Podręcznik: Fala stojąca

4. Propagacja fal w linii długiej

4.4. Fala stojąca

Napięcie i prąd wzdłuż linii – wykres wskazowy

W tym punkcie wyprowadzimy odpowiednie formuły opisujące rozkład napięcia wzdłuż linii długiej. Powracamy do układu z rys.10.3 z generatorem, prowadnicą i obciążeniem. Wykorzystamy zależność (10-24) opisującą współczynniki odbicia $\Gamma$ (l) aby określić wartości amplitud napięcia i prądu na linii. Prowadzi to do zależności (10-29):

$\mathrm{U}(l)=\mathrm{U_{+}}[1+\Gamma (l)]=\mathrm{U_{P}}e^{j\beta l}(1+\Gamma _{L}e^{-j2\beta l})$

$\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_{+}}[1-\Gamma (l)]=\frac{\mathrm{U_{P}}}{\mathrm{Z_{0}}}e^{j\beta l}(1-\Gamma _{L}e^{-j2\beta l})$

(10-29)

Zauważmy, że na końcu linii napięcie U_L jest proporcjonalne do (1+ $\Gamma$ _L) a prąd I_L jest proporcjonalny do (1- $\Gamma$ _L). Wskazy napięcia U_L i prądu I_L pokazane są na rys. 10.5A.

Rys.10.5. Ilustracja zmian napięcia i prądu wzdłuż linii.
A) Napięcie i prąd na końcu linii. B) napięcie i prąd w odległości l od końca.

W odległości l od końca wartości napięcia i prądu zmieniają się, ponieważ wskaz + $\Gamma$ _L zmienił położenie – rys. 10.5B.
Kąt fazowy $\phi _{L}$ między U_L i prądu I_L zależy od impedancji obciążenia:

$\phi _{L}=\arctan \mathrm{\frac{X_{L}}{R_{L}}}$

(10-30)

Gdy impedancja obciążenia jest rzeczywista prąd i napięcie są w fazie.
Napięcie i prąd wzdłuż linii – minima, maksima
Moduł napięcia $\left | U(l) \right |$ można wyznaczyć wychodząc z zależności (10-29). Dla linii bezstratnej otrzymujemy zależność (10-33), w której $\Psi_L$ jest argumentem współczynnika odbicia $\Gamma$ :

$\left | U(l) \right |=\left | U_P \right |\sqrt{1+\left | \Gamma \right |^{2}+2\left | \Gamma \right |\cos (2\beta l-\Psi_L )}$

(10-33)

Przykład przebiegu $\left | U(l) \right |$ pokazano na rys.10.6.

Rys.10.6. Moduł U(l) napięcia wzdłuż linii długiej.

Ponieważ przyjęto założenie bezstratności linii, to wszystkie maksymalne i minimalne wartości napięcia są sobie równe.
Wnioski: Napięcie $\left | U(l) \right |$ określone wzdłuż linii długiej jest okresową funkcją odległości o okresie równym połowie długości fali $\lambda$ /2, co oznacza, że:

odległość między kolejnymi maksimami, lub minimami równa jest $\lambda$ /2,
odległość między maksimum a minimum równa jest $\lambda$ /4.

Czysta fala stojąca
W przypadku, gdy $\left | \Gamma \right |=1$ amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe i mamy do czynienia z czystą falą stojącą. Moduł napięcia wzdłuż linii zapisze się dla przypadku $\Psi_k=0$ następująco: (10-34)

$\left | \mathrm{U(l)} \right |=2\left | \mathrm{U_P} \right |\left | \cos \beta l \right |;$

(10-34)

Moduł prądu wzdłuż linii opisuje zależność (10-35):

$\left | \mathrm{I(l)} \right |=2\frac{\mathrm{U_{P}}}{\mathrm{Z_{0}}}\left | \sin \beta l \right |$

(10-35)

Na rys. 10.7 pokazano przebiegi modułów U(l) i I(l) dla czystej fali stojącej.

Rys.10 .7. Napięcie i prąd wzdłuż linii dla czystej fali stojącej.

Jak widać wartości napięć i prądów okresowo osiągają wartości maksymalne i spadają do zera, przy czym maksymalnej wartości napięcia towarzyszy zero wartości prądu i na odwrót. Kolejne zera oddalone są o pół fali.
Współczynnik fali stojącej
Ważnym parametrem opisującym rozkład napięcia na linii i tym samym stan dopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej Z₀ jest współczynnik fali stojącej. Zgodnie z definicją współczynnik fali stojącej $\varrho$ jest stosunkiem maksymalnej i minimalnej wartości modułu napięcia na linii.

$\varrho =\frac{\left | \mathrm{U}(l) \right |_{max}}{\left | \mathrm{U}(l) \right |_{min}}=\frac{1+\left | \Gamma \right |}{1-\left | \Gamma \right |}\geq 1$

(10-36)

Współczynnik fali stojącej, często oznaczany jako WFS, jest liczbą rzeczywistą, co oznacza, iż daje nam tylko jedną informację o jednowrotniku/obciążeniu. Pamiętajmy, że współczynnik odbicia $\Gamma$ daje – jako liczba zespolona – dwie informacje o obciążeniu. Między tymi wielkościami istnieje prosty i oczywisty związek:

$\left | \Gamma \right |=\frac{\varrho -1}{\varrho +1};$

(10-37)

Graficzna ilustracja powyższej zależności pokazana jest na rys. 10.8.

Omówimy dwa charakterystyczne przypadki obciążenia linii:
Przypadek 1: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję R_L > Z₀ . Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako $\varrho$ =R_L/Z₀.
Przypadek 2: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję R_L < Z₀. Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako $\varrho$ =R_L/Z₀..