1. Wprowadzenie

1.11. Parametry fali płaskiej

Dla fali rozchodzącej się w ośrodku izotropowym o parametrach ε, μ, σ zgodnie z kierunkiem osi z mającej tylko składową Ex, której wartość jest równa liczbie rzeczywistej E0 w płaszczyźnie z = 0, pola zapiszemy w dziedzinie zespolone następująco

  

\(E_{x}(z)=E_{0}e^{-\gamma z};\)

 (1-49a)  
  

\(H_{y}(z)=\frac{E_{0}}{|Z_{w}|}e^{-j\varphi }e^{-\gamma z};\)

 (1-49b)  

gdzie impedancję właściwą zapisano w postaci wykładniczej Zw=|Zw|ejφ. Współczynnik propagacji \(\gamma \), zwany niekiedy stałą propagacji, został opisany równaniem (1-38). W ogólnym przypadku \(\gamma \) jest liczbą zespoloną:

  

\(\gamma =\alpha +j\beta ;\)

 (1-50)  

 Część rzeczywistą współczynnika propagacji \(\alpha\) nazywamy stałą tłumienia, a część urojoną \(\beta\) jest stałą fazową i w ośrodku stratnym

  

\(\alpha =\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} {\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon )}} \end{Bmatrix};\)

\(\beta =\mathrm {Im}\begin{Bmatrix} {\sqrt{j\omega \mu (\sigma +j\omega \varepsilon )}} \end{Bmatrix}=\mathrm {Im}\begin{Bmatrix} {j\omega \sqrt{ \mu \varepsilon}\sqrt{1+\frac{\sigma }{j\omega \varepsilon }}} \end{Bmatrix};\)

 (1-51a)
(1-51b)		  

W próżni, gdy przewodność ośrodka σ=0, a ε=ε0 i μ=μ0, \(\gamma \) jest czysto urojone.

  

\(\gamma ^{2}=-\omega ^{2}\varepsilon _{0}\mu _{0};\)

\(\beta =\omega \sqrt{\varepsilon _{0}\mu _{0}};\)

 (1-52a)
(1-52b)		  

Korzystając z definicji (1-50) zależności (1-49) przybierają postać

  

\({\color{Red} {E_{x}(z)=E_{0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z};}}\)

\({\color{Red} {H_{y}(z)=H_{0}e^{-\alpha z}e^{-j(\beta z+\varphi )};} }\)

 (1-53)  

Jak wiemy przejście od notacji zespolonej do rzeczywistej jest proste:

  

\( E_{x}(z,t)=\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} E_{0}e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} e^{-j\omega t} \end{Bmatrix}=E_{0}e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z)\)

\( H_{y}(z,t)=\mathrm {Re}\begin{Bmatrix} H_{0}e^{-\alpha z} e^{-j(\beta z+\varphi )} e^{-j\omega t} \end{Bmatrix}=H_{0}e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z-\varphi ) \)

 (1-54a)
(1-54b)		  

Z zapisu pól podanych w (1-54) widać, że stała tłumienia wpływa jedynie na zmniejszanie się amplitudy danego pola, a stała fazowa informuje o tempie zmiany fazy fali wzdłuż osi z. Gdy fala rozchodzi się w ośrodku bezstratnym amplitudy pól nie zmniejszają i pole elektryczne jest w fazie z polem magnetycznym (φ=0).
Prędkość fazową fali płaskiej znajdujemy analizując ruch płaszczyzny stałej fazy. Dla tej płaszczyzny spełniony jest warunek (1-55):

  

\(\omega t-\beta z=\mathrm{const};\)

 (1-55)  

Płaszczyzna ta porusza się z prędkością vf:

  

\({\color{Red} {v_{f}=\frac{\omega }{\beta };}}\)

 (1-56)  

Zwróćmy uwagę, że stała fazowa dla fali propagowanej w ośrodku stratnym opisana relacją 
(1-51b) nie jest liniową funkcją ω i prędkość fazowa zmienia się z częstotliwością. Mówimy wtedy o dyspersji fali, która w tym wypadku wynika ze strat ośrodka.
Dla próżni prędkość fazowa fali równa jest prędkości c światła:

  

\( v_{f}=c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0 }};\)

 (1-57)  

Droga, jaką fala poruszająca się prędkością opisaną zależnością (1-56) przebędzie w czasie okresu T, nazywa się długością fali \(\lambda \).

  

\(\lambda =\frac{\omega T}{\beta }=\frac{2\pi }{\beta };\)

 (1-58)  

Zależność (1-56) podaje wartość prędkości fazowej, ale pamiętajmy, że prędkość jest wielkością wektorową i jej zwrot jest zgodny z wektorem określającym kierunek rozchodzenia się fali. Należy podkreślić, że ruch płaszczyzny stałej fazy jest pojęciem matematycznym i nie oznacza przesuwania się żadnego obiektu materialnego, a tym samym przenoszenia energii. Z tego względu prędkość fazowa może przyjmować dowolne wartości dodatnie i nie podlega ograniczeniom wynikającym ze szczególnej teorii względności.
Aby za pomocą fali EM przesłać informację, trzeba przebieg o pulsacji nośnej ω zmodulować odpowiednim sygnałem. W wyniku modulacji z sygnału monochromatycznego otrzymujemy widmo częstotliwości. W najprostszym przypadku modulacji amplitudowej jedną częstotliwością otrzymujemy dwie częstotliwości prążków bocznych, różniące się od nośnej o Δω. Superpozycję kilku fal o zbliżonych częstotliwościach, Δω->0, i współczynnikach fazowych, Δβ->0, zwana jest fizyce grupą fal.
Obserwując ruch płaszczyzny stałej fazy obwiedni (np. płaszczyzny, w której superpozycja dwóch fal osiąga maksimum) można zapisać warunek (1-59):

  

\(\Delta \omega t-\Delta \beta z=\mathrm{const};\)

 (1-48)  

(1-59)
Prędkość grupowa vg to prędkość poruszania się obwiedni sygnału: 

  

\({\color{Red} {v_{g}=\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} \beta };}}\)

 (1-60)  

Można wykazać, że w ośrodku izotropowym związek pomiędzy prędkością grupową i fazową przybiera postać:

  

\( v_{g}=\frac{v_{f}}{1-\frac{\omega }{v_{f}}\frac{\mathrm{d} v_{f}}{\mathrm{d} \omega x}};\)

 (1-61)  

Ze związku (1-61) wynika, że dla fali, której prędkość fazowa nie zależy od częstotliwości, prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej.