Podręcznik: Równania Linii Długiej

4. Propagacja fal w linii długiej

4.1. Równania Linii Długiej

Linia dwuprzewodowa
Przeanalizowana zostanie prosta i często spotykana w praktyce struktura prowadnicy falowej, jaką jest linia dwuprzewodowa – rys.10.1a. Przewody tej linii są wykonane z dobrze przewodzącego metalu i „zanurzone” w materiale dielektrycznym. Żaden z tych materiałów nie jest idealnym przewodnikiem, czy też dielektrykiem. Znaczenie użytego przymiotnika „długa” zostanie wyjaśnione dalej.

Rys.10.1. Dwuprzewodowa linia długa. a) Przewody zanurzone materiale dielektrycznym o przenikalności $\varepsilon$ . b) Oznaczenia napięć i prądów.

Celem analizy jest opisanie procesu zmian napięcia i prądu wzdłuż takiego obwodu, gdyż łatwo przewidzieć, że wywołaniu przyrostu napięcia na jednym końcu opisywanej linii nie towarzyszy natychmiastowe pojawienie się identycznego przyrostu na drugim końcu.
Wprowadzamy następujące oznaczenia:

u(t,z) chwilowa wartość napięcia,
i(t,z) chwilowa wartość prądu,

przy czym u(t,z) i i(t,z) są funkcjami czasu t i miejsca z.
Przyjmujemy, że propagacja zachodzi w jednym tylko wymiarze z, wzdłuż linii długiej.
Problem: Jak propagują się zmiany napięcia u(t,z) i prądu i(t,z) wzdłuż linii długiej?
Obwód zastępczy odcinka linii
Rozpatrzymy elementarny czwórnik utworzony przez odcinek linii długiej o długości $\Delta$ z pokazany na rys.10.1b. Obwód zastępczy takiego czwórnika pokazano na rys.10.2.

Rys.10.2. Obwód zastępczy elementarnego odcinka linii długiej.

W obwodzie tym wprowadzono następujące oznaczenia:

R[ $\Omega$ /m] - rezystancja na jednostkę długości.
L[H/m] - indukcyjność na jednostkę długości.
G[S/m] - przewodność na jednostkę długości.
C[F/m] - pojemność na jednostkę długości.

Równania telegrafistów
Zmienne u(t,z) i i(t,z) opisane są wyprowadzonym przez Kelvina równaniami różniczkowymi, zwanymi równaniami telegrafistów. Równania te poznamy w prostej formie, gdyż wyprowadzimy je i rozwiążemy dla prostych i najczęściej spotykanych przypadków, zgodnych z przyjętymi Założeniami 1 i 2.
Założenie 1: u(t) i i(t) są harmonicznymi funkcjami czasu - wielkości te są sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji $\omega$ .
Wprowadzamy:
U(z) - zespolona amplituda napięcia, I(z) - zespolona amplituda prądu.

$u(z,t)=\mathrm{Re\begin{Bmatrix} \mathrm{U(z)}e^{j\omega t} \end{Bmatrix}};$

$i(z,t)=\mathrm{Re\begin{Bmatrix} \mathrm{I(z)}e^{j\omega t} \end{Bmatrix}};$

(10-1)

Wprowadzamy:

$Z[\mathrm{\Omega /m}]R + j\omega L;\, \, Y[\mathrm{S /m}]G + j\omega C;$

(10-2)

$\gamma^{2}=YZ;$

(10-3)

Założenie 2: Linia jest jednorodna, Z i Y nie zmieniają się z odległością.
Założenie 2 oznacza, że linia nie zmienia swoich wymiarów, średnica przewodów a, ich odległość b oraz przenikalność $\varepsilon$ dielektryka otaczającego przewody pozostają stałe i niezależne od z.
Odpowiednie przekształcenia można prześledzić w dołączonym opisie. Końcowy rezultat przekształceń ma postać równań telegrafistów, albo równań linii długiej:

$\frac{d^{2}\mathrm{}\mathrm{U} }{ dz^{2}}-\gamma ^{2}\mathrm{U}=0;$

(10-4)

$\frac{d^{2}\mathrm{}\mathrm{I} }{ dz^{2}}-\gamma ^{2}\mathrm{I}=0;$

(10-3)

Jak widać, zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą $\gamma$ zwaną stałą propagacji. Stała propagacji $\gamma$ reprezentuje parametry linii długiej, rozmiary przewodów, parametry ośrodka dielektrycznego.
Przypomnijmy jeszcze, że identyczny kształt równań uzyskujemy z równań Maxwella dla pól E i H. Równania te, opisane w wcześniej, zwane są równaniami falowymi.