1. Wykres Smith’a

1.1. Normalizacja impedancji

W matematycznym opisie efektów propagowania fal w prowadnicach falowych dwa równania są szczególnie ważne:

  • równanie transformacji współczynnika odbicia,
  • równanie transformacji impedancji.

Równanie transformacji impedancji zawiera tangensy i dawno temu, gdy komputery nie były powszechnie stosowane rozwiązanie równania z tangensami przysparzało nieco problemów. Opracowano wtedy konstrukcję wykresu Smith’a i sposoby jego wykorzystania. Przedstawimy je w tym wykładzie i nauczymy się nim posługiwać. Współczesne komputery osobiste z łatwością obliczają zadania z transformacją impedancji. Jednakże wykres Smith’a jest dobrym narzędziem ilustracji rozmaitych operacji, w tym projektowania obwodów dopasowujących.
Krokiem wstępnym jest wprowadzenie pojęcia impedancji i admitancji znormalizowanych. Normalizacja impedancji, czy też admitancji odbywa się w stosunku do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej Z0 w następujący sposób: 

  

\( \mathrm{z}_L=r_L+jx_L=\frac{\mathrm{Z}_L}{\mathrm{Z}_0};\)

\( \mathrm{y}_L=g_L+jb_L=\frac{\mathrm{Y}_L}{\mathrm{Y}_0};\)

 (1-1)  

Impedancje/admitancje znormalizowane zL i yL (używana jest także nazwa: zredukowane) są wielkościami bezwymiarowymi. Używając wprowadzonych wielkości można współczynnik odbicia \(\Gamma\)L zapisać teraz następującą zależnością:

  

\(\Gamma _L=\frac{\mathrm{z}_L-1}{\mathrm{z}_L+1}=\frac{1-\mathrm{y}_L}{1+\mathrm{y}_L};\)

 (1-2)  

Przekształcając powyższe wyrażenie można otrzymać zależności na impedancja zredukowaną z(l) widziana w miejscu odległym o l: 

  

\(\mathrm{z}(l)=\frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)};\)

 (1-3)  

 oraz na admitancję y(l): 

  

\(\mathrm{y}(l)=\frac{1-\Gamma (l)}{1+\Gamma (l)};\)

 (1-4)  


Równanie transformacji impedancji przybierze teraz postać: 

  

\(\mathrm{z}(l)=\frac{\mathrm{z}_L+j\mathrm{tg}\beta l}{1++j\mathrm{z}_L\mathrm{tg}\beta l};\)

 (1-5)