Podręcznik: Fale w jednorodnej prowadnicy falowej

4. Propagacja fal w linii długiej

4.3. Fale w jednorodnej prowadnicy falowej

Napięcie i prąd wzdłuż linii
Powracamy do układu generator – prowadnica – obciążenie:

Rys.10.3. Układ: generator, linia długa, obciążenie

Napiszemy najpierw rozwiązania równań linii długiej z nowymi oznaczeniami. Oznaczymy przez:

U_P, I_P - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali pierwotnej, padającej.
U_W, I_W - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali odbitej, wtórnej.

Odległość l liczona jest teraz od końca linii w stronę generatora, podczas gdy z liczona była od generatora w stronę obciążenia. Równania propagacji zapiszą się teraz następująco:

$\mathrm{U(l)}=\mathrm{U_{P}}e^{\gamma l}+\mathrm{U_{W}}e^{-\gamma l};$

$\mathrm{I(l)}=\mathrm{I_{P}}e^{\gamma l}+\mathrm{I_{W}}e^{-\gamma l};$

(10-16)

Dla bezstratnej prowadnicy falowej, gdy $\gamma =j\beta ;$ :

$\mathrm{U(l)}=\mathrm{U_{P}}e^{j\beta l}+\mathrm{U_{W}}e^{-j\beta l};$

$\mathrm{I(l)}=\mathrm{I_{P}}e^{j\beta l}+\mathrm{I_{W}}e^{-j\beta l};$

(10-17)

Znamy już definicję impedancji charakterystycznej:

$\mathrm{Z_{0}}=\mathrm{\frac{U_{P}}{I_{P}}}=-\mathrm{\frac{U_{W}}{I_{W}}};$

(10-18)

Aby znaleźć wartości amplitud U_P, I_P, U_W i I_W musimy znaleźć kolejne związki między nimi.

Wpływ obciążenia na falę odbitą
Obciążenie reprezentowane przez impedancję:

$\mathrm{Z_{L}}=\mathrm{\frac{U_{L}}{I_{L}}}=\mathrm{\frac{1}{Y_{L}}};$

(10-19)

Należy zauważyć, że U_L=U(l=0) oraz I_L=I(l=0), czyli:

$\mathrm{Z_{L}}=\mathrm{\frac{U_{L}}{I_{L}}}=\mathrm{\frac{U_{P}+U_{W}}{I_{P}+I_{W}}};$

(10-20)

w rezultacie:

$\mathrm{\frac{U_{W}}{U_{P}}}=\mathrm{\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}};$

(10-21)

Wniosek: Wartość amplitudy UW napięcia fali odbitej zależy nie tylko od Z_L, ale także od wartości impedancji charakterystycznej Z₀. Gdy Z_L=Z₀, w prowadnicy nie pojawi się fala odbita; obciążenie jest dopasowane do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej, obciążenie jest bezodbiciowe.
W równaniach (10-16) i (10-17) na U(l) i I(l) można zastąpić U_P, U_W, I_P i I_W przez Z_L, U_L i I_L.
W ogólnym przypadku linii ze stratami otrzymuje się następujące zależności:

$\mathrm{U}(l)=\mathrm{U_{L}}(\cosh \gamma l+\frac{\mathrm{Z_{0}}}{Z_{L}}\sinh \gamma l);$

$\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_{L}}(\cosh \gamma l+\frac{\mathrm{Z_{L}}}{Z_{0}}\sinh \gamma l);$

(10-22)

Dla linii bezstratnej funkcje hiperboliczne znikają i równania przyjmują prostszą postać:

$\mathrm{U}(l)=\mathrm{U_{L}}(\cos \beta l+j\frac{\mathrm{Z_{0}}}{Z_{L}}\sin \beta l);$

$\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_{L}}(\cos \beta l+j\frac{\mathrm{Z_{L}}}{Z_{0}}\sin \beta l);$

(10-23)

Można też zapisać je w innej formie, w pewnych przypadkach wygodniejszej w użyciu:

$\mathrm{U}(l)=\mathrm{U_{L}}(\cos \beta l+j\mathrm{I_{L}}{\mathrm{Z_{0}}}\sin \beta l);$

$\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_{L}}(\cos \beta l+j\frac{\mathrm{U_{L}}}{\mathrm{Z_{0}}}\sin \beta l);$

(10-23a)

Współczynnik odbicia - definicja
Zdefiniowany zostanie teraz bardzo ważny parametr określający związek między falą odbitą i padającą. Współczynnik odbicia $\Gamma$ jest miarą stosunku zespolonych amplitud fali odbitej do padającej. Definiujemy go następująco:

$\Gamma _{L}=\mathrm{\frac{U_{-}}{U_{+}}}=\mathrm{\frac{U_{W}}{U_{P}}}e^{-2\gamma l};$

(10-24)

Na końcu linii, dla l=0, współczynnik odbicia przyjmuje wartość $\Gamma$ _L:

$\Gamma (l=0)=\Gamma _{L}=\mathrm{\frac{U_{W}}{U_{P}}}=\mathrm{\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}}=\mathrm{\frac{Y_{0}-Y_{L}}{Y_{0}+Y_{L}}}$

(10-25)

Współczynnik odbicia $\Gamma$ _L - podobnie jak Z_L lub Y_L - jest parametrem charakteryzującym jednowrotnik/obciążenie umieszczone na końcu linii, inaczej mówiąc, jest on zespoloną miarą niedopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej Z₀.
Współczynnik odbicia $\Gamma$ (l) zależy od wartości $\Gamma$ _L na końcu linii oraz od odległości l od końca linii. Zależność ta ma następującą postać:

$\Gamma _{L}=\Gamma _{L}e^{-2\gamma l}\mid _{\alpha =0}=\Gamma _{L}e^{-2\beta l};$

(10-26)

Napisana wyżej zależność (10-26) nazywana jest równaniem transformacji współczynnika odbicia.

Rys.10.4. Transformacja współczynnika odbicia wzdłuż bezstratnej linii.
Ilustracja procesu transformacji współczynnika $\Gamma$ pokazana jest na rys.10.4. Wskaz $\Gamma$ wiruje zgodnie ze wskazówkami zegara. Dla linii ze stratami długość wskazu $\left |\Gamma \right |$ maleje wykładniczo z odległością, dla linii bezstratnej $\left |\Gamma \right |$ =const.
Współczynnik odbicia - różne przypadki
Obciążenie umieszczone na końcu linii reprezentowane jest zwykle przez impedancję Z_L=R_L+jX_L. Wtedy zależność (10-26) przyjmie postać (10-27):

$\left |\Gamma _{L} \right |^{2}=\mathrm{\frac{(R_{L}-Z_{0})^{2}+X_{L}^{2}}{(R_{L}+Z_{0})^{2}+X_{L}^{2}}}$

(10-27)

Logarytmiczną miarą współczynnika odbicia są straty odbicia L_r (ang. return loss), definiowane następująco:

$\mathrm{L_{r}}=-20\log\left | \Gamma _{L} \right |$

(10-27)

Wykorzystamy wyprowadzoną zależność (10-26) do analizy kilku charakterystycznych przypadków.
Przypadek 1: Mówimy, że umieszczony na końcu prowadnicy jednowrotnik, nazywany też obciążeniem, jest dopasowany do impedancji charakterystycznej tej prowadnicy jeżeli $\left |\Gamma \right |$ =0. Zgodnie z (10-27) stan dopasowania powstanie, gdy Z_L= Z₀.
Przypadek 2: Stan pełnego odbicia mocy powstaje wtedy, gdy $\left |\Gamma \right |$ =1 i amplitudy obu fal: padającej i odbitej są sobie równe. Pełne odbicie mocy ma miejsce, gdy obciążenie jest czystą reaktancją Z_L = jX_L. Wartość reaktancji X_L ma wpływ na argument współczynnika odbicia, jego moduł równy jest 1.

$\Gamma _{L} =\mathrm{\frac{(X_{L}-Z_{0})}{jX_{L}+Z_{0}}}=e^{j(\pi -2\textrm{arctg}\frac{X_{L}}{Z_{0}})}$

(10-28)

Przypadek 3: Najczęściej impedancja obciążenia obok części urojonej ma część rzeczywistą, przy czym R_L > 0. Wtedy część mocy ( $\left | \mathrm{I_{L}} \right |\mathrm{R_{L}/2}$ ) fali padającej zostaje pochłonięta przez obciążenie i amplituda fali odbitej jest zawsze mniejsza od amplitudy fali padającej, a $\left |\Gamma \right |$ < 1.
Przypadek 4: Gdy amplituda fali odbitej jest większa od amplitudy fali padającej, mamy do czynienia ze wzmocnieniem mocy, z obciążeniem aktywnym. W modelu impedancyjnym obciążenie takie reprezentowane jest przez impedancję z ujemną rezystancją. Gdy $\left |\Gamma \right |$ >>1, wtedy R_L < 0.