4. Propagacja fal w linii długiej

4.7. Przykłady zastosowań

Transformacja impedancji – szczególne przypadki
Przypadek 1: Linia długa jest zakończona impedancją ZL =Z0. W takim przypadku, zgodnie z (10-66), Z(l)=Z0. 
Wniosek: W każdym punkcie linii impedancja ma tą samą wartość. 
Przypadek 2: Obliczymy impedancję w odległości równej wielokrotności pół fali l=n\(\lambda\)/2 od obciążenia. Łatwo zauważyć, że  Z(l=n\(\lambda\)/2) = ZL, impedancja okresowo przyjmuje taką wartość, jaką ma no końcu linii.
Wniosek: Linia o długości n\(\lambda\)/2 jest - z punktu widzenia transformacji impedancji - przezroczysta.
Przypadek 3: Obliczymy impedancję w odległości równej ćwierć fali l=\(\lambda\)/4 od obciążenia. 

  

\(\mathrm{Z}(l=\lambda /4)=\frac{\mathrm{Z_L}}{\mathrm{Z_L}};\, \, \mathrm{Z}(l=\lambda /4)\mathrm{Z_L}=\mathrm{Z_0}^{2};\)

 (10-68)  

Linia o długości l=(2n-1)\(\lambda\)/4 ma specjalne właściwości i dlatego nazywana jest transformatorem ćwierćfalowym.  Linia.
Wnioski:

  • Transformator ćwierćfalowy jest inwerterem impedancji. Zamienia on duże (małe) wartości rezystancji na rezystancje małe (duże).
  • Transformator ćwierćfalowy zamienia impedancje obciążenia o charakterze indukcyjnym (pojemnościowym) na impedancje wejściowe pojemnościowe (indukcyjne).
  • Jeśli obciążeniem linii jest obwód rezonansu szeregowego, to impedancja wejściowa zachowuje się jak dla obwodu rezonansu równoległego, i vice versa.

Przypadek 4: W ogólnym przypadku obciążenia linii impedancją ZL=RL+jXL, gdy RL>0, to współczynnik odbicia równy jest wtedy\(\left | \Gamma \right |=\left | \Gamma \exp (j\psi _{L}) \right |\), przy czym \(\left | \Gamma_L \right |<1\)(patrz rys.10.5). W miarę odsuwania się od obciążenia zmienia się Arg{<span class="equation" style="width:100%;;;;;;;">\(\Gamma\)</span>}. Gdy odsuniemy się na odległość l1, dla której spełniony jest warunek (10-69):

  

\(\psi _{L}-2\beta l_{1}=2n\pi ;\)

 (10-69)  

to napięcie U(l1) i prąd I(l1) są w fazie. Oznacza to, że impedancja Z(l1) jest czysto rzeczywista i równa: 

  

\(\mathrm{Z}(l_1))=\mathrm{Z_0}\frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)}=\varrho \mathrm{Z_0};\)

 (10-70)  

gdzie \(\varrho\) jest współczynnikiem fali stojącej na linii.
Podobnie, gdy odsuniemy się na odległość l2, dla której spełniony jest warunek (10-71):

  

\(\psi _{L}-2\beta l_{2}=(2n+1)\pi ;\)

 (10-71)  

sytuacja powtarza się i także wtedy napięcie U(l1) i prąd I(l1) są w fazie, a więc:

  

\(\mathrm{Z}(l_2))=\mathrm{Z_0}\frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)}= \frac{\mathrm{Z_0}}{\varrho};\)

 (10-72)  

Oba miejsca l1 i l2 oddalone są od siebie o ćwierć długości fali \(\lambda\)/4. Oba te przypadki mogą być wykorzystane przy projektowaniu obwodów dopasowujących. 
     Linia zwarta na końcu
Rozważymy efekty zachodzące w linii długiej zwartej na końcu. Oznacza to, że:  \(\mathrm{Z_L}=0\, i\, \Gamma _{\mathrm{L}}=-1\) . Zgodnie z zależnością (10-66) impedancja wejściowa linii zwartej na końcu jest w każdym miejscu czystą reaktancją:

  

\(\mathrm{Z}(l))=j\mathrm{X}(l)=j\mathrm{Z_0}\mathrm{tg}\beta l;\)

 (10-73)  

Rozkład prądu i napięcia dla linii zwartej na końcu pokazano na rys.10.14. 
Prąd I(l) i napięcie U(l) są przesunięte w fazie o \(\pi\)/2, a kolejne zera napięcia lub prądu odległe są od siebie o \(\lambda\)/2.

  

\(\mathrm{I}(l)=\mathrm{I_L}\cos \beta l;\)

\(\mathrm{U}(l)=j\mathrm{I_LZ_0}\sin \beta l;\)

 (10-74)  

Kąt fazowy między prądem I(l) i napięciem U(l) jest cały czas równy 900, jednakże co ćwierć fali zmienia się jego znak. Dlatego X(l) ma dla pewnych zakresów l charakter indukcyjny, dla innych pojemnościowy, co pokazano na rys.10.14B.
 
 


Rys.10.14. Linia długa zwarta na końcu. 
A) Rozkład prądu i napięcia dla linii.
B) Reaktancja wejściowa linii zwartej na końcu.  

 
Zastępcze wartości indukcyjności Leq i pojemności Ceq znajdujemy ze wzorów:

  

\(L_{eq}=\frac{\mathrm{Z_0 tg}\beta l}{\omega };\)

 (10-75)  
  

\(C_{eq}=\frac{1}{\omega\mathrm{Z_0 tg}\beta l };\)

 (10-76)  

Dla małych długości l, gdy \(\beta\)l <0.5 (l<0.08\(\lambda\)) to tg\(\beta\)l~\(\beta\)l i indukcyjność Leq tego odcinka zapisze się następująco (vf jest prędkością fazową fali):

  

\(\omega L_{eq}\cong =\mathrm{Z_0}\beta l=2\pi \frac{\mathrm{Z_0}l}{\lambda _{f}}=\omega \mathrm{Z_0}\frac{l}{v_f};\)

 (10-77)  

Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie \(\beta\)l =(2n-1)\(\pi\)/2 (nieparzysta liczba ćwiartek fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu równoległego.    
Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie \(\beta\)l =n\(\pi\) (wielokrotność połowy fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu szeregowego.
     Linia rozwarta na końcu
Impedancja wejściowa linii rozwartej na końcu zapisuje się zależnością: 

  

\(\mathrm{Z}(l)=j\mathrm{X}(l)=-j\mathrm{Z_0}\mathrm{ctg}\beta l;\)

 (10-78)  

Charakter zmian prądu I(I) i napięcia U(I jest taki, jak na rys.10.14A, z tą różnicą, że na końcu linii rozwartej I(I=0)=0. Prąd i napięcie w każdym miejscu linii przesunięte są w fazie o \(\pi \)/10. 
Charakter zmian impedancji jak dla linii zwartej, tylko przesunięty o \(\lambda\)/4. W zależności od l linia raz jest pojemnością, raz indukcyjnością rys.10.15. 

 


Rys.10.15. Reaktancja wejściowa linii rozwartej na końcu.    


Podobnie jak w przypadku linii zwartej, linia rozwarta może realizować pojemności i indukcyjności, zależnie od odległości od rozwarcia.
Dla małych długości l, gdy l<0.08\(\lambda\) i słuszne jest przybliżenie tg\(\beta l\)~\(\beta l\), odcinek linii rozwartej można zastąpić równoważną pojemnością Ceq.

  

\(C_{eq}\cong \frac{\omega l}{\mathrm{Z_0}v_{f}}=\frac{2\pi l}{\mathrm{Z_0}\lambda _f};\)

 (10-79)  

Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie \(\beta l\) = (2n-1)\(\pi\)/2 (nieparzysta liczba ćwiartek fali) linia rozwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu szeregowego.
Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie \(\beta l\) = n\(\pi\) (wielokrotność połowy fali) linia rozwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu równoległego.