gamma z};$

(1-49a)

$H_{y}(z)=\frac{E_{0}}{|Z_{w}|}e^{-j\varphi }e^{-\gamma z};$

(1-49b)

gdzie impedancję właściwą zapisano w postaci wykładniczej Z_w=|Z_w|e^jφ. Współczynnik propagacji $\gamma$ , zwany niekiedy stałą propagacji, został opisany równaniem (1-38). W ogólnym przypadku $\gamma$ jest liczbą zespoloną:

$\gamma =\alpha +j\beta ;$

(1-50)

Część rzeczywistą współczynnika propagacji $\alpha$ nazywamy stałą tłumienia, a część urojoną $\beta$ jest stałą fazową i w ośrodku stratnym

$\alpha =\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} {\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon )}} \end{Bmatrix};$

$\beta =\mathrm {Im}\begin{Bmatrix} {\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon )}} \end{Bmatrix}=\mathrm {Im}\begin{Bmatrix} {j\omega \sqrt{ \mu \varepsilon}\sqrt{1+\frac{\sigma }{j\omega \varepsilon }}} \end{Bmatrix};$

(1-51a)
(1-51b)

W próżni, gdy przewodność ośrodka σ=0, a ε=ε₀ i μ=μ₀, $\gamma$ jest czysto urojone.

$\gamma ^{2}=-\omega ^{2}\varepsilon _{0}\mu _{0};$

$\beta =\omega \sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}};$

(1-52a)
(1-52b)

Korzystając z definicji (1-50) zależności (1-49) przybierają postać

${\color{Red} {E_{x}(z)=E_{0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z};}}$

${\color{Red} {H_{y}(z)=H_{0}e^{-\alpha z}e^{-j(\beta z+\varphi )};} }$

(1-53)

Jak wiemy przejście od notacji zespolonej do rzeczywistej jest proste:

$E_{x}(z,t)=\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} E_{0}e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} e^{-j\omega t} \end{Bmatrix}=E_{0}e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z)$

$H_{y}(z,t)=\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} H_{0}e^{-\alpha z} e^{-j(\beta z+\varphi )} e^{-j\omega t} \end{Bmatrix}=H_{0}e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z-\varphi )$

(1-54a)
(1-54b)

Z zapisu pól podanych w (1-54) widać, że stała tłumienia wpływa jedynie na zmniejszanie się amplitudy danego pola, a stała fazowa informuje o tempie zmiany fazy fali wzdłuż osi z. Gdy fala rozchodzi się w ośrodku bezstratnym amplitudy pól nie zmniejszają i pole elektryczne jest w fazie z polem magnetycznym (φ=0).
Prędkość fazową fali płaskiej znajdujemy analizując ruch płaszczyzny stałej fazy. Dla tej płaszczyzny spełniony jest warunek (1-55):

$\omega t-\beta z=\mathrm{const};$

(1-55)

Płaszczyzna ta porusza się z prędkością vf:

${\color{Red} {v_{f}=\frac{\omega }{\beta };}}$

(1-56)

Zwróćmy uwagę, że stała fazowa dla fali propagowanej w ośrodku stratnym opisana relacją
(1-51b) nie jest liniową funkcją ω i prędkość fazowa zmienia się z częstotliwością. Mówimy wtedy o dyspersji fali, która w tym wypadku wynika ze strat ośrodka.
Dla próżni prędkość fazowa fali równa jest prędkości c światła:

$v_{f}=c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0 }};$

(1-57)

Droga, jaką fala poruszająca się prędkością opisaną zależnością (1-56) przebędzie w czasie okresu T, nazywa się długością fali $\lambda$ .

$\lambda =\frac{\omega T}{\beta }=\frac{2\pi }{\beta };$

(1-58)

Zależność (1-56) podaje wartość prędkości fazowej, ale pamiętajmy, że prędkość jest wielkością wektorową i jej zwrot jest zgodny z wektorem określającym kierunek rozchodzenia się fali. Należy podkreślić, że ruch płaszczyzny stałej fazy jest pojęciem matematycznym i nie oznacza przesuwania się żadnego obiektu materialnego, a tym samym przenoszenia energii. Z tego względu prędkość fazowa może przyjmować dowolne wartości dodatnie i nie podlega ograniczeniom wynikającym ze szczególnej teorii względności.
Aby za pomocą fali EM przesłać informację, trzeba przebieg o pulsacji nośnej ω zmodulować odpowiednim sygnałem. W wyniku modulacji z sygnału monochromatycznego otrzymujemy widmo częstotliwości. W najprostszym przypadku modulacji amplitudowej jedną częstotliwością otrzymujemy dwie częstotliwości prążków bocznych, różniące się od nośnej o Δω. Superpozycję kilku fal o zbliżonych częstotliwościach, Δω->0, i współczynnikach fazowych, Δβ->0, zwana jest fizyce grupą fal.
Obserwując ruch płaszczyzny stałej fazy obwiedni (np. płaszczyzny, w której superpozycja dwóch fal osiąga maksimum) można zapisać warunek (1-59):

$\Delta \omega t-\Delta \beta z=\mathrm{const};$

(1-48)

(1-59)
Prędkość grupowa v_gto prędkość poruszania się obwiedni sygnału:

${\color{Red} {v_{g}=\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} \beta };}}$

(1-60)

Można wykazać, że w ośrodku izotropowym związek pomiędzy prędkością grupową i fazową przybiera postać:

$v_{g}=\frac{v_{f}}{1-\frac{\omega }{v_{f}}\frac{\mathrm{d} v_{f}}{\mathrm{d} \omega x}};$

(1-61)

Ze związku (1-61) wynika, że dla fali, której prędkość fazowa nie zależy od częstotliwości, prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej.