4. Propagacja fal w linii długiej

4.4. Fala stojąca

 Napięcie i prąd wzdłuż linii – wykres wskazowy

W tym punkcie wyprowadzimy odpowiednie formuły opisujące rozkład napięcia wzdłuż linii długiej. Powracamy do układu z rys.10.3 z generatorem, prowadnicą i obciążeniem. Wykorzystamy zależność (10-24) opisującą współczynniki odbicia \(\Gamma\)(l) aby określić wartości amplitud napięcia i prądu na linii. Prowadzi to do zależności (10-29):

  

\(\mathrm{U}(l)=\mathrm{U_{+}}[1+\Gamma (l)]=\mathrm{U_{P}}e^{j\beta l}(1+\Gamma _{L}e^{-j2\beta l})\)

\(\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_{+}}[1-\Gamma (l)]=\frac{\mathrm{U_{P}}}{\mathrm{Z_{0}}}e^{j\beta l}(1-\Gamma _{L}e^{-j2\beta l})\)

 (10-29)  

Zauważmy, że na końcu linii napięcie UL jest proporcjonalne do (1+\(\Gamma\)L) a prąd IL jest proporcjonalny do (1-\(\Gamma\)L). Wskazy napięcia UL i prądu IL pokazane są na rys. 10.5A.


 
 
Rys.10.5. Ilustracja zmian napięcia i prądu wzdłuż linii. 
A) Napięcie i prąd na końcu linii. B) napięcie i prąd w odległości l od końca.


W odległości l od końca wartości napięcia i prądu zmieniają się, ponieważ wskaz +\(\Gamma\)L zmienił położenie – rys. 10.5B.
Kąt fazowy \(\phi _{L}\) między UL i prądu IL zależy od impedancji obciążenia: 

  

\(\phi _{L}=\arctan \mathrm{\frac{X_{L}}{R_{L}}}\)

 (10-30)  

Gdy impedancja obciążenia jest rzeczywista prąd i napięcie są w fazie.
     Napięcie i prąd wzdłuż linii – minima, maksima
Moduł napięcia \(\left | U(l) \right |\) można wyznaczyć wychodząc z zależności (10-29). Dla linii bezstratnej otrzymujemy zależność (10-33), w której \(\Psi_L\) jest argumentem współczynnika odbicia \(\Gamma\):

  

\(\left | U(l) \right |=\left | U_P \right |\sqrt{1+\left | \Gamma \right |^{2}+2\left | \Gamma \right |\cos (2\beta l-\Psi_L )}\)

 (10-33)  

Przykład przebiegu \(\left | U(l) \right |\) pokazano na rys.10.6.

Rys.10.6. Moduł U(l) napięcia wzdłuż linii długiej.

Ponieważ przyjęto założenie bezstratności linii, to wszystkie maksymalne i minimalne wartości napięcia są sobie równe. 
Wnioski: Napięcie \(\left | U(l) \right |\) określone wzdłuż linii długiej jest okresową funkcją odległości o okresie równym połowie długości fali \(\lambda\)/2, co oznacza, że:

  • odległość między kolejnymi maksimami, lub minimami równa jest \(\lambda\)/2,
  • odległość między maksimum a minimum równa jest \(\lambda\)/4.

     Czysta fala stojąca
W przypadku, gdy \(\left | \Gamma \right |=1\) amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe i mamy do czynienia z czystą falą stojącą. Moduł napięcia wzdłuż linii zapisze się dla przypadku \(\Psi_k=0\) następująco: (10-34)

  

\(\left | \mathrm{U(l)} \right |=2\left | \mathrm{U_P} \right |\left | \cos \beta l \right |;\)

 (10-34)  

Moduł prądu wzdłuż linii opisuje zależność (10-35): 

  

\(\left | \mathrm{I(l)} \right |=2\frac{\mathrm{U_{P}}}{\mathrm{Z_{0}}}\left | \sin \beta l \right |\)

 (10-35)  


Na rys. 10.7 pokazano przebiegi modułów U(l) i I(l) dla czystej fali stojącej.
 


Rys.10 .7. Napięcie i prąd wzdłuż linii dla czystej fali stojącej.

Jak widać wartości napięć i prądów okresowo osiągają wartości maksymalne i spadają do zera, przy czym maksymalnej wartości napięcia towarzyszy zero wartości prądu i na odwrót. Kolejne zera oddalone są o pół fali.
     Współczynnik fali stojącej
Ważnym parametrem opisującym rozkład napięcia na linii i tym samym stan dopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej Z0 jest współczynnik fali stojącej. Zgodnie z definicją współczynnik fali stojącej \(\varrho \) jest stosunkiem maksymalnej i minimalnej wartości modułu napięcia na linii. 

  

\(\varrho =\frac{\left | \mathrm{U}(l) \right |_{max}}{\left | \mathrm{U}(l) \right |_{min}}=\frac{1+\left | \Gamma \right |}{1-\left | \Gamma \right |}\geq 1\)

 (10-36)  

Współczynnik fali stojącej, często oznaczany jako WFS, jest liczbą rzeczywistą, co oznacza, iż daje nam tylko jedną informację o jednowrotniku/obciążeniu. Pamiętajmy, że współczynnik odbicia \(\Gamma\) daje – jako liczba zespolona – dwie informacje o obciążeniu. Między tymi wielkościami istnieje prosty i oczywisty związek:

  

\(\left | \Gamma \right |=\frac{\varrho -1}{\varrho +1};\)

 (10-37)  

Graficzna ilustracja powyższej zależności pokazana jest na rys. 10.8.

Omówimy dwa charakterystyczne przypadki obciążenia linii:
Przypadek 1: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję RL > Z0 . Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako \( \varrho\) =RL/Z0.
Przypadek 2: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję  RL < Z0. Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako   \( \varrho\) =RL/Z0..